湖南省永州市石古源中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

湖南省永州市石古源中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若雙曲線E：=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|=3，則|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．3參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】確定P在雙曲線的左支上，由雙曲線的定義可得結(jié)論．【解答】解：由題意，雙曲線E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在雙曲線的左支上，∴由雙曲線的定義可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故選：B．2.極坐標(biāo)方程與的圖形是

(

)．參考答案：B略3.若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3，4），則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3，4），可得b=a，c==a，即可得到雙曲線的離心率．【解答】解：∵雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3，4），∴b=a，∴c==a，可得e==．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.若－1，a，b，c，－100成等比數(shù)列，則（

）A．b＝10，

ac＝100

B．b＝－10，ac＝100C．b＝10，ac＝100

D．b＝－10，ac＝100參考答案：B5.已知?jiǎng)t的大小關(guān)系式

A

B

C

D

參考答案：D6.設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（）A．（2，4） B．（1，3） C．（1，4） D．（2，3）參考答案：A【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先確定M的軌跡是直線x=3，代入拋物線方程可得y=±2，所以交點(diǎn)與圓心（5，0）的距離為4，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則y12=4x1，y22=4x2，相減得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），當(dāng)l的斜率存在時(shí)，利用點(diǎn)差法可得ky0=2，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，所以x0=3，即M的軌跡是直線x=3．將x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2＜y0＜2，∵M(jìn)在圓上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4≤12+4=16，∵直線l恰有4條，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4時(shí)，直線l有2條；斜率不存在時(shí)，直線l有2條；所以直線l恰有4條，2＜r＜4，故選A．7.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在上,,若以為直徑的圓過點(diǎn),則的方程是（）A．或 B．或

C．或 D．或

參考答案：C8.已知實(shí)數(shù)x、y滿足2x+y+5=0，那么的最小值為A．

B．

C．

D．參考答案：A9.已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）﹣x2在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p，q，且p≠q，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（12，30] B．（﹣∞，18] C．[18，+∞） D．（﹣12，18]參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【分析】依題意知，不等式＞2恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為f′（x+1）＞2恒成立，分離參數(shù)a，利用二次函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=aln（x+1）﹣x2，∴f（x+1）=aln[（x+1）+1]﹣（x+1）2，∴f′（x+1）=﹣2（x+1），∵p，q∈（0，1），且p≠q，∴不等式＞2恒成立?＞2恒成立?f′（x+1）＞2恒成立，即﹣2（x+1）＞2（0＜x＜1）恒成立，整理得：a＞2（x+2）2（0＜x＜1）恒成立，∵函數(shù)y=2（x+2）2的對(duì)稱軸方程為x=﹣2，∴該函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，∴2（x+2）2＜18，∴a≥18．故選：C．10.函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為 （

） A． B． C． D．（0，2）參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線

(a>0，b>0)的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率e=

▲

．參考答案：略12.已知函數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______.參考答案：或略13.設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線的漸近線方程為

.參考答案：14.過點(diǎn)M（1，-1），N（-1,1），且圓心在x+y-2=0上的圓的方程是_______________.參考答案：略15.已知P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則的面積為______．參考答案：【分析】由題意結(jié)合焦點(diǎn)三角形面積公式求解其面積即可.【詳解】由橢圓方程可得：，結(jié)合焦點(diǎn)三角形面積公式可得的面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓中焦點(diǎn)三角形面積公式及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16.若角為銳角，且則

．參考答案：17.已知在等差數(shù)列中，與的等差中項(xiàng)為5，與的等差中項(xiàng)為7,則數(shù)列的通項(xiàng)公式=

參考答案：2n-3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，．（Ⅰ）解關(guān)于的不等式；（Ⅱ）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）由，得,即或,……………3分或.故原不等式的解集為………5分（Ⅱ）由，得對(duì)任意恒成立,當(dāng)時(shí)，不等式成立,當(dāng)時(shí)，問題等價(jià)于對(duì)任意非零實(shí)數(shù)恒成立,……………7分,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.…………10分19.（14分）如圖是甲、乙兩位同學(xué)高二上學(xué)期歷史成績的莖葉圖，有一個(gè)數(shù)字被污損，用a（3≤a≤8且a∈N）表示．（1）若乙同學(xué)算出自己歷史平均成績是92分，求a的值及乙同學(xué)歷史成績的方差；（2）求甲同學(xué)歷史平均成績不低于乙同學(xué)歷史平均成績的概率．參考答案：【考點(diǎn)】莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】（1）由乙同學(xué)歷史平均成績是92分，求出a=6，由此能求出乙同學(xué)的歷史成績的方差．（2）甲同學(xué)的歷史平均成績?yōu)榉?，若甲的歷史平均成績不低于乙同學(xué)歷史平均成績，求出a≤6，從而3≤a≤6且a∈N，由此能求出甲同學(xué)歷史平均成績不低于乙同學(xué)歷史平均成績的概率．【解答】解：（1）因?yàn)橐彝瑢W(xué)歷史平均成績是92分，所以，解得a=6．…此時(shí)乙同學(xué)的歷史成績的方差為：==．…（6分）（2）甲同學(xué)的歷史平均成績?yōu)榉?，…?分）若甲的歷史平均成績不低于乙同學(xué)歷史平均成績，則，得a≤6．…（10分）因?yàn)?≤a≤8，所以3≤a≤6且a∈N，記甲同學(xué)歷史平均成績不低于乙同學(xué)歷史平均成績?yōu)槭录嗀，則事件A包含4個(gè)基本事件，而基本事件總數(shù)共有6個(gè)，所以事件A的概率．…（13分）答：（1）a的值為6，乙同學(xué)歷史成績的方差為；（2）甲同學(xué)歷史平均成績不低于乙同學(xué)歷史平均成績的概率為．…（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值、方差的求法，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為棱PB上一點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱錐P﹣EAD的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能證明平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中點(diǎn)H，連結(jié)BH，由此利用，能求出三棱錐P﹣EAD的體積．【解答】（Ⅰ）證明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．

（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，∴PD∥OE，∵O是BD中點(diǎn)，∴E是PB中點(diǎn)．取AD中點(diǎn)H，連結(jié)BH，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．∴==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．21.（12分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．參考答案：【思路點(diǎn)撥】(1)由余弦定理建立新方程，與已知a＋c＝6聯(lián)立，求a，c的值．(2)利用第(1)問的結(jié)論，