傅立葉光學(xué)習(xí)題與答案

云南師范大學(xué)2005-2006學(xué)年上學(xué)期統(tǒng)一考試學(xué)院物理與電子學(xué)院專業(yè)光學(xué)工程年級2005級班級 學(xué)號 姓名一個正復(fù)振幅光柵，振幅透過率為：t(x,y)=—+—cos2Kfxoo ^2^2 。放在一個直徑為的圓形會聚透鏡(焦距為f)之前，并且用平面單色波傾斜照射，平面波的傳播方向在xz平面內(nèi)，與軸夾角為o，如圖1所示。0<求通過物投射的光振幅分布的頻譜。(3)假定d=d=2f，問像平面上會出現(xiàn)強度變化的角0是多少0i(4)假定用的傾斜角就是這個最大值，求像平面上的強度分布。它與0=0時相應(yīng)的強度分布比較,情況如何(5)假定照明傾角0采用上述極大值，問使得像平面上出現(xiàn)強度變化的最大光柵頻率是多少這個頻率與0=0時的截止頻率比較，結(jié)論如何(40%)圖1圖1⑴解：傾斜單色平面波入射，在物平面上產(chǎn)生的入射光為Aexp(m0sin0)，則物平面的投射光場為：U(xU(x,y)=Aexp(jRx

000 0sin0)?t(x,y0 0)=Aexp(jRxsin0).2(1+cos2nfx)A sin9、1 sin9八1 sin9.=5{exp(j2兀%°—^―)+,exp[j2kx0(-^—+f)+-exp[-j2兀%0(f--^—)]}它的頻譜為：TOC\o"1-5"\h\zA(f,f)=F{U(x,y)=F{U(%,y)}0xy 0 0 0 0Asin9 1 sin9 1 sin9=-{S(f- ,f)+-5[f-(f+ ),f]+-6[f-(f+-^—)};2 %人% 2 % 人y2 % 人(2)解：在相干光照明下，系統(tǒng)的截止頻率為(2)解：在相干光照明下，系統(tǒng)的截止頻率為f0l

2Xd-

i為了取到盡可能大的9為了取到盡可能大的9，即取最低的兩個頻率分量sin9 sin9(^^,0),(-f+-^,0)

人 人sin9于是要求-sin9于是要求-人ll? ;及- 2九d 2九diisin9 l?-f+ ? 九 2九di將d=2f代入上述兩個不等式，得到滿足兩個頻率分量通過系統(tǒng)的條件i廿--<sin9<—,最大值為9 =sin-1(—)；4f 4f max、4f，'Jf2+f2(3)解：直徑為的圓形透鏡相干傳遞函數(shù)為H(f,f)=circ(土寧——」)，%y l2九d3當9取最大值，sin當9取最大值，sin94f；此時物場的二個頻率分量中只有一個較高頻率分量超出系統(tǒng)的截止頻率，因而sin9的截止頻率，因而sin9"r,f=。以出=-f+sin9+^—，f=0人y像的頻譜為：A(f,f)=A(f,fH(f,f)0%sin9T-sin9T-%yf+、V人/r-f+孚、V人/%y像平面復(fù)振幅分布為：u?3,丁3)=f-1AI(?=—\expj2Kx收fysin9))}光強分布為:I(x,y)=3 3 3vA(.——

=—expj2Kx1一一(一+^exp[j2Kx3-f+3套|x口+2exp(-j2”)人2[1+1exp(-j2kxj}x[1+2exp(j2kxf)=上[5+cos2f：]3 44當當9=°時；設(shè)f<f0貝Uu(x,y)=—(1+cos2nfx)3 3 3 2 3相應(yīng)光強分布為：I相應(yīng)光強分布為：Ii)二1—+2cos2兀fx+cos2 3 2且沒有倍頻成分。max通過①②兩式比較，可看出9=9 時，條紋對比度較差且沒有倍頻成分。maxmax(4)解：照明傾角9為極大時德廿-4f<sin9;廿-9=0時，光柵頻率不大于系統(tǒng)截止頻率，即f<二W4fN max比較上式③④，可知9=9傾角的平面波照明，系統(tǒng)允許通過的物光柵的頻率比垂直照明max大。一，/、 ,、 /、zx—1、.已知f(x)=rect(x),h(x)二rect()。求：f(x)*h(x),并作圖，說明其性質(zhì)和意義。g(x)=f(x)*h(x)=Jf(a)h(x—a)da一8當—8<x<-1/2時，g(x)=0當一1/2<x<1/2時，g(x)=Jda=x+——1/23/,2當1/2<x<3/2時，g(x)=Jda=1—1/2112當3/2<x<5/2時，g(x)=Jda=——x當x>5時，g(x)=0—2+x0,(x<1/2)故： g(x)=f(x)*(x)=<x故： g(x)=f(x)*(x)=<5/2—x,(3/2<x<5/2)0,(x>5/2)圖為：>三、在4f系統(tǒng)中，輸入物是一個無限大的矩形光柵，設(shè)光柵常數(shù)d=4,線寬a=1,最大透過率為1，如不考慮透鏡有限尺寸的影響：（1）寫出傅立葉平面p2上的頻譜分布表達式；（2）寫出輸出平面復(fù)振幅和光強分布表達式；（3）在頻譜面上作高通濾波，擋住零頻分量，寫出輸出面復(fù)振幅和光強分布表達式；（4）若將一個兀相位濾波器H（x,y）=[exp（加）x2,'亡0,'02々10 其它放在p2平面的圓點上，寫出輸出面復(fù)振幅和光強分布表達式，并用圖形表示。（20%）{解：(1)因為是無限大的矩形光柵，即B不用考慮所以t(x1)=(1/d).rect(x1/a)*comb(x1/d)可以在頻譜面上得到它的傅立葉變換T(fx)=FS{t(x1)}=(a/d){sinc(fx)+sinc(a/d).sinc(fx-1/d)+sinc(a/d).sinc(fx＋TOC\o"1-5"\h\z1/d)+……} * * *把a=1,d=4代入上式T (fx ) = ( 1/4 ){sinc(f)+sinc(1/4).sinc(f-(1/4))+sinc(1/4)sinc(f+(1/4))+…..}= ( 1/4 ){sinc(f)+sinc(1/4)8(f-(1/4))+sinc(1/4)8(f+(1/4))+…..})(2)t(x3)=(1/4)rect(x3)*comb(x3/4)I(x3)=|t(x3)|2=(1/16)[rect(x3)*comb(x3/4)]2(3)阻擋零頻分量，可使像發(fā)生寸度反轉(zhuǎn)t(x3)=(1/4)[rect(x3)*comb(x3/4)]-(1/4)rect(x3/4)I(x3)=|t(x3)|2⑷相位為冗的濾波器相當于將寸度再次反轉(zhuǎn)t(x3)=(1/4)[rect(x3)*comb(x3/4)]-(1/4)rect(x3/4)-(1/4)rect(x3/4)I(x3)=|t(x3)|2四.以傅里葉變換全息為例，推導(dǎo)并解釋如下概念：(10%)(1)全息再現(xiàn)像的分辯率(2)線模糊}(3)色模糊TOC\o"1-5"\h\z解：(1)傅立葉變換全息圖記錄物的傅立葉譜，記錄過程中物。(％y)置于透鏡前焦面上，0, 0用平行光照明，將全息干板置于后焦面上，用斜入射的平行光作為參考光，設(shè)物光為O(x,y)=O(xy)exp[j。(x,y)]，參考光由位于前焦面上的點光源產(chǎn)生的，坐標0 0 0 0,0 0 0 0(-b,o),表述為R(x,y)=RB(x+b,y)，經(jīng)變換干板處的光振動00 0 0 0U=F{O}+F{R}，其中F是傅氏變換，暴光光強為I(f,f)=UI2,其中H xyHfx=xf/Off),fy=yf!/Off)為空間頻率分量，xf，yf為透鏡后焦面上的空間坐標，f為透鏡焦距，經(jīng)線性處理后，全息圖的透過率tXI，再現(xiàn)中，用平行光HC(x,y)=Cexp(j。)=1垂直入射到全息圖上，全息圖后的光振動為：00U=C-t=t，再現(xiàn)像為U=F-i{U'}。對記錄介質(zhì)分辨率的要求不受物體本身精H HH f H

細結(jié)構(gòu)的影響，而取決于全息圖中最精細的光柵結(jié)構(gòu)因而應(yīng)該滿足R>4f，其中R為記x0錄介質(zhì)分辨率，f表示全息圖的頻譜成分，即空間頻率。再現(xiàn)像的分辨率取決于全息圖的x0寬度，它所記錄的空間頻率越豐富，分辨率越高。（2）線模糊：實際光源上每一點作為參考光源，會產(chǎn)生全息圖上不同光柵結(jié)構(gòu)，作為再現(xiàn)光源會產(chǎn)生不同的再現(xiàn)像，一個物點將對產(chǎn)生多個像點也就是說，用擴展光源作為參考光源和再現(xiàn)光源時會導(dǎo)致再現(xiàn)像的展寬，這個現(xiàn)象稱做線模糊。設(shè)參考光源和再現(xiàn)光源的現(xiàn)度分別為AR和AC，人Jarac)AL=I+l3（3）色模糊：對于像全息，再現(xiàn)光源的光譜寬度對像清晰程度仍然是有影響，因為實際上光不能使物上所有點均能滿足1Z0I為最小，這時一個物點不是對應(yīng)一個像點，而是對應(yīng)一個線段。這種由于波長的不同而產(chǎn)生的像的擴展叫做像的色模糊，即使Z設(shè)參考光源和再現(xiàn)光源的現(xiàn)度分別為AR和AC，人Jarac)AL=I+l3（3）色模糊：對于像全息，再現(xiàn)光源的光譜寬度對像清晰程度仍然是有影響，因為實際上光不能使物上所有點均能滿足1Z0I為最小，這時一個物點不是對應(yīng)一個像點，而是對應(yīng)一個線段。這種由于波長的不同而產(chǎn)生的像的擴展叫做像的色模糊，即使Z0足夠小，當A九相當大時，仍然回形成不可忽視的色模糊；色模糊（彌散量）：AZ工ZA九j九202五、如圖2所示，邊長為2a的正方形孔內(nèi)在放置一個邊長為a的正方形掩模，其中心落在（己,n）點。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求出與她相距為z的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣的光場強度分布，畫出己=「=0時，孔徑頻譜在x方向上的截面圖。（20%）]解：（1）孔徑的振幅透射率函數(shù)可表示為兩個矩形函數(shù)之差rect一rectrectrect\aJtQ,y)=rect1,，1rectI一rect-Ic2afy采用單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面透射光場為Q1,yJ=t(x1,y1)=rect它的傅里葉變換式為4a2sincaJ把它代人夫瑯禾費衍射方程：uQ,y)=exp!Jk'exp[j—x2+y2\xJfuQ,y)exp[-j2^-(xx+yy)dxy]070 j1z 2z0 0Q 1— 1z01為一 "1」一8得到孔的夫瑯禾費衍射分布：六、波長為的單位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上，在孔徑平面上有一足夠大的摸板，其振幅透過率為t(x°X°.5(1+cos2兀x產(chǎn)?，求緊靠孔徑投射場的角譜。(20%)(五、六題選做一題)六、波長為的單位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上，在孔徑平面上有一足夠大的摸板，解：入射到孔徑的場分布為U(x,y)=1，模板的it(x。)=0.5(l+cos2kx邛)，所以模板后的透射場分布為:U(x,y)=U(x,y)-t(x,y),cosacosP透過率為：cosP

"X"透過率為：cosP

"X"由傅氏變換的卷積定理可得：,/cosacosP、，,cosaA(-^^,^^)=A(--

t入入i入cosP cosa丁)”(丁其中A(