函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)2

人教A版選修2—2精講細(xì)練1.3.3函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)一、知識(shí)精講求f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的步驟(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值(極大值或極小值)(2)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)(端點(diǎn)處)比較,其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.【注1】函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問(wèn)題,是一個(gè)局部概念,而函數(shù)的最值是對(duì)整個(gè)定義域而言,是在整體范圍內(nèi)討論問(wèn)題,是一個(gè)整體性的概念；【注2】閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極值必是函數(shù)的最值；【注3】函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個(gè),而函數(shù)的極值則可能不止一個(gè),也可能沒(méi)有極值,并且極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值).二、典例細(xì)練【題型一】：導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值例題1：求下列各函數(shù)的最值．(1)f(x)＝－x＋2x＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝e－e，x∈[0，a]，a為正常數(shù)．【解析】(1)f′(x)＝－4x＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1或x＝0或x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)及f(x)的變化情況如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60↗極大值4↘極小值3↗極大值4↘－5∴當(dāng)x＝－3時(shí)，f(x)取得最小值－60；當(dāng)x＝－1或x＝1時(shí)，f(x)取得最大值4.(2)f′(x)＝(eq\f(1,ex))′－(ex)′＝－eq\f(1,ex)－ex＝－eq\f(1＋e2x,ex).當(dāng)x∈[0，a]時(shí)，f′(x)<0恒成立，即f(x)在[0，a]上是減函數(shù)．故當(dāng)x＝a時(shí)，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.變式訓(xùn)練1：(湖北卷理科21)已知函數(shù)，求函數(shù)f(x)的最大值.【解析】f(x)的定義域?yàn)椋?，解得，?dāng)時(shí)，，在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)是減函數(shù)；故函數(shù)f(x)在處取得最大值f(1)=0變式訓(xùn)練2：(江西卷理科19)(本小題滿分12分)設(shè)（1）若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍．（2）當(dāng)時(shí)，在的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值．解析：（1），因?yàn)楹瘮?shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以的解集與集合有公共部分，所以不等式解集的右端點(diǎn)落在內(nèi)，即，解得．（2）由得，又，所以，，所以函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，又，，因?yàn)?，所以，所以，所以．最大值為．【題型二】：含參的最值問(wèn)題例題2：若f(x)＝ax－6ax＋b(a>0)，x∈[－1,2]的最大值為3，最小值是－29，求a、b的值．【解析】f′(x)＝3ax－12ax＝3a(x－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4，∵x∈[－1,2]，∴x＝0.∵a>0，∴f(x)，f′(x)隨x變化情況如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)↗最大值3↘∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取最大值，∴b＝3.又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3>f(2)∴當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，∴a＝2，∴a＝2，b＝3.變式訓(xùn)練：（高考安徽卷理科16)設(shè)，其中為正實(shí)數(shù)；若為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍?！窘馕觥浚阂?yàn)闉樯系膯握{(diào)函數(shù)，而為正實(shí)數(shù)，故為上的單調(diào)遞增函數(shù)恒成立，即在上恒成立，因此，結(jié)合解得【題型三】：導(dǎo)數(shù)法在解不等式中的應(yīng)用例題3：(遼寧卷理科21)已知函數(shù)f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.（I）討論f（x）的單調(diào)性；（II）設(shè)a＞0，證明：當(dāng)0＜x＜時(shí)，f（+x）＞f（-x）【解析】（I）（i）若單調(diào)增加.（ii）若且當(dāng)所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少.（II）設(shè)函數(shù)則當(dāng).故當(dāng)，變式訓(xùn)練1：(全國(guó)新課標(biāo)卷理科21)（本小題滿分12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍。【解析】（Ⅰ），由題意知：即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，設(shè)則，⑴如果，由知，當(dāng)時(shí)，，而故，由當(dāng)?shù)茫?/p>