（解析版）江蘇省南通市如皋市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期8月診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試題

第1頁/共1頁如皋市2024屆高三上學(xué)期8月診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試題2023.08注意事項(xiàng)（請(qǐng)考生作答前認(rèn)真閱讀以下內(nèi)容）：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并用2B鉛筆填涂準(zhǔn)考證號(hào).2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.試卷共4頁，共22小題；答題卡共2頁.滿分150分.考試用時(shí)120分鐘一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，，若，則實(shí)數(shù)m取值范圍（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得集合A，根據(jù)可得在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案.【詳解】解不等式，即，即，又，，故在上恒成立，即在上恒成立，而在上單調(diào)遞減，故，故，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故選：B2.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，圓錐的高為，內(nèi)切球的半徑為，則由題意可得，從而可求得，作出軸截面如圖，利用與相似可求出，從而可求出圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，圓錐的高為，內(nèi)切球的半徑為，其軸截面如圖所示，設(shè)為內(nèi)切球球心，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，所以，得，即，所以，所以，因?yàn)椤?，所?所以，得，所以圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為，故選：A3.設(shè)為正實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰好在直線上，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出，得到在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)代入直線方程即可求解.【詳解】由題意可得，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，將點(diǎn)代入得，解得，故選：A4.已知圓上兩動(dòng)點(diǎn)A，B滿足為正三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件可得，由此確定點(diǎn)的軌跡方程，再求的最大值可得結(jié)論.【詳解】由題可知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，則，又，所以點(diǎn)的軌跡方程為，且．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，所以的最大值為．故選：D．5.文化廣場(chǎng)原名地質(zhì)宮廣場(chǎng)，是長(zhǎng)春市著名的城市廣場(chǎng)．現(xiàn)某興趣小組準(zhǔn)備在文化廣場(chǎng)上對(duì)中央太陽鳥雕塑塔的高度進(jìn)行測(cè)量，并繪制出測(cè)量方案示意圖，A為太陽鳥雕塑最頂端，B為太陽鳥雕塑塔的基座（即B在A的正下方），在廣場(chǎng)內(nèi)（與B在同一水平面內(nèi)）選取C、D兩點(diǎn)．測(cè)得CD的長(zhǎng)為興趣小組成員利用測(cè)角儀可測(cè)得的角有、、、、，則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù)，不能計(jì)算出太陽鳥雕塑塔高度AB的是（）A.m、、、 B.m、、、C.m、、、 D.m、、、【答案】B【解析】【分析】依據(jù)解三角形的條件，逐項(xiàng)判斷可解三角形求出太陽鳥雕塑塔高度的選項(xiàng)即可．【詳解】對(duì)于A：由，、可以解，又，可求太陽鳥雕塑塔高度；對(duì)于B：在中，由，無法解三角形，在中，由，無法解三角形，在中，已知兩角，無法解三角形，所以無法解出任意三角形，故不能求太陽鳥雕塑塔高度；對(duì)于C：由，、可以解，可求，又，即可求太陽鳥雕塑塔高度；對(duì)于D：如圖，過作于，連接，由，，，知，故可知的大小，由、，可解，可求，又，可求太陽鳥雕塑塔高度；故選：B．6.在中，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同兩點(diǎn)，若，均為正數(shù)，則的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算表示出，利用三點(diǎn)共線可得，將該式與相乘，結(jié)合均值不等式即可求得答案.【詳解】由題意知，由于M、O、N三點(diǎn)共線，可知，由于均為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故選：C7.設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為q，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“”是“恒成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】充分性直接證明，必要性舉特值驗(yàn)證.【詳解】．當(dāng)時(shí)，，可知．所以“”是“，恒成立”的充分條件．又當(dāng)時(shí)，．若n為偶數(shù)，則；若m為奇數(shù)，則．所以，當(dāng)時(shí)，恒成立．綜上，“”是“恒成立”的充分不必要條件，故選：A．8.函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，易知，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；故在處取得極大值即最大值，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，A，B為該橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，若，則滿足條件的橢圓方程為（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意為該橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，且，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，分類討論，即可求解.【詳解】由題意，已知F為橢圓一個(gè)焦點(diǎn)，其中為該橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，且，當(dāng)為左右兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，可得，解得，所以，此時(shí)橢圓的方程為；當(dāng)為橢圓短軸的頂點(diǎn)，為長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)時(shí)，可得解得，則，此時(shí)橢圓的方程為；當(dāng)為橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)，為短軸的頂點(diǎn)時(shí)，可得，解得，則，此時(shí)橢圓的方程為.故選：BCD.10.函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.的最小正周期是C.在上單調(diào)遞增 D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)偶函數(shù)的定義即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)周期性的定義即可判斷；對(duì)于C，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可判斷；對(duì)于D，通過去絕對(duì)值將原函數(shù)寫成分段函數(shù)，再去求函數(shù)的值域之后即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期不是，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以，令，解得，令，解得，當(dāng)時(shí)，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上不單調(diào)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋允呛瘮?shù)的周期，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，因?yàn)?，，所以，所以，所以，綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)椋吹淖钚≈禐?，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)的定義域，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.是定義在上的偶函數(shù)B.在上單調(diào)遞增C.若，則D.當(dāng)是鈍角的兩個(gè)銳角時(shí)，【答案】BC【解析】【分析】利用賦值法及函數(shù)奇偶性的定義可判斷A；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合條件可判斷B；由題可得，然后利用等比數(shù)列的定義可判斷C；根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件可判斷D.【詳解】對(duì)于A，令得，即得，在定義域范圍內(nèi)令得，即是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，且，所以，又，且，所以，所以，所以是單調(diào)增函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由，可得，即，即，所以是等比數(shù)列，又，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)槭氢g角的兩個(gè)銳角，則，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC12.如果一個(gè)凸n面體共有m個(gè)面是直角三角形，那么我們稱這個(gè)凸n面體的直度為，則（）A.三棱錐的直度的最大值為1B.直度為的三棱錐只有一種C.四棱錐的直度的最大值為1D.四棱錐的直度的最大值為【答案】AD【解析】【分析】借助于正方體模型，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】如圖，借助于正方體模型，圖1中三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形，其直度為1，A正確；圖1中三棱錐，三個(gè)面都是直角三角形，面正三角形，其直度為；圖2中三棱錐，三個(gè)面都是直角三角形，面為正三角形，其直度為，故直度為的三棱錐不止一種，B錯(cuò)誤；四棱錐的共有5個(gè)面，底面為四邊形，故其直度不可能為1，C錯(cuò)誤；圖3中的四棱錐的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，底面為正方形，故四棱錐的直度的最大值為，D正確，故選：AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.個(gè)人分乘三輛不同的汽車，每輛車最多坐人，則不同的乘車方法有______種（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】先分好組，三組人數(shù)分別為、、或、、，再將三組分配給三輛車，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】先分好組，三組人數(shù)分別為、、或、、，再將三組分配給三輛車，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的乘車方法種數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決分配問題一般遵循先分組再分配的方法進(jìn)行，但要正確判斷是不是平均分組、有序分組，無序平均分組要除以組數(shù)的階乘，有序平均分組是在平均分組的基礎(chǔ)上乘以組數(shù)的階乘.14.在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)半徑最大，當(dāng)邊長(zhǎng)為的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時(shí)半徑達(dá)到最小.【詳解】設(shè)球的半徑為.當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點(diǎn)，正方體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng)，即，故；分別取側(cè)棱的中點(diǎn)，顯然四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，且為正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，連接，則，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達(dá)到最小，即的最小值為.綜上，.故答案為：15.過點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率的取值范圍為_______.【答案】【解析】【分析】分析可知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，將切線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，由可得出關(guān)于的方程，可知方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求出的取值范圍，即可求得該雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，由可得，故直線與雙曲線相交，不合乎題意；當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，聯(lián)立可得，因?yàn)檫^點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則，可得，由題意可知，關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以，，可得，又因?yàn)?，即，因此，關(guān)于的方程沒有的實(shí)根，所以，且，解得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，該雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：.16.若，，則________．【答案】【解析】【分析】由，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，得，由，令，則，從而可得，則，從而得出答案.【詳解】由，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，得由，令，則所以，即所以，設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增，由以及，則由即，則故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性得到相應(yīng)關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是由條件得到，利用換元令，進(jìn)一步得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，AB的中點(diǎn).（1）證明：直線平面.（2）求點(diǎn)B到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)三棱錐的體積公式，結(jié)合三棱錐的等積性進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】證明：如圖，連接EF，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是，AB的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，則.又平面，平面，所以直線平面.【小問2詳解】連接EB.設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h.，在中，，，.又因?yàn)?，所以，解?18.已知a，b，c為的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，向量，，且.（1）求；（2）若，的面積為，且，求線段的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求出；（2）先根據(jù)面積求出，利用向量運(yùn)算求解的長(zhǎng).【小問1詳解】因?yàn)椋?由正弦定理，得，即，由余弦定理，得.因?yàn)?，所?【小問2詳解】，解得.因?yàn)?，所以為的三等分點(diǎn)，，則，所以，.19.已知函數(shù).（1）求的最大值;（2）證明：【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用多次求導(dǎo)的方法求得的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得的最大值.（2）利用導(dǎo)數(shù)，首先將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【小問1詳解】，定義域?yàn)?，則，令，因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，，令，可得，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.【小問2詳解】要證，即證，

令

令得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，即欲證，只需證也就是證明

設(shè)，則，令，得

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，取到最小值故式成立，從而成立.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值時(shí)，當(dāng)一次求導(dǎo)無法解決，可考慮利用多次求導(dǎo)的方法來進(jìn)行求解.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，可先將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為容易證明的形式，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，滿足.（1）求證：；（2）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（3）若，公差，問是否存在，，使得？如果存在，求出所有滿足條件的，，如果不在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）存在，或.【解析】【分析】（1）已知條件是時(shí)，，令可證結(jié)論；（2）已知條件變形，用累加方法得，從而，把此式再寫一次：當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：時(shí)，，同時(shí)也適合此式，從而證明是等差數(shù)列；（3）由求得，讓從2開始一一檢驗(yàn)，看是否有，當(dāng)然時(shí)，有，.【詳解】（1）證明：∵時(shí)，，令得，，∴.（2）由，∴，各式相加得，，當(dāng)時(shí)，，由時(shí)，，而，，也滿足上式，∴為等差數(shù)列.（3）∵，公差為，∴，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（舍），時(shí)，（舍），當(dāng)時(shí)，（舍），時(shí)，（舍），當(dāng)時(shí)，（舍），當(dāng)時(shí)，，∴，（舍），綜上或.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明，由的遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列，由于已知式較復(fù)雜，因此關(guān)鍵是第一步的變形：，這樣可用累加法求得，再由得（），然后說明前3項(xiàng)也適合此表示法，完成證明.這里涉及到與的關(guān)系，要注意在推理過程中的取值范圍.21.一只口袋裝有形狀、大小完全相同的5只小球，其中紅球、黃球、綠球、黑球、白球各1只．現(xiàn)從口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1只球．（1）當(dāng)時(shí)，求恰好取到3次紅球的概率；（2）X表示2n次取球中取到紅球的次數(shù)，，求Y的數(shù)學(xué)期望（用n表示）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出從裝有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共包含幾種情況，再求出恰好取到3次紅球的取法種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.（2）確定隨機(jī)變量Y的所有可能取值，求得的表達(dá)式，繼而計(jì)算，并結(jié)合二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)計(jì)算，即可求得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，從裝有5只小球的口袋中有放回的取球6