基于博弈論的在校大學(xué)生幾部多因的出勤行為分析

基于博弈論的在校大學(xué)生幾部多因的出勤行為分析

現(xiàn)在，高校學(xué)生的教學(xué)效率已經(jīng)開始崛起。張忠德從學(xué)生與老師、學(xué)生與校方、學(xué)生與企業(yè)之間的博弈分析探討大學(xué)生逃課現(xiàn)象存在的原因,進(jìn)而針對性地提出解決方法。趙曉東運(yùn)用博弈論知識(shí),建立老師和愛曠課的學(xué)生之間的課堂點(diǎn)名博弈模型,用經(jīng)濟(jì)學(xué)的原理解釋了學(xué)生曠課的本質(zhì)原因,最后僅從老師的收益最大化為出發(fā)點(diǎn),通過采取策略性行動(dòng)來改善老師在此博弈中的收益,從而減少曠課現(xiàn)象的發(fā)生。沈智祥和陳晨運(yùn)用經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本方法分析了大學(xué)生的逃課現(xiàn)象,分析表明逃課現(xiàn)象是經(jīng)濟(jì)行為人在課程市場信號傳遞強(qiáng)度及逃課成本的約束下追求自身利益最大化的選擇行為。預(yù)期收益與度量費(fèi)用的比較,預(yù)期凈收益越大,被選擇作為市場信號的可能性越大,其市場信號傳遞強(qiáng)度越大,逃課成本取決于課程的性質(zhì)特點(diǎn)。與此同時(shí),師生之間的博弈,特別是在考核方式和制度約束的軟硬程度,成為控制逃課現(xiàn)象的重要因素。汪曉文和張科舉用博弈論的知識(shí),建立一個(gè)關(guān)于學(xué)生逃課與教師點(diǎn)名行為的博弈均衡模型,來解釋日常學(xué)習(xí)生活中的這種學(xué)生逃課、老師點(diǎn)名的博弈現(xiàn)象。同時(shí),試圖把模型分析的范圍擴(kuò)大化。陳杰,蔡秒和殷智遠(yuǎn)認(rèn)為高校是以提升綜合實(shí)力為根本利益訴求的整體利益主體,高校教師則是追求其個(gè)體利益訴求最大化的個(gè)體利益主體,二者之間存在合作與沖突并存的利益博弈—委托—代理關(guān)系。深入認(rèn)識(shí)和分析二者之間的這種博弈關(guān)系,對于消除高校教師“棘輪效應(yīng)”,提升高校教育、教學(xué)、科研質(zhì)量,促進(jìn)優(yōu)良校風(fēng)、教風(fēng)養(yǎng)成,最終實(shí)現(xiàn)高校整體利益訴求和教師個(gè)體利益訴求的“雙贏”具有重要作用?？梢?前人雖有從經(jīng)濟(jì)學(xué)方面著手進(jìn)行研究,但都不夠充分,本文在比較分析前人研究成果的基礎(chǔ)上,從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度出發(fā),利用信息經(jīng)濟(jì)學(xué)、博弈論等工具將出勤率低轉(zhuǎn)化為學(xué)生與教師間的博弈分析,對在校大學(xué)生的上課出勤率低的問題進(jìn)行了更全面、更系統(tǒng)的研究。本文假設(shè)教師采取的是無規(guī)律點(diǎn)名,即隨機(jī)點(diǎn)名策略,使得每一名學(xué)生被點(diǎn)到的概率均相同。這樣學(xué)生無規(guī)律可循,只有通過期望收益的考慮來做出決策。而對于那些教師在第一節(jié)課便做出不點(diǎn)名的承諾,或者點(diǎn)名有規(guī)律可行的情況都不是本文討論的重點(diǎn)。此外,我們有必要對“點(diǎn)名”進(jìn)行定義,本文中的“點(diǎn)名”泛指教師檢查學(xué)生出勤的行為,只要是教師采取的、目的是檢查學(xué)生出勤的行為都被稱作“點(diǎn)名”。其形式多種多樣,比如教學(xué)實(shí)踐中經(jīng)常采用的教師點(diǎn)名學(xué)生答到這最基本的方式,學(xué)生簽到、目的是檢查學(xué)生出勤的課堂小測、隨機(jī)提問等。1基本假設(shè)和模型的建立1.1“抗形成”中的“百分點(diǎn)”第一,在博弈過程中,博弈雙方都是理性的。雙方對各自及對方的特征、策略空間以及收益函數(shù)等都具有明確的認(rèn)識(shí),沒有任何的不確定。博弈雙方均能在客觀約束條件下,做出最優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)其決策目標(biāo)的理性決策,博弈雙方的成本和收益均由制度外生的決定。第二,假定一名教師要教授一門課,其中學(xué)習(xí)這門課程的學(xué)生總數(shù)為N。學(xué)生分為兩類:一類是喜歡上這門課的,即他們上課的收益將大于曠課所得,我們稱之為“勤奮學(xué)生”(本文中的勤奮與懶惰沒有褒貶,只是方便討論)。顯然,“勤奮學(xué)生”是不會(huì)選擇曠課的。我們假設(shè)整體中“勤奮學(xué)生”的比例為θ,則“勤奮學(xué)生”的總數(shù)為N×θ。另外一類是不喜歡上這門課的,即他們上課的收益將小于曠課所得,我們稱之為“懶惰學(xué)生”。他們可能會(huì)選擇曠課的。具體是否選擇曠課與對教師是否會(huì)點(diǎn)名的判斷有關(guān),且所有的“懶惰學(xué)生”是同質(zhì)的。顯然,“懶惰學(xué)生”的數(shù)量為N×(1-θ)。第三,本文中“點(diǎn)名”的含義廣泛,其形式多種多樣,只要是教師采取的、目的是檢查學(xué)生出勤的行為我們都稱之為“點(diǎn)名”。比如教學(xué)實(shí)踐中經(jīng)常采用的教師點(diǎn)名學(xué)生答到這最基本的方式、學(xué)生簽到以及目的是檢查學(xué)生出勤的課堂小測、隨機(jī)提問等等。此外學(xué)生在“點(diǎn)名”中沒有“作弊”的可能性。第四,教師在點(diǎn)名時(shí)不會(huì)全部都點(diǎn),因?yàn)閷W(xué)生數(shù)量眾多,全點(diǎn)的成本太高,所以教師點(diǎn)名時(shí)只會(huì)隨機(jī)地點(diǎn)N0名學(xué)生,那么每一名學(xué)生在教師點(diǎn)名時(shí)被點(diǎn)到的概率為N0/N。第五,授課教師課上是否點(diǎn)名是在課前決定,這是因?yàn)榇髮W(xué)教師課時(shí)較短,授課任務(wù)較重,教師不愿意犧牲授課時(shí)間,以未完成授課任務(wù)的代價(jià)去點(diǎn)名,只有當(dāng)此次課程任務(wù)較少,教師有多余的時(shí)間的時(shí)候才會(huì)選擇點(diǎn)名考勤。所以哪節(jié)課會(huì)點(diǎn)名是由教師根據(jù)教學(xué)任務(wù)安排而定的,學(xué)生對此一無所知,老師做出點(diǎn)名與否的決策不受當(dāng)時(shí)到課率影響。1.2教師的總收益現(xiàn)實(shí)的教學(xué)活動(dòng)中,課堂點(diǎn)名博弈總是重復(fù)進(jìn)行的,但是重復(fù)的次數(shù)總是有限的,一般一周一次或數(shù)次地持續(xù)一個(gè)學(xué)期,根據(jù)前面的假設(shè)可知師生博弈屬于有限次重復(fù)靜態(tài)博弈。在建立模型之前,我們首先對雙方的收益函數(shù)進(jìn)行一些假定和解釋說明。我們假設(shè)教師的收益函數(shù)主要由三部分構(gòu)成,分別是學(xué)生出勤人數(shù)給教師帶來的效用,點(diǎn)名的成本,懲罰被發(fā)現(xiàn)曠課的學(xué)生以促使其來上課給教師帶來的效用。其中,我們用函數(shù)f(x)(N×θ≤x≤N)(其中x表示的是上課時(shí)出勤人數(shù))來表示學(xué)生出勤人數(shù)給教師帶來的效用。實(shí)際中,教師在學(xué)生出勤上的效用隨著出勤人數(shù)的增加而增加,為了便于分析,我們假設(shè)f(x)=ax+b(N×θ≤x≤N,a>0),我們可以近似的用圖像來表示函數(shù)f(x),如圖1:點(diǎn)名成本指的是上課點(diǎn)名占用教師的授課時(shí)間給教師帶來的損失以及點(diǎn)名可能引起的學(xué)生對老師的喜歡度降低等等。我們假設(shè)點(diǎn)名的單位成本為C0,則點(diǎn)名總成本為點(diǎn)名的單位成本C0與被點(diǎn)人數(shù)N0的乘積,即C0×N0。懲罰被發(fā)現(xiàn)曠課的學(xué)生,可以提高這些學(xué)生對出勤以及學(xué)習(xí)的重視度,規(guī)勸學(xué)生學(xué)習(xí)可以在職業(yè)道德上為教師帶來效用,同時(shí)由于教師點(diǎn)名是隨機(jī)的,所以我們用懲罰每一個(gè)被發(fā)現(xiàn)曠課的學(xué)生給老師帶來的收益與被發(fā)現(xiàn)曠課人數(shù)的乘積表示教師在此方面的總收益。我們假設(shè)在這方面教師的單位收益為S0。由于“勤奮學(xué)生”是不會(huì)選擇曠課的,所以我們要分析的是N×(1-θ)個(gè)“懶惰學(xué)生”與教師的博弈。由于這類學(xué)生是同質(zhì)的,我們可以將這N×(1-θ)個(gè)“懶惰學(xué)生”等效成一個(gè)決策主體。當(dāng)“懶惰學(xué)生”曠課被發(fā)現(xiàn)時(shí),其利用曠課時(shí)間去做自己喜歡的事情而獲得效用U,但是又因?yàn)闀缯n被發(fā)現(xiàn)而遭受懲罰F,所以此時(shí)學(xué)生的收益為U-F;當(dāng)“懶惰學(xué)生”曠課而沒有被發(fā)現(xiàn)時(shí),其利用曠課時(shí)間去做自己喜歡的事情而獲得效用U;當(dāng)“懶惰學(xué)生”選擇不曠課,而教師點(diǎn)到其時(shí),由于其“忍受”上課而得到效用-U,但同時(shí)在教師點(diǎn)到自己的時(shí)候由于上課避免了被發(fā)現(xiàn)曠課的風(fēng)險(xiǎn),所以獲得一些補(bǔ)償效用S,所以“懶惰學(xué)生”的收益為-U+S。當(dāng)“懶惰學(xué)生”選擇不曠課,而教師沒有點(diǎn)到其時(shí),其既“忍受”上課獲得了效用-U,又因?yàn)榻處煕]點(diǎn)到自己不能獲得補(bǔ)償效用S,故此時(shí)收益為-U。當(dāng)“懶惰學(xué)生”選擇曠課時(shí),此時(shí)課堂上出勤的只有“勤奮學(xué)生”,即出勤的只有N×θ名學(xué)生。如果教師選擇點(diǎn)名,則此時(shí)學(xué)生出勤人數(shù)給教師帶來的效用為f(N×θ),點(diǎn)名的成本為C0×N0,而懲罰被發(fā)現(xiàn)的曠課學(xué)生以促使學(xué)生來上課給教師帶來的效用為S0×N0×(1-θ)。所以教師的總收益為f(N×θ)+S0×N0×(1-θ)-C0×N0。此時(shí)“懶惰學(xué)生”被發(fā)現(xiàn)曠課的概率為N0/N,那么如果被發(fā)現(xiàn)曠課則收益為U-F,如果沒有被發(fā)現(xiàn),則收益為U。所以此時(shí)“懶惰學(xué)生”的期望收益為(U-F)×(N0/N)+U×(1-N0/N)。如果教師選擇不點(diǎn)名,則此時(shí)學(xué)生出勤人數(shù)給教師帶來的效用為f(N×θ),點(diǎn)名成本為0,而懲罰被發(fā)現(xiàn)的曠課學(xué)生以促使學(xué)生來上課給教師帶來的效用為0,所以教師的總收益為f(N×θ)。而此時(shí)“懶惰學(xué)生”曠課不會(huì)被發(fā)現(xiàn),所以其收益為U。當(dāng)“懶惰學(xué)生”選擇不曠課,則此時(shí)課堂上沒有人曠課,即出勤的有N名學(xué)生。如果教師選擇點(diǎn)名,則此時(shí)學(xué)生出勤人數(shù)給教師帶來的效用為f(N),點(diǎn)名成本為C0×N0,而懲罰被發(fā)現(xiàn)的曠課學(xué)生以促使學(xué)生來上課給教師帶來的效用為0。所以教師的總收益為f(N)-C0×N0。此時(shí)“懶惰學(xué)生”被點(diǎn)到的概率為N0/N,當(dāng)“懶惰學(xué)生”被點(diǎn)到時(shí)其收益為-U+S;當(dāng)其未被點(diǎn)到時(shí),其收益為-U,所以此時(shí)“懶惰學(xué)生”的期望收益為(-U+S)×(N0/N)+(-U)×(1-N0/N)。如果教師選擇不點(diǎn)名,則此時(shí)學(xué)生出勤人數(shù)給教師帶來的效用為f(N),點(diǎn)名成本為0,而懲罰被發(fā)現(xiàn)的曠課學(xué)生以促使學(xué)生來上課給教師帶來的效用為0。所以教師的總收益為f(N)。此時(shí)“懶惰學(xué)生”的收益-U。我們可以建立博弈矩陣,如下:其中:N:學(xué)習(xí)這門課的學(xué)生的總?cè)藬?shù);θ:學(xué)生中“勤奮學(xué)生”所占的比例;N0:教師點(diǎn)名時(shí)所點(diǎn)的個(gè)數(shù);C0:教師的點(diǎn)名的單位成本,點(diǎn)名成本包括點(diǎn)名所占有的授課時(shí)間成本以及點(diǎn)名引起的學(xué)生對老師的喜歡度降低等;S0:懲罰每一個(gè)被發(fā)現(xiàn)曠課學(xué)生給老師帶來的收益,前文提到大多數(shù)教師是出于職業(yè)道德和責(zé)任感而以點(diǎn)名方式“強(qiáng)迫”學(xué)生上課,懲罰被發(fā)現(xiàn)曠課的學(xué)生可以促使該學(xué)生來上課,從而提高教師效用;U:“懶惰學(xué)生”曠課而沒有被發(fā)現(xiàn)所獲得收益,包括利用節(jié)約的時(shí)間去做自己喜歡的事情等;F:“懶惰學(xué)生”曠課被發(fā)現(xiàn)而遭受的處罰;S:“懶惰學(xué)生”上課時(shí)被點(diǎn)到從而得到的額外效用,包括因?yàn)樽约翰粫缯n而免遭曠課懲罰等。1.3模型分析1.3.1純策略納均我們來討論這個(gè)博弈是否存在純策略納什均衡。顯然,當(dāng)“懶惰學(xué)生”選擇不曠課時(shí),教師應(yīng)選擇不點(diǎn)名;當(dāng)教師選擇不點(diǎn)名時(shí),“懶惰學(xué)生”應(yīng)該選擇曠課。所以如果存在純策略納什均衡,那么只能是(不點(diǎn)名,曠課)。根據(jù)劃線法,我們可以確定此博弈存在純策略納什均衡等價(jià)于:f(N×θ)>f(N×θ)+S0×N0×(1-θ)-C0×N0(1)因此,在C0>S0×(1-θ)的情況下,此博弈矩陣會(huì)存在(不點(diǎn)名,曠課)的純策略納什均衡。這與現(xiàn)實(shí)也相符,如果點(diǎn)名成本較高,懲罰被發(fā)現(xiàn)曠課的學(xué)生給教師帶來的效用不足,會(huì)導(dǎo)致教師對點(diǎn)名激勵(lì)不足,而學(xué)生意識(shí)到這一點(diǎn),會(huì)選擇曠課來應(yīng)對,有些學(xué)校呈現(xiàn)了教師不點(diǎn)名,學(xué)生曠課這一均衡狀態(tài)。1.3.2教師的最優(yōu)選擇在現(xiàn)實(shí)情況中,很少出現(xiàn)“懶惰學(xué)生”同時(shí)曠課和不曠課的情況,更多的情況是部分“懶惰學(xué)生”選擇曠課而部分不曠課,所以我們重點(diǎn)分析其混合策略納什均衡?；旌喜呗圆蝗缂儾呗詠淼弥庇^,因此許多建模者只要博弈中有純策略均衡只談純策略均衡。對混合策略的一個(gè)批評是說人們在真實(shí)世界中是不會(huì)采取隨機(jī)性行動(dòng)的。其實(shí)這一批評并不能令人信服,因?yàn)榛旌喜呗允菍φ鎸?shí)世界的良好描述,它所需要的僅僅是參與人的行動(dòng)對于觀察者而言是隨機(jī)的,而參與人對于自己將要采取什么行動(dòng)可以是胸有成竹的。我們假定教師選擇點(diǎn)名策略的概率為P1,“懶惰學(xué)生”選擇曠課的概率為P2,那么很顯然,教師選擇不點(diǎn)名的概率為1-P1,學(xué)生選擇不曠課的概率為1-P2。教師的期望收益是:π教師=P1×{[f(N×θ)+S0×N0×(1-θ)-C0×N0]×P2(2)經(jīng)過化簡可以得到,π教師=P1×P2×S0×N0×(1-θ)-P1×C0×N0-P2×a×N×(1-θ)+a×N+b(3)在博弈的混合擴(kuò)展中,P1和P2可以取0到1區(qū)間的任何值,純策略僅僅是極端情況。按照解最大化問題的通常辦法,我們求支付函數(shù)關(guān)于選擇變量的導(dǎo)數(shù)來得到一階條件:?π教師/?P1=0(4)經(jīng)過計(jì)算,我們可以得到:Ρ2=C0×Ν0(S0×Ν0-a×Ν)×(1-θ)(5)即如果“懶惰學(xué)生”曠課的概率低于C0×Ν0(S0×Ν0-a×Ν)×(1-θ),那么教師的最優(yōu)選擇是不點(diǎn)名;如果“懶惰學(xué)生”曠課的概率高于C0×Ν0(S0×Ν0-a×Ν)×(1-θ),那么教師的最優(yōu)選擇是點(diǎn)名;如果“懶惰學(xué)生”曠課概率等于C0×Ν0(S0×Ν0-a×Ν)×(1-θ),那么教師點(diǎn)名或不點(diǎn)名是無差異的。在這里,“懶惰學(xué)生”均衡曠課概率可以理解為這些“懶惰學(xué)生”在每次課上選擇曠課的比例,由于教師無法區(qū)分“勤奮學(xué)生”與“懶惰學(xué)生”,所以教師的最優(yōu)選擇是點(diǎn)名還是不點(diǎn)名取決于預(yù)測的出勤率。我們知道學(xué)生出勤的總?cè)藬?shù)為N×θ+N×(1-θ)×(1-P2),則可知出勤率為θ+(1-θ)×(1-P2)。那么如果“懶惰學(xué)生”曠課的概率低于C0×Ν0(S0×Ν0-a×Ν)×(1-θ),即課上“懶惰學(xué)生”出勤的比率高于C0×Ν0(S0×Ν0-a×Ν)×(1-θ),則出勤率高于1-C0×Ν0S0×Ν0-a×Ν,此時(shí)教師的最優(yōu)選擇是不點(diǎn)名;當(dāng)“懶惰學(xué)生”曠課的概率高于C0×Ν0(S0×Ν0-a×Ν)×(1-θ)時(shí),即課上“懶惰學(xué)生”出勤的比率低于C0×Ν0(S0×Ν0-a×Ν)×(1-θ),此時(shí)出勤率低于1-C0×Ν0S0×Ν0-a×Ν,此時(shí)教師的最優(yōu)選擇是點(diǎn)名;如果“懶惰學(xué)生”曠課的概率等于C0×Ν0(S0×Ν0-a×Ν)×(1-θ),即課上“懶惰學(xué)生”出勤的比率等于C0×Ν0(S0×Ν0-a×Ν)×(1-θ),則出勤率等于1-C0×Ν0S0×Ν0-a×Ν,此時(shí)教師點(diǎn)名還是不點(diǎn)名是無差異的。同樣,我們來計(jì)算學(xué)生的收益:π學(xué)生=P2×{[(U-F)×(N0/N)+U×(1-N0/N)]×P1+U×(1-P1)}+(1-P2)×{[(-U+S)×(N0/N)+(-U)×(1-N0/N)]×P1+(-U)×(1-P1)}(6)經(jīng)過化簡可以得到,π學(xué)生=P1×P2×[-(F+S)×N0/N]+2P2×U+P1×(S×N0/N)-U(7)在博弈的混合擴(kuò)展中,P1和P2可以取0到1區(qū)間的任何值,純策略僅僅是極端情況。按照解最大化問題的通常辦法,我們求支付函數(shù)關(guān)于選擇變量的導(dǎo)數(shù)來得到一階條件:?π學(xué)生/?P2=0(8)經(jīng)過計(jì)算,我們可以得到:Ρ1=2U×ΝF×Ν0(9)即如果教師點(diǎn)名的概率低于2U×ΝF×Ν0,那么該“懶惰學(xué)生”的最優(yōu)選擇是曠課;如果教師點(diǎn)名的概率高于2U×ΝF×Ν0,那么該“懶惰學(xué)生”的最優(yōu)選擇是不曠課;如果教師點(diǎn)名的概率等于2U×ΝF×Ν0,那么該“懶惰學(xué)生”曠課與否是無差異的。由此得到均衡狀態(tài)下,教師點(diǎn)名的概率為2U×ΝF×Ν0,“懶惰學(xué)生”中曠課的比例為C0×Ν0(S0×Ν0-a×Ν)×(1-θ),此時(shí)整體學(xué)生的出勤率為1-C0×Ν0S0×Ν0-a×Ν。因此,教師點(diǎn)名的概率和“懶惰學(xué)生”曠課而沒有被發(fā)現(xiàn)所獲得收益、“懶惰學(xué)生”曠課被發(fā)現(xiàn)而遭受的處罰、學(xué)生總?cè)藬?shù)N以及點(diǎn)名時(shí)所點(diǎn)的人數(shù)相關(guān);而“懶惰學(xué)生”曠課的概率和點(diǎn)名成本、懲罰每一個(gè)曠課學(xué)生給老師帶來的效用、學(xué)生總?cè)藬?shù)、教師每次點(diǎn)名時(shí)所點(diǎn)的人數(shù)以及整體學(xué)生中“勤奮學(xué)生”的比例是息息相關(guān)的。2不東南角時(shí)學(xué)生無回應(yīng)從上面的分析,可以知道不管點(diǎn)名與否“勤奮學(xué)生”都不會(huì)選擇曠課;而“懶惰學(xué)生”則不然。所以如果模型能夠?qū)ⅰ扒趭^學(xué)生”與“懶惰學(xué)生”區(qū)分開來,將出勤的檢查對象集中在“懶惰學(xué)生”上面,那么其效果會(huì)更好。比如,教師可以在第一次開課時(shí)允許學(xué)生自由選擇是否作出“不曠課保證”。對于作出“不曠課保證”的學(xué)生,教師會(huì)在出勤方面上檢查較少,但是一旦發(fā)現(xiàn)曠課給予足夠大的懲處;而對于不作“不曠課保證”的學(xué)生,教師將會(huì)重點(diǎn)檢查其出勤,但處罰沒有像對作出“不曠課保證”的學(xué)生那么嚴(yán)重。下面我們對這一改進(jìn)模型進(jìn)行分析:對于“勤奮學(xué)生”來說,做出“不曠課保證”對其來說是有利無害的,因?yàn)槠洳粫?huì)選擇曠課,而且通過這一措施可以減少點(diǎn)名所占用的時(shí)間使其收益增加。對于“懶惰學(xué)生”,他們有可能通過作出“不曠課保證”來冒充“勤奮學(xué)生”,這取決于發(fā)現(xiàn)作出“不曠課保證”曠課時(shí)教師給予懲處的大小而定。假定對于這一現(xiàn)象教師會(huì)直接給予學(xué)生不及格這一最嚴(yán)厲處罰,使得“懶惰學(xué)生”不敢冒充“勤奮學(xué)生”,從而使得這兩類學(xué)生區(qū)別開來。這樣作出“不曠課保證”的學(xué)生都是“勤奮學(xué)生”,不作“不曠課保證”的學(xué)生都是“懶惰學(xué)生”。在這種情況下我們假設(shè)教師點(diǎn)名中的人主要是未作“不曠課保證”的學(xué)生,而對作了“不曠課保證”的學(xué)生出勤的檢查較少,可以忽略不計(jì)。當(dāng)“懶惰學(xué)生”選擇曠課時(shí),此時(shí)課堂上出勤的只有“勤奮學(xué)生”,即出勤的只有N×θ名學(xué)生。如果教師選擇點(diǎn)名,則此時(shí)學(xué)生出勤人數(shù)給教師帶來的效用為f(N×θ),點(diǎn)名的成本為C0×N0,而懲罰被發(fā)現(xiàn)曠課的學(xué)生以促使學(xué)生來上課給教師帶來的效用為S0×N0。所以教師的總收益為f(N×θ)+S0×N0-C0×N0。此時(shí)“懶惰學(xué)生”曠課被發(fā)現(xiàn)的的概率為N0/[N×(1-θ)],那么“懶惰學(xué)生”若被發(fā)現(xiàn)曠課則收益為U-F,如果沒有被發(fā)現(xiàn),則收益為U。所以此時(shí)“懶惰學(xué)生”的期望收益為(U-F)×(N0/[N×(1-θ)])+U×(1-N0/[N×(1-θ)])。如果教師選擇不點(diǎn)名,則此時(shí)學(xué)生出勤人數(shù)給教師帶來的效用為f(N×θ),點(diǎn)名成本為0,而懲罰被發(fā)現(xiàn)曠課的學(xué)生以促使學(xué)生來上課給教師帶來的效用為0,所以教師的總收益為f(N×θ)。而此時(shí)“懶惰學(xué)生”曠課不會(huì)被發(fā)現(xiàn),所以其收益為U。當(dāng)“懶惰學(xué)生”選擇不曠課時(shí),此時(shí)課堂上沒有人曠課,即出勤的有N名學(xué)生。如果教師選擇點(diǎn)名,則此時(shí)學(xué)生出勤人數(shù)給教師帶來的效用為f(N),點(diǎn)名成本為C0×N0,而懲罰被發(fā)現(xiàn)曠課的學(xué)生以促使學(xué)生來上課給教師帶來的效用為0。所以教師的總收益為f(N)-C0×N0。此時(shí)學(xué)生被點(diǎn)到的概率為N0/[N×(1-θ)],當(dāng)學(xué)生被點(diǎn)到時(shí)其收益為-U+S,當(dāng)學(xué)生未被點(diǎn)到時(shí)其收益為-U,所以學(xué)生的收益為:(-U+S)×N0/[N×(1-θ)]+(-U)×{1-N0/[N×(1-θ)]}。如果教師選擇不點(diǎn)名,則此時(shí)學(xué)生出勤人數(shù)給教師帶來的效用為f(N),點(diǎn)名成本為0,而懲罰被發(fā)現(xiàn)的曠課學(xué)生以促使學(xué)生來上課給教師帶來的效用為0。所以教師的總收益為f(N)。此時(shí)學(xué)生的收益為-U。我們可以建立博弈矩陣,如圖3:2.1不百分點(diǎn),拋課我們討論這個(gè)博弈是否存在純策略納什均衡。顯然,當(dāng)“懶惰學(xué)生”選擇不曠課時(shí),教師應(yīng)選擇不點(diǎn)名;當(dāng)教師選擇不點(diǎn)名時(shí),“懶惰學(xué)生”應(yīng)該選擇曠課。所以這個(gè)博弈如果存在純策略納什均衡,那么只可能是(不點(diǎn)名,曠課),根據(jù)劃線法我們可以確定此博弈存在純策略納什均衡等價(jià)于:f(N×θ)>f(N×θ)+S0×N0-C0×N0(10)即在C0>S0的情況下,此博弈矩陣會(huì)存在(不點(diǎn)名,曠課)的純策略納什均衡。這種情況比較特殊,即教師的點(diǎn)名的單位所得小于單位成本,與實(shí)際情況不相符,所以現(xiàn)實(shí)中不存在純策略納什均衡。2.2“勞動(dòng)能力”的計(jì)算下面我們按照上面混合策略納什均衡的尋找思路來分析改進(jìn)的模型:我們假定教師選擇點(diǎn)名策略的概率為P1,“懶惰學(xué)生”選擇曠課的概率為P2,那么很顯然,教師選擇不點(diǎn)名的概率為1-P1,“懶惰學(xué)生”選擇不曠課的概率為1-P2。教師的期望收益是:π教師=P1×{[f(N×θ)+S0×N0-C0×N0]×P2+[f(N)-C0×N0]×(1-P2)}+(1-P1)×[f(N×θ)×P2+f(N)×(1-P2)](11)經(jīng)過化簡可以得到,π教師=P1×P2×S0×N0-P1×C0×N0-P2×a×N×(1-θ)+a×N+b(12)按照解最大化問題的通常辦法,我們求支付函數(shù)關(guān)于選擇變量的導(dǎo)數(shù)來得到一階條件:?π教師/?P1=0(13)經(jīng)過計(jì)算,我們可以得到:Ρ2=C0×Ν0S0×Ν0-a×Ν×(1-θ)(14)在這里,“懶惰學(xué)生”均衡曠課概率可以理解為這些“懶惰學(xué)生”每次課中選擇曠課的比例。則學(xué)生出勤的總數(shù)為N×θ+N×(1-θ)×(1-P2),即出勤率為θ+(1-θ)×(1-P2),那么均衡狀態(tài)下學(xué)生整體出勤率為1-C0×Ν0×(1-θ)S0×Ν0-a×Ν×(1-θ)。如果“懶惰學(xué)生”曠課的概率低于C0×Ν0S0×Ν0-a×Ν×(1-θ),即學(xué)生整體出勤率高于1-C0×Ν0×(1-θ)S0×Ν0-a×Ν×(1-θ),那么教師的最優(yōu)選擇是不點(diǎn)名;如果“懶惰學(xué)生”曠課的概率高于C0×Ν0S0×Ν0-a×Ν×(1-θ),即整體出勤率低于1-C0×Ν0×(1-θ)S0×Ν0-a×Ν×(1-θ),那么教師的最優(yōu)選擇是點(diǎn)名;如果“懶惰學(xué)生”曠課概率等于C0×Ν0S0×Ν0-a×Ν×(1-θ),即學(xué)生整體出勤率等于1-C0×Ν0×(1-θ)S0×Ν0-a×Ν×(1-θ)那么教師點(diǎn)名或不點(diǎn)名是無差異的。同樣,我們來計(jì)算學(xué)生的收益:π學(xué)生=P2×{[(U-F)×N0/[N×(1-θ)]+U×[1-N0/[N×(1-θ)]]×P1+U×(1-P1)}+(1-P2)×{[(-U+S)×N0/[N×(1-θ)])+(-U)×(1-N0/[N×(1-θ)])]×P1+(-U)×(1-P1)}(15)經(jīng)過化簡可以得到:π學(xué)生=P1×P2×{-(F+S)×N0/[N×(1-θ)]}+2P2×U+P1×{S×N0/[N×(1-θ)]}-U(16)按照解最大化問題的通常辦法,我們求支付函數(shù)關(guān)于選擇變量的導(dǎo)數(shù)來得到一階條件:?π學(xué)生/?P2=0(17)經(jīng)過計(jì)算,我們可以得到:Ρ1=2U×Ν×(1-θ)F×Ν0(18)即如果教師點(diǎn)名的概率低于2U×Ν×(1-θ)F×Ν0,那么“懶惰學(xué)生”的最優(yōu)選擇是曠課;如果教師點(diǎn)名的概率高于2U×Ν×(1-θ)F×Ν0,那么“懶惰學(xué)生”的最優(yōu)選擇是不曠課;如果教師點(diǎn)名的概率等于2U×Ν×(1-θ)F×Ν0,那么“懶惰學(xué)生”曠課與否是無差異的。2.3學(xué)生整體出勤率下面我們把原先模型與改進(jìn)后的模型進(jìn)行比較分析,以檢驗(yàn)改進(jìn)是否有效,即可以降低學(xué)生曠課的概率同時(shí)降低教師點(diǎn)名的概率。通過1.3.2的分析,我們知道在原先模型中,在均衡狀態(tài)下,教師點(diǎn)名概率為2U×ΝF×Ν0,“懶惰學(xué)生”曠課的概率為C0×Ν0(S0×Ν0-a×Ν)×(1-θ),此時(shí)學(xué)生的整體出勤率為1-C0×Ν0S0×Ν0-a×Ν;而通過2.2的分析,我們知道在改進(jìn)的模型中,教師可以將“勤奮學(xué)生”與“懶惰學(xué)生”區(qū)分開來,在均衡狀態(tài)下,教師點(diǎn)名的概率為2U×Ν×(1-θ)F×Ν0,“懶惰學(xué)生”曠課的概率為C0×Ν0S0×Ν0-a×Ν×(1-θ),此時(shí)學(xué)生的整體出勤率為:1-C0×Ν0×(1-θ)S0×Ν0-a×Ν×(1-θ)。經(jīng)過計(jì)算我們可以得到:2U×Ν×(1-θ)F×Ν0<2U×ΝF×Ν0(19)C0×Ν0S0×Ν0-a×Ν×(1-θ)<C0×Ν0(S0×Ν0-a×Ν)×(1-θ)(20)1-C0×Ν0×(1-θ)S0×Ν0-a×Ν×(1-θ)>1-C0×Ν0S0×Ν0-a×Ν(21)經(jīng)過模型的改進(jìn),教師將“勤奮學(xué)生”與“懶惰學(xué)生”區(qū)別開來,可以在一定程度上降低教師點(diǎn)名的概率、降低學(xué)生曠課的概率,從而提高學(xué)生的出勤率。3結(jié)論3.1降低學(xué)生傳統(tǒng)領(lǐng)域的按份差差異,適當(dāng)提高教師的政策和效果從前文分析中我們得到學(xué)生與教師之間的博弈的均衡狀態(tài)是教師點(diǎn)名概率為2U×ΝF×Ν0,而“懶惰學(xué)生”曠課的概率為C0×Ν0(S0×Ν0-a×Ν)×(1-θ),此時(shí)課上學(xué)生整體出勤率為1-C0×Ν0S0×Ν0-a×Ν。從均衡狀態(tài)下,“懶惰學(xué)生”曠課的概率為C0×Ν0(S0×Ν0-a×Ν)×(1-θ)。我們可以知道“懶惰學(xué)生”曠課的概率和點(diǎn)名成本、懲罰每一個(gè)曠課學(xué)生給老師帶來的效用、學(xué)生總?cè)藬?shù)教師每次點(diǎn)名時(shí)所點(diǎn)的人數(shù)以及整體學(xué)生中“勤奮學(xué)生”的比例是息息相關(guān)的。所以如果想降低學(xué)生曠課的概率可以從以下幾個(gè)方面著手:一是降低教師的點(diǎn)名成本。點(diǎn)名成本包括點(diǎn)名占用的授課時(shí)間成本以及教師因?yàn)辄c(diǎn)名而“得罪”學(xué)生的成本,所以一方面應(yīng)該降低點(diǎn)名的時(shí)間成本,比如學(xué)校排課時(shí)應(yīng)當(dāng)避免一個(gè)教室安排的學(xué)生過多等,另一方面不得不提到學(xué)生評教制度。現(xiàn)在高校推行學(xué)生評教制度,并將學(xué)生評教結(jié)果作為評定教師的一個(gè)重要方面。這一措施在很大程度上增加了教師的點(diǎn)名成本,因?yàn)閷W(xué)生普遍不喜歡愛點(diǎn)名的教師,理性的教師會(huì)選擇盡量少點(diǎn)名或者不點(diǎn)名以迎合學(xué)生。所以,從提高出勤率的角度出發(fā),應(yīng)該取消學(xué)生為教師打分的制度,而采取其他方式來考察教師的授課效果。二是提高懲罰每一個(gè)曠課學(xué)生給老師帶來的收益。在前面分析中,這種收益主要指授課教師出于職業(yè)道德等采取“點(diǎn)名”并給予一定懲罰的方式“規(guī)勸”學(xué)生上課。所以一方面可以提高教師的職業(yè)道德和責(zé)任感,使其意識(shí)到“規(guī)勸”學(xué)生上課的重要性。另一方面,學(xué)校可以通過獎(jiǎng)勵(lì)的方式提高教師在這方面的收益。三是適當(dāng)縮小上課班級規(guī)模。因?yàn)閺乃镁饨Y(jié)果中我們可以看出“懶惰學(xué)生”曠課的概率隨著上課總?cè)藬?shù)N的增大而增加,這是因?yàn)樯险n總?cè)藬?shù)過多使得教師點(diǎn)名成本過高而點(diǎn)名較少,同時(shí)人數(shù)眾多使得點(diǎn)名時(shí)被點(diǎn)到的概率較小。此外,教師可以利用“不曠課保證”將“勤奮學(xué)生”與“懶惰