第三章數(shù)學(xué)運(yùn)算

第三章數(shù)學(xué)運(yùn)算第1頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩陣運(yùn)算矩陣的翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)：fliplr、flipud、rot90查看矩陣的大?。簊ize(A)、size(A,1)、size(A,2)

數(shù)組運(yùn)算（點(diǎn)運(yùn)算）：.*，./，.\，.^

矩陣算術(shù)：

+，-，*，/，\，^參與“+,-,.*,./,.\”運(yùn)算的對(duì)象必須具有相同的形狀第2頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩陣的逆對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方陣B，使得：

A·B=B·A=I(I為單位矩陣)

則稱(chēng)B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。

求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯(cuò)，但在MATLAB中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。

例用求逆矩陣的方法解線(xiàn)性方程組。

Ax=b

其解為：

x=A-1b第3頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩陣的偽逆如果矩陣A不是一個(gè)方陣，或者A是一個(gè)非滿(mǎn)秩的方陣時(shí)，矩陣A沒(méi)有逆矩陣，但可以找到一個(gè)與A的轉(zhuǎn)置矩陣A‘同型的矩陣B，使得：

A·B·A=A

B·A·B=B

此時(shí)稱(chēng)矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱(chēng)為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個(gè)矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。第4頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方陣的行列式把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱(chēng)為矩陣所對(duì)應(yīng)的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。第5頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩陣的函數(shù)以及其它操作變換inv——矩陣求逆det——行列式的值eig——矩陣的特征值diag——對(duì)角矩陣’——矩陣轉(zhuǎn)置第6頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩陣的函數(shù)以及其它操作變換norm——矩陣求范數(shù)normest——矩陣求二階范數(shù)rank——求矩陣的秩null——0空間subspace——求兩矩陣空間的角度第7頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩陣的一些特殊操作矩陣的變維a=[1:12];b=reshape(a,3,4)c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩陣的變向

rot90:旋轉(zhuǎn);fliplr:上翻;flipud:下翻矩陣的抽取

diag:抽取主對(duì)角線(xiàn);tril:抽取主下三角;

triu:抽取主上三角第8頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線(xiàn)性代數(shù)方程組的矩陣表示Ax=b第9頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解的判別及其結(jié)構(gòu)Ax=0：有非零解——系數(shù)矩陣的秩R(A)<n。若R(A)=n，則方程組只有零解。Ax=b：分三種類(lèi)型： 1、當(dāng)R(A)=R(B)=n時(shí)，稱(chēng)方程組為恰定方程組，這時(shí)它有唯一解向量； 2、當(dāng)R(A)=R(B)<n時(shí)，稱(chēng)方程組為欠定方程組，這時(shí)它有無(wú)窮多解向量； 3、當(dāng)R(A)<R(B)時(shí)，稱(chēng)方程組為超定方程組或矛盾方程組，即保留方程個(gè)數(shù)大于未知量個(gè)數(shù)，一般意義下無(wú)解，但可求出其最小二乘解。第10頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月非奇異矩陣n階方陣A是非奇異方陣的充要條件是A為可逆矩陣也即行列式A的值不為零。對(duì)一個(gè)n行n列的非零矩陣A，如果存在一個(gè)矩陣B使AB=BA=E（E是單位矩陣），則稱(chēng)A是可逆的，也稱(chēng)A為非奇異矩陣。第11頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩陣函數(shù)的應(yīng)用設(shè)矩陣解：A=[3-40;-152;41-6]det(A)%求矩陣的行列式的值rank(A)%求矩陣的秩inv(A)%求逆矩陣求A的行列式、秩和逆矩陣。第12頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求線(xiàn)性方程組的唯一解求線(xiàn)性方程組Ax=B的解，其中：解法1利用矩陣除法：X=A\B解法2利用求逆矩陣函數(shù)inv：X1=inv(A)*B比較：解法1比解法2更簡(jiǎn)便，解法1的算法優(yōu)于解法2，解法1可用于一般矩陣，而解法2只能用于非奇異的方陣因此，只需運(yùn)用解法1.第13頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月恰定方程組條件：rank(A)=rank(B)=r=n，指令：1）逆矩陣：x=inv(A)*b；2）左除法：x=A\b；3）符號(hào)矩陣：x=sym(A)\sym(b)。第14頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月恰定線(xiàn)性代數(shù)方程組求解解：（1）A=[21-51;1-30-6;02-12;14-76];b=[89-50]';2）鍵入xx=A\bxx=3.0000-4.0000-1.00001.0000

第15頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月欠定方程組（不定方程組）條件：R(A)=R(B)=r<n時(shí)指令： 1、它的通解由與其對(duì)應(yīng)的齊次方程Ax=0的通解和Ax=b的一個(gè)特解構(gòu)成。 2、求Ax=0的通解用null指令， 3、求Ax=b的一個(gè)特解用矩陣除法。第16頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月171)解的判斷鍵入A=[11-3-1;3-1-34;15-9-8];b=[140]';Ar=rank(A),br=rank([Ab])Ar=2br=2第17頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月182）求出與Ax=b對(duì)應(yīng)的齊次方程Ax=0通解由于n-r=2，對(duì)應(yīng)的齊次方程組含有兩個(gè)基向量。在指令窗中鍵入null(sym(A))%Z=null(A)

由奇異值分解得到的矩陣A的零空間標(biāo)準(zhǔn)正交基。

ans=[3/2,-3/4][3/2,7/4][1,0][0,1]第18頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月193）求Ax=b的一個(gè)特解在指令窗中鍵入A\b（須改變格式）Warning:Rankdeficient,rank=2tol=8.8373e-015.ans=00-0.53330.6000若鍵入sym(A)\sym(b)Warning:Systemisrankdeficient.Solutionisnotunique.ans=5/4-1/400第19頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月204）方程組Ax=b的通解方程組Ax=b的通解是由它的一個(gè)特解和方程組Ax=0的通解組成，這些前面已經(jīng)分別求出，將它們組合在一起就是非齊次線(xiàn)性方程組的通解：k1、k2為任意常數(shù)。第20頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月超定方程組條件：R(A)<R(B)=R([Ab])指令：左除A\b方法求出它的最小二乘解由于超定方程組沒(méi)有精確解，所以不能用符號(hào)矩陣除法來(lái)求解超定方程組第21頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月221)判定方程組解的結(jié)構(gòu)鍵入a=[1-23-1;3-15-3;212-2];b=[123]';ra=rank(a)，rb=rank([ab])ra=2rb=3第22頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月232）求方程組的最小二乘解鍵入a\bWarning:Rankdeficient,rank=2tol=5.4751e-015.ans=00.90480.71430第23頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩陣分解的相關(guān)知識(shí)設(shè)M是n階實(shí)系