2022高考數(shù)學(xué)沖刺考點分類新編考點35立體幾何中的向量方法（新課標(biāo)地區(qū)）

考點35立體幾何中的向量方法一、解答題1.（2022·福建卷理科·Ｔ20）(本小題滿分14分)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD.四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，.（I）求證：平面PAB⊥平面PAD；（II）設(shè)AB=AP.（=1\*romani）若直線PB與平面PCD所成的角為，求線段AB的長；（=2\*romanii）在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等？說明理由.【思路點撥】(1)證面面PAB中的直線AB，從而可推得面PAB，也可以建立坐標(biāo)系證明兩面的法向量垂直；（2）以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，然后用空間向量法進行求解探究.【精講精析】解法1：（=1\*ROMANI）因為平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA，又，所以平面PAD.又平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.在平面ABCD內(nèi)，作交于點E，則.在中，.設(shè)，則.由AB+AD＝4得AD＝，所以，（i）設(shè)平面PCD的法向量為由得取，得平面PCD的一個法向量.即解得或（舍去，因為），所以AB＝（ii）假設(shè)在線段AD上存在一個點G（如下圖），使得點G到點P、B、C、D的距離都相等，設(shè)G（0,m,0）(其中)，則由得即.①由得②由①②消去，化簡得③由于方程③沒有實數(shù)根，所以在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P，C，D的距離都相等.解法2：（=1\*ROMANI）同解法1.（Ⅱ）（i）同解法1.（ii）假設(shè)在線段AD上存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等.由GC＝GD，得從而即CG，所以.設(shè)，則，AG＝AD-GD＝.在中，這與GB＝GD矛盾.所以在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P、B、C、D的距離都相等.2.（2022·江蘇高考·Ｔ22）（本小題滿分10分）如圖，在正四棱柱中，，點是的中點，點在上，設(shè)二面角的大小為。（1）當(dāng)時，求的長；（2）當(dāng)時，求的長?！舅悸伏c撥】本題考察的是空間向量基本概念、線面所成角、距離、數(shù)量積、空間想象能力、運算能力，解決本題的關(guān)鍵是正確的建立空間坐標(biāo)系并正確標(biāo)出各個點的坐標(biāo)，然后利用空間向量的運算求解?！揪v精析】解析：以D為原點，DA為x軸正半軸，DC為y軸正半軸，DD1為z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0))，設(shè)M(0，1,z),面MDN的法向量，設(shè)面A1DN的法向量為，則取即(1)由題意：?。?）由題意：即取3.（2022·新課標(biāo)全國高考理科·Ｔ18） 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)證明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.【思路點撥】第(1)問,通過證明平面證明時,可利用勾股定理，第（2）問可建立空間直角坐標(biāo)系，求得二面角的余弦值【精講精析】（Ⅰ）因為,由余弦定理得從而BD2+AD2=AB2，故BDAD;又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD（Ⅱ）如圖，以D為坐標(biāo)原點，AD的長為單位長，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-，zzxPCBADy則,,,.設(shè)平面PAB的法向量為n=（x,y,z），則,即因此可取n=設(shè)平面PBC的法向量為m，則可取m=（0，-1，），故二面角A-PB-C的余弦值為.4.（2022·山東高考理科·Ｔ19）（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠

ACB=，EA

⊥平面ABCD，EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EG∥=２EF.（Ⅰ)若Ｍ是線段AD上的中點，求證：GM∥平面ABFE;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求平面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小.【思路點撥】（1）本小題考查線面平行的判定，只需在平面內(nèi)找一條直線和已知直線平行即可.（2）本題考查利用空間向量求二面角的大小，先建立合適的空間直角坐標(biāo)系，再分別求出平面BFC與平面ABF的法向量，兩個法向量的夾角（或補角）即為所求二面角的大小.【精講精析】幾何法：證明：（Ⅰ），可知延長交于點，而，，則平面平面，即平面平面，于是三線共點，，若是線段的中點，而,則，四邊形為平行四邊形，則，又∵平面，AFC平面ABFE.所以平面；（Ⅱ）由平面，作，則平面，作，連接，則，于是為二面角的平面角.若，設(shè)，則，，為的中點，，，，在中,則，即二面角的大小為.坐標(biāo)法：（Ⅰ）證明：由四邊形為平行四邊形，，平面，可得以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,，E（0,0，c）.由可得，由得,，則，，而平面，所以平面；（Ⅱ）若，設(shè)，則，,則,,,設(shè)分別為平面與平面的法向量.則，令，則，；，令，則，.于是，則，即二面角的大小為.5.（2022·北京高考理科·T16）(14分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦值；（Ⅲ）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長.AABCDP【思路點撥】本題可利用PA,AC,BD兩兩互相垂直，建系求解.【精講精析】（Ⅰ）因為四邊形ABCD是菱形，所以.又因為平面ABCD，所以.所以平面PAC.（Ⅱ）設(shè).因為，所以，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，yyxzOABCDP則，，所以.設(shè)PB與AC所成角為，則.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，設(shè).則，設(shè)平面PBC的法向量，則，所以，令，則，所以.同理，平面PDC的法向量.因為平面PBC平面PDC，所以，即，解得.所以PA=.6．（2022·湖南高考理科·T19）（12分）如圖5，在圓錐PO中，已知PO=，⊙o的直徑AB=2，點C是的中點，D為AC的中點.（Ⅰ）證明：平面POD平面PAC；（Ⅱ）求二面角B-PA-C的余弦值.【思路點撥】本題主要考查了空間位置關(guān)系，首先考查空間垂直的證明，由面面垂直作為基礎(chǔ)考查線面垂直，再轉(zhuǎn)到線線垂直.再考查二面角的求法，求二面角要扣住定義法.另外解決立體幾何的方法有兩種：一是幾何法，主要考查思維能力.二是向量法，主要考查向量的運用，而向量法又有兩種，一是坐標(biāo)法，二是基底法.【精講精析】（I）連接，因為,為的中點，所以.又因為內(nèi)的兩條相交直線，所以而，所以。（II）在平面中，過作于，由（I）知，,所以又所以.在平面中，過作連接,則有，從而，所以是二面角的平面角．在在在在,所以。故二面角的余弦值為。7．（2022·陜西高考理科·T16）（本小題滿分12分）如圖，在△ABC中，∠ABC=，∠BAC，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC．（Ⅰ）證明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）設(shè)E為BC的中點，求與夾角的余弦值．【思路點撥】（1）確定圖形在折起前后的不變性質(zhì)，如角的大小不變，線段長度不變，線線關(guān)系不變，再由面面垂直的判定定理進行推理證明；（Ⅱ）在（Ⅰ）的基礎(chǔ)上確定出三線兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)量積運算求解．【精講精析】（Ⅰ）∵折起前AD是BC邊上的高，∴當(dāng)△ABD折起后， AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，∵AD平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC．（Ⅱ）由∠BDC及（1）知DA，DB，DC兩兩垂直，不妨設(shè)|DB|=1，以D為坐標(biāo)原點，以，，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得：D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,,0)，所以，，∴所以與夾角的余弦值是．8.（2022·浙江高考理科·Ｔ20）（本題滿分15分）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2

（Ⅰ）證明：AP⊥BC；（Ⅱ）在線段AP上是否存在點M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由.【思路點撥】向量法是解決立體幾何問題的重要方法，這兩小題均可用向量法解決，當(dāng)然這類問題用傳統(tǒng)的幾何方法仍能得以解決。本題主要考查點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，空間想象能力與運算求解能力。【精講精析】方法一:（Ⅰ）證明：如圖，以O(shè)為原點，以射線OP為z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則O（0,0,0），A（0，-3,0），B（4,2,0），C（-4,2,0）,P（0,0,4）由此可得所以⊥，即AP⊥BC.（Ⅱ）解：設(shè)設(shè)平面BMC的法向量平面APC的法向量由得即可取由即得可取由，得解得，故AM=3綜上所述，存在點M符合題意，AM=3.方法二：（Ⅰ）證明：由AB=AC,D是BC的中點，得AD⊥BC,又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC。因為PO∩AD=0，所以BC⊥平面PAD故BC⊥PA.（Ⅱ）解：如下圖，在平面PAB內(nèi)作BM⊥PA于M,連CM.由（Ⅰ）中知AP⊥