江西省上饒市高考三模數(shù)學(xué)試卷（理科）

2021年江西省上饒市高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.1．設(shè)x∈R，則“﹣2＜x＜2”是“1＜x＜2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知復(fù)數(shù)z1＝1+i，z2＝3﹣i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，，則的模為（）A． B． C．4 D．23．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（3，σ2），P（ξ≤6）＝0.84，則P（ξ≤0）＝（） D．0.844．羅德島太陽神巨像是古代世界七大奇跡之一．它是希臘太陽神赫利俄斯的青銅鑄像．如圖所示，太陽神赫利俄斯手中所持的幾何體（含火焰）近似是一個底面相同的兩個圓錐合在一起，正方向投影過去，其平面幾何圖形形狀是上方內(nèi)角為60°，邊長為2的菱形．現(xiàn)在其中一個圓錐中放置一個球體，使得球與圓錐側(cè)面、底面均相切，則該球的體積為（）A． B． C． D．5．已知a＝log38，b10，c＝，則（）A．c＞a＞b B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a6．已知A、B、C三點共線（該直線不過原點O），且＝m+2n（m＞0，n＞0），則的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．47．已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的離心率為，則點M（3，0）到雙曲線C的漸近線距離為（）A．2 B． C． D．28．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點G是線段BC1上的一點，且A1G⊥B1D，則（）A．BG＝BC1 B．BC1＝3GC1 C．BG＝3GC1 D．點G為線段BC1上任意一點9．考拉茲猜想又名3n+1猜想，是指對于每一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對它乘3再加1；如果它是偶數(shù)，則對它除以2．如此循環(huán)，最終都能得到1．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)程序，輸出的結(jié)果i＝（）A．6 B．7 C．8 D．910．現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物各1本書，把這6本書分別放入3個不同的抽屜里，要求每個抽屜至少放一本書且語文和數(shù)學(xué)放在同一個抽屜里，則不同的放法總數(shù)為（）A．78 B．126 C．148 D．15011．已知函數(shù)f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0）在區(qū)間（0，π）上恰有2個最大值點，則ω的取值范圍是（）A．（，] B．[，） C．[，] D．（，]12．?dāng)?shù)列{an}是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝1+a1+a2+…+an（n＝1，2，…），數(shù)列{cn}滿足cn＝2+b1+b2+…+bn（n＝1，2，…）．若{cn}為等比數(shù)列，則a+q＝（）A． B．3 C． D．6二、填空題：本大題共四小題，每小題5分，共20分。請把答案填在答題卡上。13．已知＝（1，2），＝（0，﹣1），則在方向上的投影為．14．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a5+a6＝a2+5，則S17＝．15．已知函數(shù)f（x）定義域為R，滿足f（x）＝f（2﹣x），且對任意1≤x1＜x2，均有＞0，則不等式f（2x﹣1）﹣f（3﹣x）≥0解集為．16．某中學(xué)張燕同學(xué)不僅學(xué)習(xí)認(rèn)真，而且酷愛體育運動，經(jīng)過艱苦的訓(xùn)練，終于在校運會的投鉛球比賽中創(chuàng)造佳績．已知張燕所投鉛球的軌跡是一段拋物線（人的身高不計，鉛球看成一個質(zhì)點），如圖所示，設(shè)初速度為定值v0，且與水平方向所成角為變量θ，已知張燕投鉛球的最遠(yuǎn)距離為10m．當(dāng)她投得最遠(yuǎn)距離時，鉛球軌跡拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為m．（空氣阻力不計，重力加速度為10m/s2）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．已知在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，（sinA﹣sinB）2＝sin2C﹣3sinAsinB．（1）求角C的大?。唬?）若a＝2b，求cos（B+）的值．18．如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AB＝BC＝2，將△ABD沿BD折起，使得A到P的位置，且二面角P﹣BD﹣C是直二面角，如圖2．（1）求證：CD⊥PB．（2）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．19．上饒市正在開展2021年“陽光護(hù)苗”文明校園創(chuàng)建行動，分為“清網(wǎng)”護(hù)苗、“培根”護(hù)苗、“關(guān)愛”護(hù)苗、“雨露”護(hù)苗、“法治”護(hù)苗五個專項行動．在“培根”護(hù)苗方面，為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校計劃舉行以“唱支山歌給黨聽”為主題的紅歌合唱比賽活動，現(xiàn)有高一1、2、3、4班準(zhǔn)備從《唱支山歌給黨聽》、《沒有共產(chǎn)黨就沒有新中國》、《映山紅》、《十送紅軍》、《歌唱祖國》5首紅歌中選取一首作為比賽歌曲，設(shè)每班只選擇其中一首紅歌，且選擇任一首紅歌是等可能的．（1）求“恰有2個班級選擇《唱支山歌給黨聽》”的概率；（2）記隨機(jī)變量X表示這4個班級共選擇紅歌的個數(shù)（相同的紅歌記為1個），求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．20．已知橢圓＝1（a＞b＞0）的兩個頂點在直線x+y＝1上，直線l經(jīng)過橢圓的右焦點F，與橢圓交于A、B兩點，點P（1，）（P不在直線l上）．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l與x＝2交于點M．設(shè)PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．試問：是否存在常數(shù)λ使得k1+k2＝λk3？若存在，請求出λ的值；若不存在，請說明理由．21．設(shè)函數(shù)f（x）＝ex+ax﹣b+1（a，b∈R）．（1）若b＝1，f（x）有兩個零點，求a的取值范圍；（2）若f（x）≥0，求b﹣a的最大值．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1是過點P（3，0）且傾斜角為α的直線，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ﹣2sinθ．（1）求曲線C1的參數(shù)方程及曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線C1、C2交于A，B兩點，求當(dāng)最大時，曲線C的直角坐標(biāo)方程．[選修45：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）若_____，求a的最小值．①不等式f（x）≥a2+3a有解；②不等式f（x）≥a2+5a恒成立．請從上述兩種情形中任選一種作答．參考答案一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.1．設(shè)x∈R，則“﹣2＜x＜2”是“1＜x＜2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解：∵（1,2）?(﹣2,2),∴﹣2＜x＜2是1＜x＜2的必要不充分條件，故選：B．2．已知復(fù)數(shù)z1＝1+i，z2＝3﹣i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，，則的模為（）A． B． C．4 D．2解：∵復(fù)數(shù)z1＝1+i，z2＝3﹣i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，，∴＝(1,1),＝(3,﹣1),∴＝﹣＝(2,﹣2),∴＝＝2,故選：D．3．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（3，σ2），P（ξ≤6）＝0.84，則P（ξ≤0）＝（）解：∵P（ξ＞6）＝1﹣0.84＝0.16，∴P（ξ≤0）＝P（ξ＞6）＝0.16．故選：A．4．羅德島太陽神巨像是古代世界七大奇跡之一．它是希臘太陽神赫利俄斯的青銅鑄像．如圖所示，太陽神赫利俄斯手中所持的幾何體（含火焰）近似是一個底面相同的兩個圓錐合在一起，正方向投影過去，其平面幾何圖形形狀是上方內(nèi)角為60°，邊長為2的菱形．現(xiàn)在其中一個圓錐中放置一個球體，使得球與圓錐側(cè)面、底面均相切，則該球的體積為（）A． B． C． D．解：圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，正三角形內(nèi)切圓的半徑為，則圓錐內(nèi)切球的半徑為，∴球的體積V＝×＝．故選：B．5．已知a＝log38，b10，c＝，則（）A．c＞a＞b B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a解：因為a＝log38∈（1，2），b10∈（0，1）），c＝＝2＞2，所以c＞a＞b．故選：A．6．已知A、B、C三點共線（該直線不過原點O），且＝m+2n（m＞0，n＞0），則的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．4解：由“A、B、C三點共線（該直線不過原點O），且＝m+2n”可知m+2n＝1（m＞0，n＞0），∴＝（m+2n）()＝4++≥4+2＝8,當(dāng)且僅當(dāng)即時取“＝”．∴的最小值是8．故選：C．7．已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的離心率為，則點M（3，0）到雙曲線C的漸近線距離為（）A．2 B． C． D．2解：雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的離心率為，可得a＝b，所以雙曲線的漸近線方程為：x±y＝0，點M（3，0）到雙曲線C的漸近線距離為：＝．故選：C．8．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點G是線段BC1上的一點，且A1G⊥B1D，則（）A．BG＝BC1 B．BC1＝3GC1 C．BG＝3GC1 D．點G為線段BC1上任意一點解：如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D在側(cè)面ABB1A1內(nèi)的射影是AB1，且AB1⊥A1B，所以A1B⊥B1D，同理，B1D⊥C1，且A1B∩BC1＝B，所以B1D⊥平面A1BC1，又A1G?平面A1BC1，所以A1G⊥B1D，即點G為線段BC1上任意一點，選項D正確，A、B、C選項錯誤．故選：D．9．考拉茲猜想又名3n+1猜想，是指對于每一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對它乘3再加1；如果它是偶數(shù)，則對它除以2．如此循環(huán)，最終都能得到1．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)程序，輸出的結(jié)果i＝（）A．6 B．7 C．8 D．9解：模擬程序的運行，可得a＝3，i＝1，a為奇數(shù)，a＝10，i＝2，a為偶數(shù)，a＝5，i＝3，a為奇數(shù)，a＝16，i＝4，a為偶數(shù)，a＝8，i＝5，a為偶數(shù)，a＝4，i＝6，a為偶數(shù)，a＝2，i＝7，a為偶數(shù)，a＝1，i＝8，跳出循環(huán)，輸出i的值為8．故選：C．10．現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物各1本書，把這6本書分別放入3個不同的抽屜里，要求每個抽屜至少放一本書且語文和數(shù)學(xué)放在同一個抽屜里，則不同的放法總數(shù)為（）A．78 B．126 C．148 D．150解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6本書分為3組，要求語文和數(shù)學(xué)在同一組，若分為2、2、2的三組，有C42＝3種分組方法，若分為3、2、1的三組，有C41+C41C32＝16種分組方法，若分為4、1、1的三組，有C42＝6種分組方法，則有3+16+6＝25種分組方法；②將分好三組全排列，放入三個不同的抽屜，有A33＝6種情況，則有25×6＝150種安排方法；故選：D．11．已知函數(shù)f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0）在區(qū)間（0，π）上恰有2個最大值點，則ω的取值范圍是（）A．（，] B．[，） C．[，] D．（，]解：f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）＝sin2ωx+sinωxcosωx＝+＝sin（2ωx﹣）+，∵x∈（0，π），∴2ωx﹣∈（﹣，2），∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上恰有2個最大值點，∴＜2ωπ﹣≤，∴＜ω≤，∴ω的取值范圍是（，]．故選：A．12．?dāng)?shù)列{an}是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝1+a1+a2+…+an（n＝1，2，…），數(shù)列{cn}滿足cn＝2+b1+b2+…+bn（n＝1，2，…）．若{cn}為等比數(shù)列，則a+q＝（）A． B．3 C． D．6解：數(shù)列{an}是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，an＝aqn﹣1，則bn＝1+a1+a2+…+an＝1+＝1+﹣，則cn＝2+b1+b2+…+bn＝2+（1+）n﹣×＝2﹣+n+，要使{cn}為等比數(shù)列，則，解得：，∴a+q＝3，故選：B．二、填空題：本大題共四小題，每小題5分，共20分。請把答案填在答題卡上。13．已知＝（1，2），＝（0，﹣1），則在方向上的投影為﹣2．解：因為＝（1，2），＝（0，﹣1），則在方向上的投影＝＝﹣2．故答案為：﹣2．14．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a5+a6＝a2+5，則S17＝85．解：由{an}是等差數(shù)列，得a5+a6＝a2+a9，又a5+a6＝a2+5，所以a9＝5，所以S17＝（a1+a17）＝17a9＝17×5＝85．故答案為：85．15．已知函數(shù)f（x）定義域為R，滿足f（x）＝f（2﹣x），且對任意1≤x1＜x2，均有＞0，則不等式f（2x﹣1）﹣f（3﹣x）≥0解集為（﹣∞，0]∪[，+∞）．解：因為函數(shù)f（x）定義域為R，滿足f（x）＝f（2﹣x），所以函數(shù)f（x）關(guān)于直線x＝1對稱，因為對任意1≤x1＜x2均有＞0成立，所以函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，由對稱性可知f（x）在（﹣∞，1]上單調(diào)遞減，因為f（2x﹣1）﹣f（3﹣x）≥0，即f（2x﹣1）≤f（3﹣x），所以|2x﹣1﹣1|≥|3﹣x﹣1|，即|2x﹣2|≥|2﹣x|，解得x≥或x≤0．故答案為：（﹣∞，0]∪[，+∞）．16．某中學(xué)張燕同學(xué)不僅學(xué)習(xí)認(rèn)真，而且酷愛體育運動，經(jīng)過艱苦的訓(xùn)練，終于在校運會的投鉛球比賽中創(chuàng)造佳績．已知張燕所投鉛球的軌跡是一段拋物線（人的身高不計，鉛球看成一個質(zhì)點），如圖所示，設(shè)初速度為定值v0，且與水平方向所成角為變量θ，已知張燕投鉛球的最遠(yuǎn)距離為10m．當(dāng)她投得最遠(yuǎn)距離時，鉛球軌跡拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為5m．（空氣阻力不計，重力加速度為10m/s2）解：設(shè)鉛球運動時間為t0，t時刻的水平方向位移為x，則x＝v0tcosθ，由知，，∴，故當(dāng)時，，∴v0＝10m/s，∴，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，P（﹣5，﹣2.5），設(shè)拋物線方程為x2＝﹣2py，則拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為．故答案為：5．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．已知在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，（sinA﹣sinB）2＝sin2C﹣3sinAsinB．（1）求角C的大??；（2）若a＝2b，求cos（B+）的值．解：（1）因為（sinA﹣sinB）2＝sin2C﹣3sinAsinB，由正弦定理得（a﹣b）2＝c2﹣3ab，即a2+b2﹣c2＝﹣ab，由余弦定理得cosC＝＝﹣，由C為三角形內(nèi)角可得C＝；（2）因為a＝2b，由正弦定理得sinA＝2sinB，所以sin（）＝2sinB，所以＝2sinB，所以tanB＝，所以B∈（0，），cosB＝＝＝，sinB＝＝，所以cos（B+）＝cos（B+）＝＝＝．18．如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AB＝BC＝2，將△ABD沿BD折起，使得A到P的位置，且二面角P﹣BD﹣C是直二面角，如圖2．（1）求證：CD⊥PB．（2）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．解：（1）證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AB＝BC＝2，∴BD＝CD＝＝2，BC＝4，∴BD2+CD2＝BC2，∴BD⊥CD，∵將△ABD沿BD折起，使得A到P的位置，且二面角P﹣BD﹣C是直二面角，∴CD⊥平面PBD，∵PB?平面PBD，∴CD⊥PB．（2）取BD中點O，BC中點E，連接OP，OE，由題意得OB，OP，OE兩兩垂直，∴以O(shè)為原點，OB為x軸，OE為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B（，0，0），C（，2，0），D（﹣，0，0），P（0，0，），＝（），＝（﹣，2，﹣），設(shè)平面PBC的法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，1，1），平面BCD的法向量＝（0，0，1），設(shè)二面角P﹣BC﹣D的平面角為θ，則二面角P﹣BC﹣D的余弦值為：cosθ＝＝＝．19．上饒市正在開展2021年“陽光護(hù)苗”文明校園創(chuàng)建行動，分為“清網(wǎng)”護(hù)苗、“培根”護(hù)苗、“關(guān)愛”護(hù)苗、“雨露”護(hù)苗、“法治”護(hù)苗五個專項行動．在“培根”護(hù)苗方面，為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校計劃舉行以“唱支山歌給黨聽”為主題的紅歌合唱比賽活動，現(xiàn)有高一1、2、3、4班準(zhǔn)備從《唱支山歌給黨聽》、《沒有共產(chǎn)黨就沒有新中國》、《映山紅》、《十送紅軍》、《歌唱祖國》5首紅歌中選取一首作為比賽歌曲，設(shè)每班只選擇其中一首紅歌，且選擇任一首紅歌是等可能的．（1）求“恰有2個班級選擇《唱支山歌給黨聽》”的概率；（2）記隨機(jī)變量X表示這4個班級共選擇紅歌的個數(shù)（相同的紅歌記為1個），求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）4個班每個班各選一首紅歌的試驗有54＝625個基本事件，它們是等可能的，記“恰有2個班級選擇《唱支山歌給黨聽》”為事件A，包含＝96個基本事件，從而“恰有2個班級選擇《唱支山歌給黨聽》”概率為P（A）＝；（2）隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，故X的分布列為X1234P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×+2×+3×+4×＝．20．已知橢圓＝1（a＞b＞0）的兩個頂點在直線x+y＝1上，直線l經(jīng)過橢圓的右焦點F，與橢圓交于A、B兩點，點P（1，）（P不在直線l上）．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l與x＝2交于點M．設(shè)PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．試問：是否存在常數(shù)λ使得k1+k2＝λk3？若存在，請求出λ的值；若不存在，請說明理由．解：（1）∵直線x+y＝1與坐標(biāo)軸的交點為，∴，∴橢圓方程為；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB：y＝k（x﹣1），則M（2，k），聯(lián)立直線AB及橢圓方程得，，消去y并整理可得，（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，由韋達(dá)定理有，，∴＝＝＝＝，又，∴，∴存在λ＝2，使得k1+k2＝2k3．21．設(shè)函數(shù)f（x）＝ex+ax﹣b+1（a，b∈R）．（1）若b＝1，f（x）有兩個零點，求a的取值范圍；（2）若f（x）≥0，求b﹣a的最大值．解：（1）b＝1時，f（x）＝ex+ax，f′（x）＝ex+a，①當(dāng)a≥0時，f′（x）＞0，則f（x）在R上單調(diào)遞增，不滿足題意；②當(dāng)a＜0時，令f′（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），則f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上單調(diào)遞減，在（ln（﹣a），+∞）上單調(diào)遞增，要使f（x）有兩個零點，只需f（ln（﹣a））＜0，即﹣a+aln（﹣a）＜0，解得a＜﹣e，即a的取值范圍是（﹣∞，﹣e）．（2）函數(shù)f（x）＝ex+ax﹣b+1，f′（x）＝ex+a，由（1）知，當(dāng)a≥0時，f（x）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x→﹣∞時，f（x）→﹣∞，與f（x）≥0矛盾，所以a＜0，由（1）知，f（x）min＝f（ln（﹣a））＝﹣a+aln（﹣a）﹣b+1≥0，所以b≤﹣a+aln（﹣a）+1，b﹣a≤﹣2a+aln（﹣a）+1，令g（a）＝﹣2a+aln（﹣a）+1，g′（a）＝﹣2+ln（﹣a）+1＝﹣1+ln（﹣a），令g′（a）＞0，可得a＜﹣e，令g′（x）＜0，可得﹣e＜a＜0，所