第三講方差分析

第三講方差分析第1頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月方差分析應(yīng)用范圍很廣，在推斷統(tǒng)計方法中常用來解決單因素或多因素中每個因素多個水平（處理）均數(shù)間的比較（包括均數(shù)間的多重比較，即兩兩比較）和多因素間交互作用的分析。將k個處理的觀測值作為一個整體看待，把觀測值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來源的平方和及自由度，進而獲得不同變異來源總體方差估計值；通過計算這些總體方差的估計值的適當(dāng)比值，就能檢驗各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。第2頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月幾個常用術(shù)語:1、試驗指標(biāo)(experimentalindex)

為衡量試驗結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗中具體測定的性狀或觀測的項目稱為試驗指標(biāo)。由于試驗?zāi)康牟煌?，選擇的試驗指標(biāo)也不相同。在畜禽、水產(chǎn)試驗中常用的試驗指標(biāo)有：日增重、產(chǎn)仔數(shù)、產(chǎn)奶量、產(chǎn)蛋率、瘦肉率、某些生理生化和體型指標(biāo)(如血糖含量、體高、體重)等。第3頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

2、試驗因素(experimentalfactor)

試驗中所研究的影響試驗指標(biāo)的因素叫試驗因素。如研究如何提高豬的日增重時，飼料的配方、豬的品種、飼養(yǎng)方式、環(huán)境溫濕度等都對日增重有影響，均可作為試驗因素來考慮。當(dāng)試驗中考察的因素只有一個時，稱為單因素試驗；若同時研究兩個或兩個以上的因素對試驗指標(biāo)的影響時，則稱為兩因素或多因素試驗。試驗因素常用大寫字母A、B、C、…等表示。第4頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

3、因素水平(leveloffactor)

試驗因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級稱為因素水平，簡稱水平。如比較3個品種奶牛產(chǎn)奶量的高低，這3個品種就是奶牛品種這個試驗因素的3個水平；研究某種飼料中4種不同能量水平對肥育豬瘦肉率的影響，這4種特定的能量水平就是飼料能量這一試驗因素的4個水平。第5頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月因素水平用代表該因素的字母加添角標(biāo)1，2，…，來表示。如A1、A2、…，B1、B2、…，等。

4、試驗處理(treatment)

事先設(shè)計好的實施在試驗單位上的具體項目叫試驗處理，簡稱處理。在單因素試驗中，實施在試驗單位上的具體項目就是試驗因素的某一水平。例如進行飼料的比較試驗時，實施在試驗單位(某種畜禽)上的具體項目就是喂飼某一種飼料。所以進行單因素試驗時，試驗因素的一個水平就是一個處理。第6頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月在多因素試驗中，實施在試驗單位上的具體項目是各因素的某一水平組合。例如進行3種飼料和3個品種對豬日增重影響的兩因素試驗，整個試驗共有3×3=9個水平組合，實施在試驗單位(試驗豬)上的具體項目就是某品種與某種飼料的結(jié)合。所以，在多因素試驗時，試驗因素的一個水平組合就是一個處理。第7頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

5、試驗單位(experimentalunit)

在試驗中能接受不同試驗處理的獨立的試驗載體叫試驗單位。在畜禽、水產(chǎn)試驗中，一只家禽、一頭家畜、一只小白鼠、一尾魚，即一個動物；或幾只家禽、幾頭家畜、幾只小白鼠、幾尾魚，即一組動物都可作為試驗單位。試驗單位往往也是觀測數(shù)據(jù)的單位。第8頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

6、重復(fù)(repetition)

在試驗中，將一個處理實施在兩個或兩個以上的試驗單位上，稱為處理有重復(fù)；一處理實施的試驗單位數(shù)稱為處理的重復(fù)數(shù)。例如，用某種飼料喂4頭豬，就說這個處理(飼料)有4次重復(fù)。第9頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1完全隨機設(shè)計的單因素方差分析

completelyrandomizeddesign完全隨機設(shè)計：成組設(shè)計的擴大只能分析一個因素，故稱“單因素方差分析”變異和自由度的分解

總變異：各觀察值之間的變異，包括處理因素的作用和隨機誤差（個體差異）。第10頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

完全隨機設(shè)計時，可以將總變異分解成組間變異和組內(nèi)變異兩部分。

組間變異：處理組之間的變異，包括處理因素的作用和隨機變異。第11頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

組內(nèi)變異：各處理組內(nèi)不同觀察值之間的變異，反映隨機變異。相應(yīng)地，自由度也分解成組間自由度和組內(nèi)自由度：第12頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

顯然，組間變異和組內(nèi)變異的大小都與自由度有關(guān)，為了可以比較，我們分別計算組間和組內(nèi)均方第13頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月方差分析：如果處理因素沒有作用，組間均方和組內(nèi)均方應(yīng)該相等。即使由于抽樣誤差的存在，兩者也不應(yīng)相差太大。建立統(tǒng)計量F

檢驗時，第14頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.1三種配合飼料對肉雞增重效果的對比試驗，增重數(shù)值為（60天體重-1000g）如下表，試檢驗三種配合飼料的增重效果間是否存在差異。該試驗統(tǒng)計設(shè)計是將受試肉雞30只隨機等分為三組，每組隨機分配一種飼料配方，形成試驗方案，故稱之為完全隨機設(shè)計，也稱該試驗是單因素——飼料配方、三個水平處理——A1A2A3、等重復(fù)——每個飼料重復(fù)飼喂10只肉雞的試驗。完全隨機設(shè)計中，各組也可以采用不等分的方式，但從統(tǒng)計設(shè)計角度要求，應(yīng)盡可能采用各組等分的設(shè)計為好。A1(魚粉為主)7358713766265349655154.9A2(槐葉、苜蓿粉加魚粉)1658384220454461344940.7A3(槐葉、苜蓿粉加藥劑)846910678759079941119287.8第15頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月對該資料做單因素方差分析的前提是：各組數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布，且各組數(shù)據(jù)的方差具有齊性（總體σ21=σ22=…=σ2k）。首先做正態(tài)性檢驗和方差齊性檢驗（具體方法從略，本例直接由SPSS統(tǒng)計軟件給出結(jié)果）：三組經(jīng)單樣本K-S檢驗，P值分別為：P=0.979,P=0.993,P=0.987，P值均大于0.05，即均符合正態(tài)分布。方差齊性檢驗，采用Levene’sTest法，統(tǒng)計量F=0.034,P=0.967P>0.05，三組方差具有齊性。再做方差分析：檢驗假設(shè)為H0：μ1=μ2=…=μk。本例H０：μ1=μ2=μ3即三種飼料配方增重效果相同。檢驗原理是，從分析數(shù)據(jù)的變異原因入手，找出引起數(shù)據(jù)變異的主要原因，進而做出是否拒絕假設(shè)H0的結(jié)論。引起數(shù)據(jù)變異的原因是：

1.肯定有客觀存在的隨機誤差的影響；2.可能由飼料配方的不同引起。如果主要原因是后者，則拒絕H0；如果主要原因是前者，則不能拒絕H0。第16頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月具體方法：

分別計算代表不同變異原因的平方和、自由度、方差（亦稱樣本均方）及F統(tǒng)計量，公式如下表：變異原因

平方和SS

自由度df

均方MSF統(tǒng)計量

總的

SST=∑∑(xij-)2/(N-1)

N-1

–

–

組間

SS組間=∑ni(xi-)2/(k-1)k-1MS組間=SS組間/(k-1)

F=MS組間/MS誤差

組內(nèi)

SS誤差=∑

∑(xij-)２/

(N-k)

N-kMS誤差=SS誤差/(N-k)

–

=SST-SS組間（誤差）其中，ni為第I個樣本的容量，N為樣本數(shù)據(jù)總個數(shù)，k為比較的組數(shù)，為第I個樣本均數(shù)，為N個數(shù)據(jù)的均數(shù)。

F統(tǒng)計量的意義是，代表組間（不同飼料配方間）變異的方差，與代表客觀存在的組內(nèi)（隨機誤差）變異的方差的比值。比值越大，就越有理由拒絕H0。_第17頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月本例計算結(jié)果如表：界值F0.05,（2,27）=3.35，F(xiàn)0.01,（2,27）=5.49，因F>F0.01,（2,27）,P<0.01（SPSS軟件給出P<0.001），即三種飼料配方增重效果間存在差異（不都相同）。

變異原因SSdfMSF總的17243.46729––飼料間11674.86725837.43328.303誤差5568.60027206.244–第18頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二、均數(shù)間的兩兩比較當(dāng)方差分析F檢驗不能拒絕H0時，一般情況下分析結(jié)束；當(dāng)方差分析F檢驗拒絕H0時，通常都進一步做均數(shù)間的兩兩比較（亦稱多重比較）。兩兩比較方法有許多種，下面介紹常用的三種方法。（一）LSD法（最小顯著差數(shù)法leastsignificantdifference

）計算及其標(biāo)準誤差Sij=MS誤差（1/ni+1/nj）其中，ni,nj為的樣本容量，1≤i<j≤k。可以證明當(dāng)來自同一總體（即μi=μj）時，t=（）/Sij~t（df誤差）分布與t檢驗相仿，可做出結(jié)論。第19頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月上例6.1經(jīng)LSD法做均數(shù)間的兩兩比較，由SPSS軟件給出檢驗結(jié)果為：

1與

2有差別，P=0.036

1與

3有差別，P<0.001

2與

3有差別，P<0.001應(yīng)注意的是，LSD法與t檢驗的差別在于，MS誤差、df誤差是方差分析中綜合全體數(shù)據(jù)計算的統(tǒng)計量，而t檢驗中t統(tǒng)計量的分母S，僅是第i、j兩個樣本計算的統(tǒng)計量。下面介紹的SNK法、Dunnett法以及其它兩兩比較方法中，誤差的估計均采用方差分析中的MS誤差。因此，兩兩比較中誤差估計要比t檢驗準確和精確。第20頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）SNK法（q檢驗法）計算及其標(biāo)準誤差Sij=MS誤差/n（各均數(shù)樣本容量相等為n）或Sij=MS誤差(N-∑n2i/N)/（k-1）其中，1≤I<j≤k?？梢宰C明當(dāng)來自同一總體（即μi=μj）時，q=（）/Sij~q（df誤差，a）分布其中，a是k個均數(shù)按大小排隊后，兩個及其中間所夾的均數(shù)的總個數(shù)。當(dāng)｜q｜<q0.05（df誤差,a）時，P>0.05,不能認為μi與μj間有差異；當(dāng)｜q｜≥qα（df誤差，a）,α≤0.05時，P≤α≤0.05，認為μi、μj間有差異。上例6.1經(jīng)SNK法檢驗，由SPSS軟件給出結(jié)果為：每兩組間均存在差異，P<0.05。第21頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）Dunnett法（各試驗組與對照組均數(shù)的比較）當(dāng)統(tǒng)計設(shè)計為各試驗組與對照組比較時，不論方差分析是否拒絕H0，均可做各試驗組與對照組均數(shù)比較的Dunnett法檢驗。計算及其標(biāo)準誤差S試驗、對照=MS誤差(１/n試驗+１/n對照)可證明，當(dāng)來自同一總體（即μ試驗=μ對照）q′=（）/S試驗、對照~q′（df誤差,a）分布其中，a的意義同SNK法。在例6.1中，不妨設(shè)A1飼料為對照組，經(jīng)Dunnett法檢驗，由SPSS軟件給出結(jié)果為：A2與A1差別無顯著意義，即不能說明μ2與μ1有差別，P=0.065>0.05；

3與

1有差別，P=0.000<0.05。第22頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計分析結(jié)果的報告格式為：

三組經(jīng)單樣本K-S檢驗，P值分別為：P=0.979,P=0.993,P=0.987，P值均大于0.05，即均符合正態(tài)分布。

方差齊性檢驗，F(xiàn)=0.034，P=0.967>0.05，三組方差具有齊性。方差分析，F(xiàn)=28.303，P<0.001，即三種飼料配方增重效果不都相同。兩兩比較SNK法，每兩組間均存在差異，P<0.05。

有關(guān)可信區(qū)間從略。上述關(guān)于完全隨機設(shè)計單因素方差分析的基本原理及方法，可推廣至其它方差分析方法，除有特殊區(qū)別之處外，不再贅述。第23頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月該試驗統(tǒng)計設(shè)計是配對試驗設(shè)計的推廣，選定三個區(qū)組，要求每個區(qū)組內(nèi)，土壤條件盡可能一致，并分成8塊，隨機分配種植8個品種的小麥，使得在每個區(qū)組上，8個品種間均具有良好的可比性。而區(qū)組的數(shù)目即為每個品種重復(fù)試驗的次數(shù)，本例重復(fù)數(shù)為3。6.2隨機區(qū)組設(shè)計方差分析randomizedblockdesign例6.28個小麥品種對比試驗，在3個地塊上進行，記錄規(guī)定面積產(chǎn)量（kg）數(shù)據(jù)如下表，試檢驗8個品種產(chǎn)量間有無差異。A110.911.312.2A210.812.314.0A311.112.510.5A49.110.711.1A511.813.914.8A610.110.611.8A710.011.514.1A89.310.412.4區(qū)組品種B1B2B3這是一個單因素8水平（k=8）、重復(fù)數(shù)為3（n=3）的隨機化完全區(qū)組設(shè)計，簡稱隨機區(qū)組設(shè)計。（SPSS操作中將區(qū)組也看成一個固定因素，因此選擇雙因素主效應(yīng)分析）第24頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月又如三種藥物對小鼠體重增加值（g）影響的對比試驗中，選5窩小鼠，每窩選同性別、同體重小鼠各3只，并隨機分配接受三種藥物的處理，形成試驗方案，如下表。這是一個單因素3水平（k=3）、重復(fù)數(shù)為5（n=5）的隨機區(qū)組設(shè)計。與完全隨機設(shè)計相比，區(qū)組設(shè)計更精細，一般試驗誤差將因扣除區(qū)組間的變異而減小，檢驗出可能存在的不同水平處理間的差異的靈敏度提高了。對隨機區(qū)組設(shè)計資料的方差分析，12732160241479632536115452651355143976區(qū)組藥物ABC包括后面介紹的其它方差分析方法，也有關(guān)于正態(tài)性、方差齊性的前前提要求，但實際分析時，一般不做這兩方面的檢驗。第25頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月方差分析：假設(shè)H0：μ1=μ2=…=μk。本例6.2H０：μ1=μ2=…=μ8即8個品種小麥的產(chǎn)量相同。隨機區(qū)組設(shè)計資料的變異原因比完全隨機設(shè)計多了一個，具體計算公式如下表：其中，k為水平處理數(shù)，n為區(qū)組數(shù)，N=kn。當(dāng)H0為真時，F(xiàn)~F（df處理，df誤差）分布變異原因SSdfMSF

總的SST=∑∑(xij–x)2/(N-1)

N-1

–

–處理間SS處理=∑n(xi-x)2/(k-1)k-1MS處理=SS處理/(k-1)F=MS處理/MS誤差區(qū)組間SS區(qū)組=∑k（xj-x）2/(n-1)n-1…–誤差SS誤差=SST-SS處理-SS區(qū)組(k-1)(n-1)MS誤差=SS誤差/[(k-1)(n-1)]–第26頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月SPSS軟件給出P=0.009,各品種產(chǎn)量總體均值不都相同。兩兩比較采用SNK法，結(jié)果為：品種μ5分別與品種μ4、μ6、μ8之間存在差異，P<0.05；其余各品種間差異均無顯著意義（即不能說明它們的總體均值間存在差異）。采用LSD法，結(jié)果為：μ1≠μ5,P=0.011;μ2≠μ4,P=0.01;μ2≠μ6,P=0.046;μ2≠μ8,

P=0.032;μ3≠μ5,P=0.009;μ4≠μ5,P<0.001;μ4≠μ7,P=0.042;μ5≠μ6,P=0.002;μ5≠μ7,P=0.035;μ5≠μ8,P=0.001;其余各品種間差異無顯著意義（不能說它們的總體均值間存在差異）。本例計算結(jié)果如表：變異原因SSdfMSF總的52.40023––品種間22.22773.1754.337區(qū)組間19.9222……誤差10.251140.732–第27頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計分析結(jié)果的報告格式為：經(jīng)方差分析，不同品種小麥間比較F=4.337，P=0.009,即8個品種小麥的規(guī)定面積產(chǎn)量不都相同。兩兩比較SNK法，品種μ5分別與品種μ4、μ6、μ8之間存在差異，P均小于0.05；其余各品種間差異均無顯著意義，P均大于0.05。有關(guān)可信區(qū)間從略。第28頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月這是一個雙因素試驗，溫度因素有3個水平，地區(qū)因素有7個水平，在雙因素試驗中，水平組合為處理，這里共3×7=21個不同處理，因每個處理只有一個試驗數(shù)據(jù)，故稱之為處理無重復(fù)的設(shè)計。方差分析原理、方法與上節(jié)隨機區(qū)組設(shè)計完全相同，只是上節(jié)中的區(qū)組在這里換成了另一個試驗因素。6.3兩因素處理無重復(fù)設(shè)計方差分析例6.3來自7個不同地區(qū)的戰(zhàn)士各1人，分別在3種不同的氣溫下，以相同速度做相等距離的行軍后，測定其生理緊張指數(shù)，數(shù)據(jù)如下表。試檢驗：1.不同溫度下生理緊張指數(shù)有無差異；2.不同地區(qū)戰(zhàn)士間生理緊張指數(shù)有無差異。12.833.163.4021.572.112.4631.982.302.9942.262.413.1252.052.032.8461.852.522.5371.331.962.38溫度27.0°29.5°31.2°地區(qū)（SPSS操作：選擇雙固定因素主效應(yīng)分析）第29頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計分析結(jié)果的報告格式為：不同溫度下生理緊張指數(shù)總體均值不都相同，F(xiàn)=41.262,P<0.001；不同地區(qū)戰(zhàn)士間生理緊張指數(shù)總體均值不都相同,F=16.384,P<0.001。兩兩比較采用LSD法：溫度間比較：μ1≠μ2,P=0.002;μ1≠μ3,P<0.001;μ2≠μ3,P<0.001。地區(qū)間比較：μ1分別與μ2…μ7均有差異，均有P<0.01；μ2≠μ3，P=0.02;μ2≠μ4,P=0.002;μ3≠μ7,P=0.003;μ4≠μ7,P<0.001;μ5≠μ7,P=0.012;μ6≠μ7,P=0.013。有關(guān)可信區(qū)間從略。檢驗假設(shè)有兩個：1.H0：μ1=μ2=μ3即不同溫度下生理緊張指數(shù)相同；2.H0：μ1=μ2=…=μ7即不同地區(qū)戰(zhàn)士間生理緊張指數(shù)相同。方差分析結(jié)果如下表：變異原因SSdfMSF總的5.73320––溫度間2.45321.22741.262地區(qū)間2.92260.48716.384誤差0.357120.02973–第30頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月用n階拉丁方安排試驗，最多可安排三個因素——行因素、列因素、字母因素，每個因素均為n個水平。也可安排一個因素和兩個區(qū)組，或安排兩個因素和一個區(qū)組。6.4拉丁方設(shè)計方差分析latinsquaredesign一、n階拉丁方n階拉丁方是由n個不同的拉丁字母排列成n行n列的方塊，每個字母在每行每列中都出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次。例如：5階拉丁方ABCDEBCDEACDEABDEABCEABCD3階拉丁方ABCBCACAB第31頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月該試驗的統(tǒng)計設(shè)計是，首先由三因素的等水平數(shù)n=5，選擇一個5階拉丁方，比如上面給出的拉丁方；然后將行隨機調(diào)整后對應(yīng)1~5品種；再將列隨機調(diào)整后對應(yīng)Ⅰ~Ⅴ階段；最后將5種飼料隨機對應(yīng)A、B、C、D、E5個字母。形成試驗方案，如表所示。試驗結(jié)果產(chǎn)乳量記錄在相應(yīng)位置上，以備做方差分析。二、拉丁方設(shè)計與方差分析例6.4用5頭不同品種奶牛，在5個不同的階段，分別飼喂5種不同飼料，記錄產(chǎn)乳量（kg）如下表。試檢驗：1.不同品種、2.不同階段、3.不同飼料間產(chǎn)乳量有無差異。1E300A320B390C390D3802D420C390E280B370A2703B350E360D400A260C4004A280D400C390E280B3705C400B380A350D430E320品種階段ⅠⅡⅢⅣⅤ注：A、B、C、D、E代表5種飼料（SPSS操作：選擇三個固定因素主效應(yīng)分析）第32頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月方差分析：假設(shè)H0:μ1=…=μ5,分別表示對總體平均產(chǎn)乳量而言：1.5種飼料間效果無差異、2.5個階段間無差異、3.5個品種間無差異。方差分析公式及計算結(jié)果如下表：變異原因SSdfMS=SS/dfF

總的SST=∑∑()2n２-1=24--=63224飼料間SS飼料=∑5()2n-1=412626.000MS飼料/MS誤差=20.608=50504品種間SS品種=∑5()2n-1=4806.000MS品種/MS誤差=1.316=3224階段間SS階段=∑5()2n-1=4536.000MS階段/MS誤差=0.875=2144誤差SS誤差=SST-SS飼料-SS品種-SS階段612.667-

=7352n２-3n+2=12第33頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計分析結(jié)果的報告格式為：不同飼料組總體平均產(chǎn)乳量不都相同，F(xiàn)=20.608,P<0.001；不同品種間F=1.316、P>0.05，不同階段間F=0.875、P>0.05，差異均無顯著意義（不能說明相應(yīng)各總體平均產(chǎn)乳量間有差異）。兩兩比較，對不同飼料用LSD法，結(jié)果為：μA≠μB、μA≠μC、μA≠μD，P<0.001；μB≠μE，P=0.002；μC≠μE，P<0.001；μD≠μE，P<0.001；其它情況均不能說明有差異。上例當(dāng)專業(yè)上對飼料、品種、階段都想做研究時，可視為三因素試驗；當(dāng)專業(yè)上僅想對飼料進行研究，拉丁方可把品種、階段做為區(qū)組進行誤差控制，此時可視為單因素飼料和兩個區(qū)組品種、階段的試驗；當(dāng)專業(yè)上僅想對飼料、品種兩個因素進行研究時，拉丁方可把階段做為區(qū)組進行誤差控制，此時又可視為兩因素飼料、品種和一個區(qū)組階段的試驗。第34頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月在多因素試驗設(shè)計中，當(dāng)對各個因素的水平進行全面組合，即對所有水平組合——處理進行全面試驗時，稱為析因設(shè)計（亦稱交叉分組全面試驗設(shè)計）。析因設(shè)計的一般方法是，先確定因素、水平，再列出全部水平組合——處理，然后對每個處理確定實驗單位的數(shù)量，即處理的重復(fù)數(shù)。如果每個處理只設(shè)1個試驗單位，則稱為處理無重復(fù)析因試驗；如果每個處理有重復(fù)，且重復(fù)的試驗單位是完全隨機分配的，則稱之為處理有重復(fù)完全隨機析因設(shè)計（一般采用等重復(fù)設(shè)計）；如果處理重復(fù)的試驗單位是采用區(qū)組設(shè)計或拉丁方設(shè)計分配的，則稱之為處理有重復(fù)區(qū)組或拉丁方析因設(shè)計。這里僅介紹處理有重復(fù)完全隨機析因設(shè)計及其方差分析方法。6.5析因設(shè)計方差分析factorialexperimentaldesign第35頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月交互作用（或交互效應(yīng)），可能存在于因素之間。以表中數(shù)據(jù)為例，B1不變，A1→A2,平均值增加了28-24=4;B2不變，A1→A2,平均值增加了52–44=8。可見B對A有影響，由于B1→B2，至使A1→A2的增加值又增加了8–4=4。這里可以說A、B間可能存在交互作用，對表面存在的交互作用還需與試驗誤差比較，進行檢驗。例6.5在研究家兔神經(jīng)縫合后的軸突通過率（%）時，考慮縫合部位和縫合時間兩個因素各兩個水平，共4個處理。每個處理隨機分配5只家兔進行試驗。試驗結(jié)果如下表。試檢驗：1.不同縫合部位間、2.縫合后不同時間間總體平均軸突通過率有無差異、3.縫合部位與縫合后時間間有無交互作用。1030105010302050407030705060506010303030A1外膜縫合B1縫合1月B2縫合2月A2囊膜縫合B1縫合1月B2縫合2月24442852（SPSS操作：選擇雙固定因素全模型分析）第36頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月交互作用的實例很多，比如中草藥配方的藥效，不完全是其中每一位藥藥效的簡單迭加，常常會有因各位藥的科學(xué)配合使用而產(chǎn)生的特別效果；農(nóng)作物種植中，各種肥料的科學(xué)配合施用，增產(chǎn)的數(shù)量會超過其中每種肥料單獨施用時所增產(chǎn)量的合計。當(dāng)然，不合理、不科學(xué)的中藥配方和施肥方案，也會帶來負作用和減產(chǎn)。因此，交互作用常分為協(xié)同作用和拮抗作用。對交互作用的研究分析，就是為了揚其長避其短，更好地利用交互作用。第37頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月方差分析：假設(shè)H0：μ1=μ2，分別表示不同縫合部位總體平均軸突通過率相同；不同縫合時間總體平均軸突通過率相同;部位與時間無交互作用。方差分析結(jié)果如下表（由SPSS軟件計算，公式略）：統(tǒng)計分析結(jié)果的報告格式為：縫后不同時間總體平均軸突通過率不同，縫后2月高于1月，F(xiàn)=8.067,P=0.012;尚不能說明不同部位總體平均軸突通過率不同，F(xiàn)=0.600,P=0.450;也不能說明縫合部位與縫后時間間有交互作用，F(xiàn)=0.067，P=0.8。因水平數(shù)為2，不需兩兩比較。

注意：1.析因設(shè)計中，處理若無重復(fù)，則不能分析交互作用。2.多因素、多水平析因設(shè)計中，處理數(shù)隨因素數(shù)、水平數(shù)增加而大幅增加。因此，當(dāng)因素數(shù)、水平數(shù)較多時，可選擇下節(jié)介紹的正交設(shè)計方法，以大大減少處理數(shù)。實際中，析因設(shè)計常用于多因素且均為2水平的試驗中

變異原因SSdfMSFP總的742019–––縫合部位間A18011800.6000.450縫合時間間B2420124208.0670.012交互作用A×B201200.0670.800誤差480016300––第38頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月正交設(shè)計是選用現(xiàn)成的正交表安排試驗的統(tǒng)計設(shè)計方法，它一般適用于多因素統(tǒng)計設(shè)計。按各因素水平數(shù)是否相同，正交表可分為等水平表Lm(nk)（其中L表示正交表；n為等水平數(shù)；k為正交表的列數(shù)，即最多可安排的因素數(shù)；m為正交表的行數(shù)，即所需的試驗樣品即處理數(shù)）和混合水平表兩大類。常用的等水平正交表有：2水平的L4(2３)、L8(2７)、L16(215)等；3水平的L9(34)、L27(313)等；4水平的L16(45);5水平的L25(56)等，混合水平表從略。利用正交表設(shè)計試驗，首先是選擇適合的正交表，然后把試驗因素（有時包括交互作用）和水平合理地安排到正交表中，形成試驗方案，最終的試驗結(jié)果（定量指標(biāo)）可用方差分析處理。6.6正交設(shè)計方差分析theorthogonaldesign第39頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.6為研究5種維生素即5個因素（不妨設(shè)為A、B、C、D、E）對肉雞增重的影響，每個維生素采用喂（1）和不喂（2）兩個水平，且專業(yè)上認為各因素間無交互作用，現(xiàn)做正交設(shè)計。先由等水平數(shù)2和因素數(shù)5考慮，可選擇L8（2７）或L16（215）正交表如下：試驗號12345671111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112L８（2７）表1（1）3254762（2）167453（3）76544（4）1235（5）326（6）17（7）L８（2７）對應(yīng)的二列間的交互作用表列號1234567列號第40頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月試驗號12345678910111213141511111111111111112111111122222222311122221111222241112222222211115122112211221122612211222211221171222211112222118122221122111122921212121212121210212121221212121112122121121221211221221212121121213221122112211221142211221211221121522121121221211216221211221121221

L１６（215）表

123456789101112131415（1）（1）32547698111013121514（2）（2）1674510118914151213（3）（3）765411109815141312（4）（4）12312131415891011（5）（5）3213121514981110（6）（6）114151213101189（7）（7）15141312111098（8）（8）1234567（9）（9）325476（10）（10）16745（11）（11）7654（12）（12）123（13）（13）32（14）（14）1L１６（215）對應(yīng)的二列間的交互作用表列號列號第41頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月因不考慮交互作用可選L8（2７），7個列可任意安排5個因素，所空兩列作為誤差估計列。但如果實際中各因素間部分存在（比如僅A、B間存在）交互作用，由對應(yīng)的二列間的交互作用表可知，若將A、B安排1、2列上，其交互作用A×B將占有第3列，其余4個列可任意安排另3個因素，所空一列仍可估計誤差。但如果再有A、C間存在交互作用，若C占第4列，A×C占第5列，則D、E排滿6、7列，因已無空列，故無法估計誤差，也就無法做方差分析。這時就應(yīng)選擇L16（215）表安排實驗。一般兩因素交互作用占有另外的n(水平數(shù))–1列（2水平占1列、3水平占2列…），各因素自由度為(n–1)，交互作用自由度為所占列的自由度之和，總自由度為m-1。設(shè)計時，只有總自由度大于等于各因素及交互作用自由度之和時，才能估計誤差，并做方差分析。否則只能犧牲某個相對次要的因素或交互作用，以其占有的列來估計誤差。第42頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計分析結(jié)果的報告格式為：僅維生素D喂與不喂增重不同，F(xiàn)=24.372,P=0.039；尚不能說明其它維生素喂與不喂增重不同,均有P>0.05。因水平數(shù)為2，不需做兩兩比較。本例不考慮交互作用，所選擇的試驗方案及試驗結(jié)果如下表。試分別檢驗5種維生素喂與不喂間，肉雞增重是否有差異。試驗號ABCD56E增重(g)

1111111116221112222172312211221684122221119052121212178621221212157221122116282212112182注：A、B、C、D、E中1：不喂；2.喂方差分析：假設(shè)H0：μ1=μ2分別表示對總體平均增重而言，每個維生素喂與不喂均無差異。方差分析結(jié)果如下表（由SPSS軟件計算，公式略）：變異原因SSdfMSFP總的2173.8757––

–A間253.1251253.1256.2310.130B間78.125178.1251.9230.300C間666.1251666.12516.3970.056D間990.1251990.12524.3720.039E間105.1251105.1252.5880.249誤差81.125240.625––（SPSS操作：選擇5固定因素主效應(yīng)分析）第43頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月正交設(shè)計的優(yōu)點是：1.與析因設(shè)計相比，在多因素、多水平條件下，可大大減少試驗處理數(shù)（試驗樣品數(shù)）。例如上例中5因素各2水平全部組合即處理有2５=32個，正交設(shè)計只做了其中有代表性的8個部分試驗。2.m個處理中各水平搭配具有均衡性，這種均衡性保證了m個部分處理試驗對全部處理試驗有較好的代表性。第44頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)分組設(shè)計，是根據(jù)研究目的把因素分為主次，最主要的因素稱為一級因素，其次為二級、三級…因素。前一級因素的不同水平與后一級因素的不同水平，可以是部分組合，且對前一級每個水平，后一級的水平數(shù)可以不等。系統(tǒng)分組設(shè)計，在畜牧遺傳學(xué)研究中應(yīng)用較多。例如研究由不同雙親所生后代性狀的變異時，公畜常做為一級因素，母畜常做為二級因素。由于一部分母畜與某頭公畜相配，生有若干仔畜，而另一部分母畜是與另外一頭公畜相配，生有若干仔畜。通過仔畜的生產(chǎn)性狀來對公畜、母畜的遺傳性狀進行分析，就用到了系統(tǒng)分組設(shè)計。6.7系統(tǒng)分組設(shè)計方差分析第45頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月方差分析：假設(shè)H０：μ1=μ２=μ3，3頭公豬間仔豬斷奶重總體平均值相同；H０：μ1=μ2=…=μ88頭母豬間仔豬斷奶重總體平均值相同。例6.73頭公豬與8頭母豬配種，各產(chǎn)下若干仔豬。仔豬的斷奶體重（kg）數(shù)據(jù)如下表。試檢驗：1.不同公豬間、2.不同母豬間仔豬總體平均斷奶重是否有差異。公豬號A母豬號B仔豬數(shù)c仔豬斷奶體重（kg/頭）51—43—1921.016.517.519.520.019.017.518.514.595—8714.015.516.518.016.015.018.549—391—3824.022.524.020.022.023.022.022.571—4719.019.520.023.519.021.016.537—5916.016.015.520.514.017.514.515.519.091—191—4815.013.013.512.516.513.516.017.546—6719.021.021.519.015.521.021.551—7822.521.021.519.014.520.023.522.0第46頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計分析結(jié)果的報告格式為：不同母豬的仔豬斷奶重總體均數(shù)不同，F(xiàn)=15.800,P<0.001；尚不能說明不同公豬的仔豬斷奶重總體均數(shù)不同，F(xiàn)=0.341,P>0.05。兩兩比較略。方差分析結(jié)果如下表（由SPSS軟件計算，公式略）：變異原因SSdfMSFP總的SS總=600.98462公豬間ASSA=44.7322S2公FA間（公間）=S2公/S2公內(nèi)母間=22.366=22.366/65.588=0.341>0.05公豬內(nèi)母豬間SSA內(nèi)B間5S2公內(nèi)母間FB間（母間）=S2公內(nèi)母間/S2母內(nèi)仔間（A內(nèi)B間）=327.942=65.588=65.588/4.151=15.800<0.001母豬內(nèi)仔豬間SSB內(nèi)C間55S2母內(nèi)仔間（B內(nèi)C間）=228.310=4.151第47頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：1.用SPSS軟件計算時，先以A為單因素試驗，計算得SS總、df總和SSA、dfA、MSA再按A、B雙因素主效應(yīng)（Maineffects）計算得SSA內(nèi)B間、dfA內(nèi)B間（=SSB間、dfB間）、SSB內(nèi)C間、dfB內(nèi)C間（=SSError、dfError）、MSA內(nèi)B間（=MSB間）、MSB內(nèi)C間（=MSError）、FB間（母間）=MSA內(nèi)B間/MSB內(nèi)C間（=FB間，P值）。括號內(nèi)數(shù)值均為SPSS軟件計算顯示的結(jié)果。而FA間（公間）=MSA間（公間）/MSA內(nèi)B間（公內(nèi)母間）需手算。2.計算FA間（公間）時，是以MSA內(nèi)B間（公內(nèi)母間）做分母；而計算FB間（母間）時，是以MSB內(nèi)C間（母內(nèi)仔間）做分母。不同F(xiàn)值分母不同，這是系統(tǒng)分組方差分析不同于其它試驗設(shè)計方差分析的地方。第48頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二階段交叉設(shè)計，是將試驗時間劃分為兩個階段，同一個受試單位在不同的試驗階段，先后接受兩種處理；同時還將受試單位分成兩個不同的組，不同組內(nèi)受試單位先后接受兩種處理的順序相反。采用二階段交叉設(shè)計的前提條件是：前一階段的處理效應(yīng)，不能遺留到后一個試驗階段，即各處理結(jié)束后，無殘留效應(yīng)或殘留效應(yīng)相等。因此，一般在兩個試驗階段中間，設(shè)置一個暫停各處理的階段，以使殘留效應(yīng)的影響消失或減至最低程度。6.8二階段交叉設(shè)計方差分析第49頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.8兩種減肥藥A、B的對比試驗中，采用二階段交叉設(shè)計，12名肥胖癥患者隨機等分為甲、乙兩組，甲組前4周服A藥、后4周服B藥；乙組前4周服B藥、后4周服A藥。試驗結(jié)果體重下降值（kg）數(shù)據(jù)如下表。試檢驗A、B兩藥的減肥效果有無差異。6.129–0.4542.4970.9084.3130.4544.5402.7241.4981.1358.1724.3134.4492.0434.9941.8160.4540.1360.2271.2711.5891.2710.1361.589組別受試者號前4周后4周甲