收益-風險雙目標非線性規(guī)劃模型的修正

收益-風險雙目標非線性規(guī)劃模型的修正

馬克威茨的投資組合理論（馬克威茨）在投資管理中引入了預(yù)期和偏差的分析框架，即平均值離散模型，奠定了現(xiàn)代投資組合理論的基礎(chǔ)。Markowitz模型中可供選擇的都是風險資產(chǎn),且不允許投資者使用金融杠桿或進行保證金交易。然而,在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中,投資者不僅購買風險證券,也經(jīng)常對無風險資產(chǎn)(如銀行存款等)進行投資,故Markowitz模型具有一定的局限性。因此,本文在原模型的基礎(chǔ)上做了一定的修正,以更好地適用于實際情況。本文引入無風險資產(chǎn),將投資決策建立在對“期望收益最大”和“風險的不確定性最小”的基礎(chǔ)之上,建立了收益—風險雙目標非線性規(guī)劃模型。雙目標非線性模型問題的求解一直是目前研究的焦點問題。本文引入懲罰函數(shù),設(shè)計了求解該模型的遺傳算法,在MATLAB環(huán)境中編寫程序進行求解。實證分析表明該求解方法既具有理論意義,也具有現(xiàn)實意義,可為投資者提供有效的理論指導(dǎo)和決策依據(jù)。一、模型修改(一)投資組合的預(yù)期概率1、投資者除了投資于風險資產(chǎn),還購買無風險資產(chǎn),如銀行存款。2、投資者都以預(yù)期收益率和損失率來評價投資組合。3、只考慮非系統(tǒng)風險,不考慮系統(tǒng)風險,因為投資組合并不能降低各項資產(chǎn)的系統(tǒng)風險。4、證券都無限可分,證券交易中不必支付交易費用,不允許賣空。5、所有投資滿足風險大,利益大;風險小,利益小的原則。(二)b構(gòu)建資產(chǎn)期望概率模型假設(shè)有n項資產(chǎn)X1,X2,…,Xn;投資組合由權(quán)重為ai,且滿足∑ai=1的各項資產(chǎn)構(gòu)成。取n項資產(chǎn)m年收益情況:X1=[X11,X21,L,Xm1]T;X2=[X12,X22,L,Xm2]T;…;Xn=[X1n,X2n,L,Xmn]T。設(shè)A=[a1,a2,L,an]T,且n∑i=1ai=1?0≤ai≤1;i=1,2,L,n;B=[a21,a22,L,a2n]T;X=[X1,X2,L,Xn];各項資產(chǎn)的期望收益率為:E1,E2,L,En,E=[E1,E2,L,En];各項資產(chǎn)兩兩之間的協(xié)方差為:Cij(i≠j;i,j=1,2,Ln)?C=[C11LC1nΜΟΜCn1LCnn];各項資產(chǎn)的方差為:D1,D2,L,Dn,D=[D1,D2,L,Dn]。根據(jù)馬克威茨投資組合理論,用各項資產(chǎn)兩兩之間的協(xié)方差之和來度量風險。U表示期望總收益,V表示總體風險(即總體的非系統(tǒng)風險)。投資目標為期望收益最大化,總體風險最小化,由此建立收益-風險雙目標非線性規(guī)劃投資決策數(shù)學(xué)模型:{maxU=maxEAminV=min(AΤCA-DB)s.t.{n∑i=1ai=10≤ai≤1；i=1,2,L,n二、遺傳計算方法的設(shè)計(一)遺傳計算方法的參數(shù)定義1、個體取每一個種群包括40個個體,每個個體代表一種投資組合。2、遺傳世代取最大遺傳代數(shù)為200代。(二)藥代編碼二進制編碼是遺傳算法中最主要的一種編碼方法;利用二進制編碼,編碼、解碼操作簡單易行,交叉、變異等遺傳操作便于實現(xiàn),因此本文采用二進制編碼。(三)目標函數(shù)的構(gòu)造將待解的目標函數(shù)f轉(zhuǎn)化為適應(yīng)度函數(shù)Fit(f);目標函數(shù)為最大化問題時,令Fit(f),則目標函數(shù)為最小化問題時,Fit(f)=-f。令μ與1-μ分別表示投資者對風險和收益的重視程度,將雙目標非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標非線性規(guī)劃問題,如下:{minf=min[μV-(1-μ)U]?minf=min[μ(AΤCA-DB)-(1-μ)EA]s.t.{n∑i=1ai=10≤ai≤1,i=1,2,L,n0≤μ≤1由于該模型含有等式約束n∑i=0ai=1,引入懲罰函數(shù),構(gòu)造新的目標函數(shù)如下:minf=min{[μ(AΤCA-DB)-(1-μ)EA)]+Ρ(m∑i=1ai-1)2s.t.{Ρ為一很大的正數(shù)0≤ai≤1,i=1,2,L,n0≤μ≤1(四)遺傳算子的設(shè)計1、子代的數(shù)目根據(jù)所求問題的特點,本文采用均勻排序,利用代溝來設(shè)計選擇算子。均勻排序的主要著眼點是個體適應(yīng)度之間的大小關(guān)系,其思想是對群體中的所有個體按其適應(yīng)度大小進行排序,以確定各個個體能夠被遺傳到下一代的概率。同時運用代溝來確定子代個體的數(shù)量,子代個體數(shù)目=父代個體數(shù)目×代溝。本文取代溝為0.9,表明父代群體中有90%的個體被選擇,遺傳到子代。2、交叉運算后的個體通過交叉算子,產(chǎn)生新個體,本文采用算術(shù)交叉。假設(shè)在兩個個體At1、At2之間進行算術(shù)交叉,則交叉運算后所產(chǎn)生的兩個新個體為:(P55){At+11=λAt2+(1-λ)At1At+12=λAt1+(1-λ)At2其中,λ為取值在[0,1]的一個常數(shù)。該投資組合模型的可行域D={ai:n∑i=0ai=1},為一凸集,可知進行算術(shù)交叉后的個體仍在D內(nèi),仍然符合約束條件。3、遺傳算法局部收斂變異運算是對遺傳算法的改進,對交叉過程中可能丟失的某種遺傳基因進行修復(fù)和補充,也可防止遺傳算法盡快收斂到局部最優(yōu)解。(P106)變異概率控制著變異操作被使用的頻度。本文選用均勻變異,對每一個變異點,根據(jù)變異概率從對應(yīng)基因的取舍范圍內(nèi)取一隨機數(shù)來替代原有值,它使得搜索點可以在整個搜索空間內(nèi)自由地移動,從而可以增加群體的多樣性。三、選取目標函數(shù)的仿真結(jié)果(一)算例介紹本文以銀行存款、國債和證券投資基金作為保險投資所選擇的資產(chǎn)類型,以這三種資產(chǎn)1999-2003年的收益率為樣本數(shù)據(jù)。各項資產(chǎn)的收益率如表1所示。(三)計算結(jié)果分析利用MATLAB軟件求得三種資產(chǎn)的方差分別為:9.9358×10-4,58.4466×10-4,0.1112×10-4。利用遺傳算法編制MATLAB程序,根據(jù)不同的風險重視程度,求得μ取不同數(shù)值時各項資產(chǎn)的投資比例,如表2所示。圖1-圖3給出了μ取不同數(shù)值時,每代的最小目標函數(shù)值及其均值。1、當μ=0與μ=1時當μ=0時,投資者只重視收益,不顧風險,為完全的風險喜好者,投資者將把所有資金都投資于風險最大,而收益也最大的證券投資基金項目上;當μ=1,投資者對風險特別看重,不計收益,為完全的風險厭惡者,投資者會將所有資金投入到幾乎沒有什么風險的銀行存款上。2、當μ取其他值時由圖1-圖3的(a)圖可以看出,種群均值的變化越來越小,目標函數(shù)值也逐漸趨于一致,經(jīng)過200次迭代,目標函數(shù)值趨于最小值;由(b)圖可以看出,在算法終止時,大部分個體的目標函數(shù)值趨于一致,也就是說在這40個個體中有很多個體是相同的,表明最終遺傳下來的個體是最優(yōu)的,即所要求的最優(yōu)投資組合。在保險資金的實際運用中,除了以上三種資產(chǎn)外,還包括金融債和企業(yè)債等其他資產(chǎn)形式,本文中僅選擇了這三種形式,因此需要對此數(shù)據(jù)進行處理。2005年的保險年鑒中存款、證券投資基金、國債、金融債及其他的投資比例分別為46%、6%、25%、11%和12%。前三者的投資比例之和為77%,本文在此只考慮前三種資產(chǎn)的投資情況,因此將前三者的投資比例均除以77%,得到三者的投資比例分別為59.74%,7.79%和32.47%。目前我國在保險資金的運用方面還很保守,對風險比較重視,取μ=0.7比較符合實際。將計算結(jié)果與實際數(shù)據(jù)對比,可以看出,國債的投資比例非常接近,而存款與證券投資基金的投資比例相差較大。其原因主要有:(1)我國保險資金運用渠道過窄,收益率低、管的過死。保險公司80%的可運用資金投資在銀行存款、國債和證券投資基金上,其中50%以上又是銀行存款。(2)國家對保險資金的運用限制多。保險公司的資金運用渠道目前只限于銀行存款、國債、金融債及其他國務(wù)院規(guī)定的資金運用形式,并且國家對保險資金的投資比例也有嚴格的限制。(3)保險公司往往重承保,輕投資。四、遺傳算法求解投資組合模型的理論分析本文針對馬克威茨投資組合模型在實際應(yīng)用中的局限性對馬克威茨投資組合模型進行了修正,引入懲罰函數(shù),在MATLAB環(huán)境中編寫程序,運用遺傳算法對該模型進行求解,