第六章 章末復習課

章末復習課一、兩個計數原理1．分類加法計數原理和分步乘法計數原理是本章內容的學習基礎，在進行計數過程中，常因分類不明導致增(漏)解，因此在解題中既要保證類與類的互斥性，又要關注總數的完備性．2．掌握兩個計數原理，提升邏輯推理和數學運算素養(yǎng)．例1(1)現有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數為()A．484 B．472C．252 D．232答案B解析根據題意，共有Ceq\o\al(3,16)種取法，其中每一種卡片各取3張，有4Ceq\o\al(3,4)種取法，取2張綠色卡片有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,12)種取法，故所求的取法共有Ceq\o\al(3,16)－4Ceq\o\al(3,4)－Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,12)＝472(種)．(2)車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當車工又能當鉗工，現在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則有多少種選派方法？解方法一設A，B代表2位老師傅．A，B都不在內的選派方法有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)＝5(種)，A，B都在內且當鉗工的選派方法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＝10(種)，A，B都在內且當車工的選派方法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)＝30(種)，A，B都在內且一人當鉗工，一人當車工的選派方法有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)＝80(種)，A，B有一人在內且當鉗工的選派方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,4)＝20(種)，A，B有一人在內且當車工的選派方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(3,4)＝40(種)，所以共有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(3,4)＝185(種)選派方法．方法二5名男鉗工有4名被選上的方法有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝75(種)，5名男鉗工有3名被選上的方法有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,2)＝100(種)，5名男鉗工有2名被選上的方法有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(4,4)＝10(種)，所以共有75＋100＋10＝185(種)選派方法．方法三4名女車工都被選上的方法有Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,2)＝35(種)，4名女車工有3名被選上的方法有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,2)＝120(種)，4名女車工有2名被選上的方法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(4,5)＝30(種)，所以共有35＋120＋30＝185(種)選派方法．反思感悟應用兩個計數原理計數的四個步驟(1)明確完成的這件事是什么．(2)思考如何完成這件事．(3)判斷它屬于分類還是分步，是先分類后分步，還是先分步后分類．(4)選擇計數原理進行計算．跟蹤訓練1(1)從1,2,3,4,5,6這6個數字中，任取3個數字組成無重復數字的三位數，其中，若有1和3時，3必須排在1的前面；若只有1和3中的一個時，它應排在其他數字的前面，這樣不同的三位數共有________個．(用數字作答)答案60解析1與3是特殊元素，以此為分類標準進行分類．分三類：①沒有數字1和3時，滿足條件的三位數有Aeq\o\al(3,4)個；②只有1和3中的一個時，滿足條件的三位數有2Aeq\o\al(2,4)個；③同時有1和3時，把3排在1的前面，再從其余4個數字中選1個數字插入3個空中的1個即可，滿足條件的三位數有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3)個．所以滿足條件的三位數共有Aeq\o\al(3,4)＋2Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3)＝60(個)．(2)由甲、乙、丙、丁4名學生參加數學、寫作、英語三科競賽，每科至少1人(且每人僅報一科)，若學生甲、乙不能同時參加同一競賽，則不同的參賽方案共有________種．答案30解析從4人中選出兩個人作為一個元素有Ceq\o\al(2,4)種方案，同其他兩個元素在三個位置上排列有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)方案，其中有不符合條件的，即學生甲、乙同時參加同一競賽，共有Aeq\o\al(3,3)種方案，所以不同的參賽方案共有36－6＝30(種)．二、排列與組合的綜合應用1．排列、組合是兩類特殊的計數求解方式，在計數原理求解中起著舉足輕重的作用，解決排列與組合的綜合問題要樹立先選后排，特殊元素(特殊位置)優(yōu)先的原則．2．明確排列和組合的運算，重點提升數學建模及數學運算的素養(yǎng)．例2在高三(1)班元旦晚會上，有6個演唱節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目．(1)當4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？(2)當要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？(3)若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩朗誦和快板2個節(jié)目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？解(1)第一步先將4個舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成1個節(jié)目，與6個演唱節(jié)目一起排，有Aeq\o\al(7,7)＝5040(種)方法；第二步再松綁，給4個舞蹈節(jié)目排序，有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)方法．根據分步乘法計數原理，一共有5040×24＝120960(種)安排順序．(2)第一步將6個演唱節(jié)目排成一列(如圖中的“□”)，一共有Aeq\o\al(6,6)＝720(種)方法．×□×□×□×□×□×□×第二步再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個節(jié)目中間(即圖中“×”的位置)，這樣相當于7個“×”選4個來排，一共有Aeq\o\al(4,7)＝840(種)方法．根據分步乘法計數原理，一共有720×840＝604800(種)安排順序．(3)若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有Aeq\o\al(12,12)種排法，但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除，所以節(jié)目演出的順序有eq\f(A\o\al(12,12),A\o\al(10,10))＝Aeq\o\al(2,12)＝132(種)．反思感悟解決排列、組合綜合問題要注意以下幾點(1)首先要分清該問題是排列問題還是組合問題．(2)對于含有多個限制條件的復雜問題，應認真分析每個限制條件，再考慮是分類還是分步，分類時要不重不漏，分步時要步步相接．(3)對于含有“至多”、“至少”的問題，常采用間接法，此時要考慮全面，排除干凈．跟蹤訓練26個女生(其中有1個領唱)和2個男生分成兩排表演．(1)若每排4人，共有多少種不同的排法？(2)領唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少種不同的排法？解(1)要完成這件事分三步．第一步，從8人中選4人站在前排，另4人站在后排，共有Ceq\o\al(4,8)Ceq\o\al(4,4)種不同的排法；第二步，前排4人進行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種不同的排法；第三步，后排4人進行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種不同的排法．由分步乘法計數原理知，有Ceq\o\al(4,8)Ceq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)＝40320(種)不同的排法．(2)思路與(1)相同，有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)＝5760(種)不同的排法．三、二項式定理及其應用1．二項式定理有比較廣泛的應用，可用于代數式的化簡、變形、證明整除、近似計算、證明不等式等，其原理可以用于三項式相應展開式項的系數求解．2．二項式原理所體現的是一種數學運算素養(yǎng)．命題角度1二項展開式的“賦值問題”例3(1)若(2x＋eq\r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值為()A．－1B．0C．1D．2答案C解析在(2x＋eq\r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1，得(2＋eq\r(3))4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4；令x＝－1，得(－2＋eq\r(3))4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.兩式相乘，得(2＋eq\r(3))4·(－2＋eq\r(3))4＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4)．所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(－4＋3)4＝1.(2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0(x∈C)，求①(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2；②－a2＋a4－a6＋a8－a10.解①令x＝1，得a0＋a1＋…＋a10＝25；令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝65.兩式相乘，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝25×65＝125.②令x＝i，得－a10＋a9·i＋a8－a7·i－a6＋a5·i＋a4－a3·i－a2＋a1·i＋a0＝(－2－2i)5＝－25(1＋i)5＝－25[(1＋i)2]2(1＋i)＝128＋128i.整理得，(－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0)＋(a9－a7＋a5－a3＋a1)·i＝128＋128i，故－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0＝128.因為a0＝1，所以－a10＋a8－a6＋a4－a2＝127.反思感悟“賦值法”在二項展開式中的應用(1)觀察：先觀察二項展開式左右兩邊式子的結構特征．(2)賦值：結合待求和上述特征，對變量x賦值，常見的賦值有x＝－1，x＝0，x＝1等等，具體視情況而定．(3)解方程：賦值后結合待求建立方程(組)，求解便可．跟蹤訓練3若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，則a1＋a2＋a3＋…＋a11的值為________．答案5解析令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，令x＝3，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.命題角度2二項展開式的特定項問題例4已知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,\r(3,x))))n的展開式中，第5項的系數與第3項的系數之比是56∶3.(1)求展開式中的所有有理項；(2)求展開式中系數的絕對值最大的項；(3)求n＋9Ceq\o\al(2,n)＋81Ceq\o\al(3,n)＋…＋9n－1Ceq\o\al(n,n)的值．解(1)由Ceq\o\al(4,n)(－2)4∶Ceq\o\al(2,n)(－2)2＝56∶3，解得n＝10(負值舍去)，通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)(eq\r(x))10－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,\r(3,x))))k＝(－2)kCeq\o\al(k,10)，當5－eq\f(5k,6)為整數時，k可取0,6，于是有理項為T1＝x5和T7＝13440.(2)設第k＋1項系數的絕對值最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,10)2k≥C\o\al(k－1,10)2k－1，,C\o\al(k,10)2k≥C\o\al(k＋1,10)2k＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤\f(22,3)，,k≥\f(19,3)，))又因為k∈{1,2,3，…，9}，所以k＝7，當k＝7時，T8＝－15360，又因為當k＝0時，T1＝x5，當k＝10時，T11＝(－2)10＝1024，所以系數的絕對值最大的項為T8＝－15360.(3)原式＝10＋9Ceq\o\al(2,10)＋81Ceq\o\al(3,10)＋…＋910－1Ceq\o\al(10,10)＝eq\f(9C\o\al(1,10)＋92C\o\al(2,10)＋93C\o\al(3,10)＋…＋910C\o\al(10,10),9)＝eq\f(C\o\al(0,10)＋9C\o\al(1,10)＋92C\o\al(2,10)＋93C\o\al(3,10)＋…＋910C\o\al(10,10)－1,9)＝eq\f(1＋910－1,9)＝eq\f(1010－1,9).反思感悟二項式特定項的求解策略(1)確定二項式中的有關元素：一般是根據已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項式中的有關元素．(2)確定二項展開式中的常數項：先寫出其通項公式，令未知數的指數為零，從而確定項數，然后代入通項公式，即可確定常數項．(3)求二項展開式中條件項的系數：先寫出其通項公式，再由條件確定項數，然后代入通項公式求出此項的系數．(4)確定二項展開式中的系數最大或最小項：利用二項式系數的性質．跟蹤訓練4已知(eq\r(x)－eq\r(3,x))n的展開式中所有項的二項式系數之和為1024.(1)求展開式的所有有理項(指數為整數)；(2)求(1－x)3＋(1－x)4＋…＋(1－x)n的展開式中x2項的系數．解(1)由題意得，2n＝1024，∴n＝10，∴展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)(eq\r(x))10－k(－eq\r(3,x))k＝(－1)kCeq\o\al(k,10)＝(－1)kCeq\o\al(k,10)(k＝0,1，…，10)，令5－eq\f(k,6)∈Z，得k＝0,6.∴有理項為T1＝Ceq\o\al(0,10)x5＝x5，T7＝Ceq\o\al(6,10)x4＝210x4.(2)∵Ceq\o\al(k,n)＋Ceq\o\al(k－1,n)＝Ceq\o\al(k,n＋1)，∴Ceq\o\al(k－1,n)＝Ceq\o\al(k,n＋1)－Ceq\o\al(k,n)，∴x2項的系數為Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,10)＝(Ceq\o\al(3,4)－Ceq\o\al(3,3))＋(Ceq\o\al(3,5)－Ceq\o\al(3,4))＋…＋(Ceq\o\al(3,11)－Ceq\o\al(3,10))＝Ceq\o\al(3,11)－Ceq\o\al(3,3)＝164.1．(2019·全國Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數為()A．12B．16C．20D．24答案A解析展開式中含x3的項可以由“1與x3”和“2x2與x”的乘積組成，則x3的系數為Ceq\o\al(3,4)＋2Ceq\o\al(1,4)＝4＋8＝12.2．(2018·全國Ⅲ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))5的展開式中x4的系數為()A．10B．20C．40D．80答案C解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))5的展開式的通項公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)·(x2)5－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))k＝Ceq\o\al(k,5)·2k·x10－3k，令10－3k＝4，解得k＝2.故展開式中x4的系數為Ceq\o\al(2,5)·22＝40.3．(2020·新高考全國Ⅰ)6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方