第25講圓弧長圖形面積計算

第25講圓的弧長和圖形面積的計算會計算圓的弧長和扇形的面積．會計算圓柱和圓錐的側(cè)面積和全面積．了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系．該內(nèi)容考查較基礎(chǔ)，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．運用弧長公式、扇形面積公式進(jìn)行相關(guān)的計算，以及對圓錐的側(cè)面積和全面積的求解．借助分割與轉(zhuǎn)化的方法探求陰影部分的面積是中考的熱點．1．(2016·寧波)如圖，半圓O

的直徑AB＝2，弦CD∥AB，∠CODπ＝90°，則圖中陰影部分的面積為

4

．【解析】∵弦

CD∥AB，∴S△

ACD

＝S△

OCD

，∴S

陰影＝S

扇形

COD

＝∠COD

AB

2

90°

2

2

π360°

·π·(

2

)

＝

×π×( )

＝

.360°

2

42．(2016·臺州)如圖，△ABC

的外接圓O

的半徑為2，∠C＝40°，則A︵B的長是

．80×π×2

8【解析】∠C＝40°，∴∠AOB＝80°.∴AB︵

的長是

180

＝9π.89π3．(2016·湖州)如圖，已知四邊形ABCD

內(nèi)接于圓O，連結(jié)BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.求證：BD＝CD；若圓O

的半徑為3，求B︵C的長．解：(1)∵四邊形ABCD

內(nèi)接于圓O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°，∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°－105°＝75°，∵∠DBC＝75°∴∠DCB＝∠DBC＝75°，∴BD＝CD

(2)∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，B︵C＝60°，故B︵CnπR

60π×3＝

180

＝

180＝π4．(2015·金華)如圖，在矩形ABCD

中，點F

在邊BC

上，且AF＝AD，過點D作DE⊥AF，垂足為E.(1)求證：DE＝AB.(2)以D

為圓心，DE

為半徑作圓弧交AD

于點G，若BF＝FC＝1，試求E︵G的長．解：(1)∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°，又∵四邊形ABCD

是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAE＝∠AFB，∠AED＝∠B＝90°，又∵AF＝AD，∴△ADE≌△FAB(AAS)，∴DE＝AB

(2)∵BF＝FC＝1，∴AD＝BC＝BF＋FC＝2，又∵△ADE≌△FAB，∴AE＝BF＝1，∴在2Rt△ADE

中，AE＝1AD，∴∠ADE＝30°，又∵DE＝

AD2－AE2＝22－12＝

3，∴E︵G的長＝

180

＝1803nπR

30π×

3＝

6

πB1．(原創(chuàng)題)如圖，陰影部分是兩個半徑為1

的扇形，若α＝120°，β＝60°，則大扇形與小扇形的面積之差為(

)π

π

5π

5πA.

3

B.

6

C.

3

D.

6【解析】利用扇形的面積公式分別求出兩個扇形的面積，再用較大面（360°－60°）π×12積

減

去

較

小

的

面

積

即

可

.

360°

－（360°－120°）π×12

π360°

＝

6

，故選B.2．(2017·預(yù)測)如圖，在△ABC

中，以AB

為直徑的⊙O分別與BC，AC

相交于點D，E，BD＝CD，過點D

作⊙O

的切線交邊AC

于點F.(1)求證：DF⊥AC；(2)若⊙O

的半徑為5，∠CDF＝30°，求B︵D的長(結(jié)果保留π)．【解析】連結(jié)OD，算出∠ODB＝60°后，再結(jié)合

OB＝OD可得出△OBD是等邊三角形，根據(jù)弧長公式求解．解：(1)如圖，連結(jié)OD，∵DF

是⊙O

的切線，D

為切點，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°.∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD

是△ABC

的中位線∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC

(2)∵∠CDF＝30°，由(1)得∠ODF＝90°，∴∠ODB＝180°－∠CDF－∠ODF＝60°.∵OB＝OD，∴△OBD

是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∴B︵D的長＝nπR

60π×5180

＝

1805＝3π弧長和扇形的面積：在半徑為r

的圓中，圓心角的度數(shù)為n°的弧長的計算公式為l＝

；如果圓的圓心角的度數(shù)為n°，圓的半徑為r，扇形的面積為S，那么扇形的面積計算公式為

或

．2

1答案：(1)nπr

(2)nπr

；

rl180

；

360

2＝50°，AB＝4，則B︵C的長為(

B

)10

10A.

3

π

B.

9π3．(2017·預(yù)測)如圖，AB

為⊙O

的直徑，點C

在⊙O

上，若∠OCA

5

C.5

D.

π9π

18【解析】∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝100100π×2

10°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴BC︵的長＝

180

＝

9

π.故選

B.4．如圖，在△ABC

中，AB＝AC.分別以B，C

為圓心，BC

長為半徑在BC

下方畫弧，設(shè)兩弧交于點D，與AB，AC

的延長線分別交于點E，F(xiàn)，連結(jié)AD，BD，CD.求證：AD

平分∠BAC；若BC＝6，∠BAC＝50°，求D︵E，D︵F的長度之和(結(jié)果保留π)．解：(1)由作圖可知BD＝CD.在△ABD

和△ACD

中，

BD＝CD，

AD＝AD，平分∠BAC

AB＝AC，∴△ABD

≌△ACD(SSS)．∴∠BAD

＝∠CAD

，即AD(2)∵AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°.∵BD＝CD＝BC，∴△BDC

為等邊三角形．∴∠DBC＝∠DCB＝60°.∴∠DBE＝∠DCF＝55°.∵BC＝6，∴BD＝CD＝6.∴D︵E的長度＝D︵F的長度＝︵

︵180

6

6＝

.∴DE，DF的長度之和為

＋

＝55×π×6

11π

11π

11π

11π6

3nπr

nπr21．關(guān)于弧長、扇形面積的計算，必須熟記公式l＝

180

和S

扇形＝

360此公式不僅僅可用于求弧長和扇形面積，若已知l，S

扇形，r，可求圓心角的度數(shù)n；若已知l，S

扇形，n，可求圓的半徑r.12．當(dāng)已知半徑r

和弧長求扇形的面積時，可以選用公式S

扇形＝2lr.5．(2017·預(yù)測)如圖，已知圓錐的高為3，高所在直線與母線的夾角為

30°，圓錐的側(cè)面積為

2π

．【解析】∠BAO＝30°，AO＝

3，在Rt△ABO

中，∵tan∠BAO＝BOAO，∴BO＝

3tan30°＝1，即圓錐的底面圓的半徑為1，∴AB＝2BO＝12，即圓錐的母線長為2，∴圓錐的側(cè)面積＝2·2π·1·2＝2π.6．如圖，有一直徑是2米的圓形鐵皮，現(xiàn)從中剪出一個圓周角是90°的最大扇形ABC，求：AB

的長；用該扇形鐵皮圍成一個圓錐，求所得圓錐的底面圓的半徑．解析：第5

題利用扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式計算圓錐的側(cè)面積；第6

題(2)由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，從而可求半徑．解：(1)∵∠BAC＝90°，∴BC

為⊙O

的直徑，即BC＝

2，∴AB＝

2BC＝1

(2)設(shè)所得圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得2πr＝290·π·11801，解得r＝41．圓柱的側(cè)面展開圖是

，圓柱的底面半徑是

r，則

S

側(cè)＝2πrh，S

全＝2πr2＋2πrh.2．圓錐的軸截面為由母線、底面直徑組成的等腰三角形．圓錐的側(cè)面展開圖是一個側(cè)21，圓錐的側(cè)面積

S

＝

l·2πr＝πrl(l

為母線長，r為底面圓半徑)；圓錐的全面積S

全＝S側(cè)＋S

底＝πrl＋πr2.答案：1.矩形

2.扇形C7．若一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為

18

cm，圓心角為

240°的扇形，則這個圓錐的底面半徑長是(A．6

cm B．9

cm)C．12cmD．18

cm240×π×18【解析】扇形弧長為

180

＝24π.

設(shè)圓錐底面半徑為

r，∴2πr＝24π，得r＝12

cm.8．直角三角形兩直角邊長是3

cm

和4

cm，以該三角形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，求其表面積．(結(jié)果保留π)解：三角形斜邊＝

32＋42＝5(cm)，當(dāng)以

3

cm

的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時，其所得到的幾何體的表面積＝π·42＋1

π·4＝36π(cm2)；2·5·2當(dāng)以4

cm

的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時，其所得到的幾何體的表面積＝1π·32＋2·5·2π·3＝24π(cm2)；當(dāng)以5

cm

的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周12時，其所得到的幾何體為共一個底面的兩圓錐，其底面圓的半徑＝

5

cm1

12

1

12

84所以此幾何體的表面積＝2·2π·

5

·3＋2·2π·

5

·4＝

5

π(cm2)求解時注意圓錐側(cè)面展開圖與圓錐的轉(zhuǎn)化關(guān)系：圓錐的底面的周長等于圓錐側(cè)面展開圖中扇形的弧長．圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的面積就是圓錐的側(cè)面積．9．(2017·預(yù)測)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點D，若∠A＝∠D，CD＝3，求圖中陰影部分的面積．【解析】連結(jié)OC，可求得△OCD和扇形OCB的面積，進(jìn)而可求出圖中陰影部分的面積．解：連結(jié)OC，∵過點C

的切線交AB

的延長線于點D，∴OC⊥CD∴∠OCD＝90°，即∠D＋∠COD＝90°，∵AO＝CO，∴∠A＝∠ACO∴∠COD＝2∠A，∵∠A＝∠D，∴∠COD＝2∠D，∴3∠D＝90°，∴3∠D＝30°，∴∠COD＝60°，∵CD＝3，∴OC＝3×

3＝

3，∴陰影1部分的面積＝2×3×3－＝60π×（

3）2

3

3－π360

210．(2017·預(yù)測)如圖，在⊙O

中，半徑OA⊥OB，過OA

的中點C作FD∥OB

交⊙O于D，F(xiàn)

兩點，且CD＝

3，以O(shè)為圓心，OC

為半徑作C︵E，交OB

于E

點．求⊙O

的半徑OA

的長；計算陰影部分的面積．【解析】(1)首先證明OA⊥DF，由OD＝2CO

推出∠CDO＝30°，設(shè)OC＝x，則OD＝2x，利用勾股定理即可解決問題；(2)根據(jù)S陰影＝S△CDO＋S扇形OBD－S

扇形OCE

計算即可．解：(1)連結(jié)OD，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵CD∥OB，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD

中，∵C

是AO

中點，CD＝

3，∴OD＝2CO設(shè)

OC＝x，∴x2＋(

3)2＝(2x)2，∴x＝1，∴OD＝2，∴⊙O

的半徑為

2OD

2(2)∵sin∠CDO＝CO＝1，∴∠CDO＝30°，∵FD∥OB，∴∠DOB＝1∠ODC＝30°，∴S

陰影＝S△CDO＋S

扇形OBD－S

扇形OCE＝2×1×3＋30π×22360—

390π×12

π360

＝

2

＋12求與圓有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積時，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：將所求面積分割后，利用規(guī)則圖形的面積相互加減求解．將陰影中某些圖形等積變形，重組成規(guī)則圖形求解．11．(2017·預(yù)測)如圖，AB

是圓O

的直徑，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝4 3，求S

陰影．解：如圖，假設(shè)線段CD，AB

交于點E，∵AB

是⊙O

的直徑，弦CD⊥AB∴CE＝ED＝2

3，又∵∠BCD＝30°，∴∠DOE＝2∠BCD＝60°，∠3ODE＝30°，∴OE＝DE·tan30°＝2 3×

3

＝2，OD＝2OE＝4，∴S陰影＝S扇形ODB－S△DOE＋S△BEC＝3601

160π×OD2

8π－2OE×DE＋2BE·CE＝

3

－8π2

3＋2 3＝

312．(2017·預(yù)測)如圖，AB為⊙O的直徑，C