二元一次方程組競(jìng)賽題集答案+解析匯報(bào)

..二元一次方程組典型例題【例1】方程組的解x，y滿(mǎn)足方程5x-y=3，求k的值.

【思考與分析】此題有三種解法，前兩種為一般解法，后一種為巧解法.

〔１〕由方程組消去k，得x與y的關(guān)系式，再與5x-y=3聯(lián)立組成方程組求出x，y的值，最后將x，y的值代入方程組中任一方程即可求出k的值.

〔２〕把k當(dāng)做數(shù)，解方程組，再根據(jù)5x-y=3建立關(guān)于k的方程，便可求出k的值.

〔３〕將方程組中的兩個(gè)方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整體代入即可求出k的值.

把代入①，得，解得k=-4.

解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，

解法三：①+②，得5x-y=2k+11.

又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.

【小結(jié)】解題時(shí)我們要以一般解法為主，特殊方法雖然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的時(shí)間，可能這道題我們已經(jīng)用一般解法解了一半了，當(dāng)然，巧妙解法很容易想到的話，那就應(yīng)該用巧妙解二元一次方程組能力提升講義知識(shí)提要二元一次方程組的解的情況有以下三種：當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)多解?！病邇蓚€(gè)方程等效〕當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解。〔∵兩個(gè)方程是矛盾的〕當(dāng)〔即a1b2－a2b1≠0〕時(shí)，方程組有唯一的解：〔這個(gè)解可用加減消元法求得〕方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，一般是不定解，即有無(wú)數(shù)多解，假設(shè)要求整數(shù)解，可按二元一次方程整數(shù)解的求法進(jìn)展。求方程組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出方程組的解〔把待定系數(shù)當(dāng)己知數(shù)〕，再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論?！惨?jiàn)例2、3〕例題例1.選擇一組a,c值使方程組1.有無(wú)數(shù)多解，2.無(wú)解，3.有唯一的解【例2】解方程組【思考與分析】本例是一個(gè)含字母系數(shù)的方程組.解含字母系數(shù)的方程組同解含字母系數(shù)的方程一樣，在方程兩邊同時(shí)乘以或除以字母表示的系數(shù)時(shí)，也需要弄清字母的取值是否為零.

解：由①，得y=4－mx，

③

把③代入②，得2x+5〔4－mx〕=8，

解得〔2－5m〕x=-12，當(dāng)2－5m＝0，

即m＝時(shí)，方程無(wú)解，那么原方程組無(wú)解.

當(dāng)2－5m≠0，即m≠時(shí)，方程解為

將代入③，得

故當(dāng)m≠時(shí)，

原方程組的解為例3.a取什么值時(shí)，方程組的解是正數(shù)？例4.m取何整數(shù)值時(shí)，方程組的解x和y都是整數(shù)？二元一次方程組的特殊解法1.二元一次方程組的常規(guī)解法，是代入消元法和加減消元法。這兩種方法都是從"消元〞這個(gè)根本思想出發(fā)，先把"二元〞轉(zhuǎn)化為"一元〞把解二元一次方程組的問(wèn)題歸結(jié)為解一元一次方程，在"消元〞法中，包含了"未知〞轉(zhuǎn)化到"〞的重要數(shù)學(xué)化歸思想。2、靈活消元〔1〕整體代入法1.解方程組〔2〕先消常數(shù)法2.解方程組〔3〕設(shè)參代入法3.解方程組〔4〕換元法4.解方程組〔5〕簡(jiǎn)化系數(shù)法5.解方程組課堂練習(xí)不解方程組，判定以下方程組解的情況：②③a取哪些正整數(shù)值，方程組的解x和y都是正整數(shù)？要使方程組的解都是整數(shù)，k應(yīng)取哪些整數(shù)值？二元一次方程組應(yīng)用探索【知識(shí)】列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為"審、找、列、解、答〞五步，即：〔1〕審：通過(guò)審題，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個(gè)未知數(shù)；〔2〕找：找出能夠表示題意兩個(gè)相等關(guān)系；〔3〕列：根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；〔4〕解：解這個(gè)方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；〔5〕答：在對(duì)求出的方程的解做出是否合理判斷的根底上，寫(xiě)出答案.二元一次方程組是最簡(jiǎn)單的方程組，其應(yīng)用廣泛，尤其是生活、生產(chǎn)實(shí)踐中的許多問(wèn)題，大多需要通過(guò)設(shè)元、布列二元一次方程組來(lái)加以解決，現(xiàn)將常見(jiàn)的幾種題型歸納如下：一、數(shù)字問(wèn)題例1一個(gè)兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個(gè)兩位數(shù)．分析：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)為x，個(gè)位上的數(shù)為y，那么這個(gè)兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關(guān)系可用下表表示：十位上的數(shù)個(gè)位上的數(shù)對(duì)應(yīng)的兩位數(shù)相等關(guān)系原兩位數(shù)xy10x+y10x+y=x+y+9新兩位數(shù)yｘ10y+x10y+x=10x+y+27解方程組，得，因此，所求的兩位數(shù)是14．點(diǎn)評(píng)：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學(xué)習(xí)慣于只設(shè)一元，然后列一元一次方程求解，雖然這種方法十有八九可以奏效，但對(duì)有些問(wèn)題是無(wú)能為力的，象此題，如果直接設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為x，或只設(shè)十位上的數(shù)為x，那將很難或根本就想象不出關(guān)于x的方程．一般地，與數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)的求數(shù)問(wèn)題，一般應(yīng)設(shè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)為"元〞，然后列多元方程組解之．二、利潤(rùn)問(wèn)題例2一件商品如果按定價(jià)打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，問(wèn)此商品的定價(jià)是多少？分析：商品的利潤(rùn)涉及到進(jìn)價(jià)、定價(jià)和賣(mài)出價(jià)，因此，設(shè)此商品的定價(jià)為x元，進(jìn)價(jià)為y元，那么打九折時(shí)的賣(mài)出價(jià)為0.9x元，獲利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折時(shí)的賣(mài)出價(jià)為0.8x元，獲利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解方程組，解得，因此，此商品定價(jià)為200元．點(diǎn)評(píng)：商品銷(xiāo)售盈利百分?jǐn)?shù)是相對(duì)于進(jìn)價(jià)而言的，不要誤為是相對(duì)于定價(jià)或賣(mài)出價(jià)．利潤(rùn)的計(jì)算一般有兩種方法，一是：利潤(rùn)=賣(mài)出價(jià)-進(jìn)價(jià)；二是：利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率〔盈利百分?jǐn)?shù)〕．特別注意"利潤(rùn)〞和"利潤(rùn)率〞是不同的兩個(gè)概念．三、配套問(wèn)題例3某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)螺栓25個(gè)或螺母20個(gè)，如果一個(gè)螺栓與兩個(gè)螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品配成最多套？分析：要使生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來(lái)的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)×2=每天生產(chǎn)的螺母數(shù)×1．因此，設(shè)安排ｘ人生產(chǎn)螺栓，ｙ人生產(chǎn)螺母，那么每天可生產(chǎn)螺栓25ｘ個(gè)，螺母20ｙ個(gè)，依題意，得，解之，得．故應(yīng)安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)螺母．點(diǎn)評(píng)：產(chǎn)品配套是工廠生產(chǎn)中根本原那么之一，如何分配生產(chǎn)力，使生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品恰好配套成為主管生產(chǎn)人員常見(jiàn)的問(wèn)題，解決配套問(wèn)題的關(guān)鍵是利用配套本身所存在的相等關(guān)系，其中兩種最常見(jiàn)的配套問(wèn)題的等量關(guān)系是：〔1〕"二合一〞問(wèn)題：如果ａ件甲產(chǎn)品和ｂ件乙產(chǎn)品配成一套，那么甲產(chǎn)品數(shù)的ｂ倍等于乙產(chǎn)品數(shù)的ａ倍，即；〔2〕"三合一〞問(wèn)題：如果甲產(chǎn)品ａ件，乙產(chǎn)品ｂ件，丙產(chǎn)品ｃ件配成一套，那么各種產(chǎn)品數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的相等關(guān)系式是：．四、行程問(wèn)題例4在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個(gè)加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米．分別在A、C兩個(gè)加油站實(shí)施搶劫的兩個(gè)犯罪團(tuán)伙作案后同時(shí)以一樣的速度駕車(chē)沿高速公路逃離現(xiàn)場(chǎng)，正在B站待命的兩輛巡邏車(chē)接到指揮中心的命令后立即以一樣的速度分別往A、C兩個(gè)加油站駛?cè)?，結(jié)果往B站駛來(lái)的團(tuán)伙在1小時(shí)后就被其中一輛迎面而上的巡邏車(chē)堵截住，而另一團(tuán)伙經(jīng)過(guò)3小時(shí)后才被另一輛巡邏車(chē)追趕上．問(wèn)巡邏車(chē)和犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度各是多少？【研析】設(shè)巡邏車(chē)、犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度分別為x、y千米/時(shí)，那么，整理，得，解得，因此，巡邏車(chē)的速度是80千米/時(shí)，犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度是40千米/時(shí)．點(diǎn)評(píng)："相向而遇〞和"同向追及〞是行程問(wèn)題中最常見(jiàn)的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個(gè)相等關(guān)系，這個(gè)關(guān)系涉及到兩者的速度、原來(lái)的距離以及行走的時(shí)間，具體表現(xiàn)在："相向而遇〞時(shí)，兩者所走的路程之和等于它們?cè)瓉?lái)的距離；"同向追及〞時(shí)，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們?cè)瓉?lái)的距離．五、貨運(yùn)問(wèn)題典例5某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運(yùn)，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝多少?lài)?？分析?充分利用這艘船的載重和容積〞的意思是"貨物的總重量等于船的載重量〞且"貨物的體積等于船的容積〞．設(shè)甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸，那么，整理，得，解得，因此，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝150噸．點(diǎn)評(píng)：由實(shí)際問(wèn)題列出的方程組一般都可以再化簡(jiǎn)，因此，解實(shí)際問(wèn)題的方程組時(shí)要注意先化簡(jiǎn)，再考慮消元和解法，這樣可以減少計(jì)算量，增加準(zhǔn)確度．化簡(jiǎn)時(shí)一般是去分母或兩邊同時(shí)除以各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)或移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等．六、工程問(wèn)題例6某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限完成，按照這個(gè)服裝廠原來(lái)的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進(jìn)度在客戶(hù)要求的期限只能完成訂貨的；現(xiàn)在工廠改良了人員組織構(gòu)造和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時(shí)間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？分析：設(shè)訂做的工作服是x套，要求的期限是y天，依題意，得，解得.點(diǎn)評(píng)：工程問(wèn)題與行程問(wèn)題相類(lèi)似，關(guān)鍵要抓好三個(gè)根本量的關(guān)系，即"工作量=工作時(shí)間×工作效率〞以及它們的變式"工作時(shí)間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時(shí)間〞．其次注意當(dāng)題目與工作量大小、多少無(wú)關(guān)時(shí)，通常用"1〞表示總工作量．【例7】某種商品價(jià)格為每件３３元，某人身邊只帶有２元和５元兩種面值的人民幣各假設(shè)干，買(mǎi)了一件這種商品.假設(shè)無(wú)需找零錢(qián)，那么付款方式有哪幾種〔指付出２元和５元錢(qián)的數(shù)〕？哪種付款方式付出的數(shù)最少？

【思考與分析】此題我們可以運(yùn)用方程思想將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程來(lái)求解.我們先找出問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，再找出最主要的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建等式.然后找出量和未知量設(shè)元，列方程組求解.

最后，比擬各個(gè)解對(duì)應(yīng)的x+y的值，即可知道哪種付款方式付出的數(shù)最少.

解：設(shè)付出２元錢(qián)的數(shù)為x，付出５元錢(qián)的數(shù)為y，那么x，y的取值均為自然數(shù).依題意可得方程：2x+5y=33.

因?yàn)?y個(gè)位上的數(shù)只可能是０或５，

所以2x個(gè)位上數(shù)應(yīng)為３或８.

又因?yàn)椋瞲是偶數(shù)，所以２x個(gè)位上的數(shù)是８，從而此方程的解為：

由得x+y=12；由得x+y=15.所以第一種付款方式付出的數(shù)最少.

答：付款方式有３種，分別是：付出４２元錢(qián)和５５元錢(qián)；付出９２元錢(qián)和３５元錢(qián)；付出１４２元錢(qián)和１５元錢(qián).其中第一種付款方式付出的數(shù)最少.【例8】某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，這棟大樓共有4道門(mén)，其中兩道正門(mén)大小一樣，兩道側(cè)門(mén)大小也一樣.平安檢查中，對(duì)4道門(mén)進(jìn)展了訓(xùn)練：當(dāng)同時(shí)開(kāi)啟一道正門(mén)和兩道側(cè)門(mén)時(shí)，2分鐘可以通過(guò)560名學(xué)生；當(dāng)同時(shí)開(kāi)啟一道正門(mén)和一道側(cè)門(mén)時(shí)，4分鐘可以通過(guò)800名學(xué)生.

〔1〕求平均每分鐘一道正門(mén)和一道側(cè)門(mén)各可以通過(guò)多少名學(xué)生？

〔2〕檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠，出門(mén)的效率將降低20％.平安檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5分鐘通過(guò)這4道門(mén)平安撤離.假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問(wèn)：建造的這4道門(mén)是否符合平安規(guī)定？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【思考與解】〔1〕設(shè)平均每分鐘一道正門(mén)可通過(guò)x名學(xué)生，一道側(cè)門(mén)可以通過(guò)y名學(xué)生.

根據(jù)題意，得

所以平均每分鐘一道正門(mén)可以通過(guò)學(xué)生120人，一道側(cè)門(mén)可以通過(guò)學(xué)生80人.

〔2〕這棟樓最多有學(xué)生4×8×45=1440〔人〕.擁擠時(shí)5分鐘4道門(mén)能通過(guò)

5×2×〔120+80〕×〔1-20%〕=1600〔人〕.

因?yàn)?600>1440，所以建造的4道門(mén)符合平安規(guī)定.

答:平均每分鐘一道正門(mén)和一道側(cè)門(mén)各可以通過(guò)120名學(xué)生、80名學(xué)生；建造的這4道門(mén)符合平安規(guī)定.【例9】某水果批發(fā)市場(chǎng)香蕉的價(jià)格如下表：

強(qiáng)兩次共購(gòu)置香蕉50千克〔第二次多于第一次〕，共付款264元，請(qǐng)問(wèn)強(qiáng)第一次、第二次分別購(gòu)置香蕉多少千克？

【思考與分析】要想知道強(qiáng)第一次、第二次分別購(gòu)置香蕉多少千克，我們可以從香蕉的價(jià)格和強(qiáng)買(mǎi)的香蕉的千克數(shù)以及付的錢(qián)數(shù)來(lái)入手.通過(guò)觀察圖表我們可知香蕉的價(jià)格分三段，分別是6元、5元、4元.相對(duì)應(yīng)的香蕉的千克數(shù)也分為三段，我們可以假設(shè)強(qiáng)兩次買(mǎi)的香蕉的千克數(shù)分別在某段圍，利用分類(lèi)討論的方法求得強(qiáng)第一次、第二次分別購(gòu)置香蕉的千克數(shù).

解：設(shè)強(qiáng)第一次購(gòu)置香蕉x千克，第二次購(gòu)置香蕉y千克．由題意，得0<x<25．

①當(dāng)0<x≤20，y≤40時(shí)，由題意，得②當(dāng)0<x≤20，y>40時(shí)，由題意，得〔與0<x≤20，y≤40相矛盾，不合題意，舍去〕．

③當(dāng)20<x<25時(shí)，25<y<30．此時(shí)強(qiáng)用去的款項(xiàng)為5x+5y=5〔x+y〕=5×50=250<264〔不合題意，舍去〕.

綜合①②③可知，強(qiáng)第一次購(gòu)置香蕉14千克，第二次購(gòu)置香蕉36千克.

答：強(qiáng)第一次、第二次分別購(gòu)置香蕉14千克、36千克.

【反思】我們?cè)谧鲞@道題的時(shí)候，一定要考慮周全，不能說(shuō)想出了一種情況就認(rèn)為萬(wàn)事大吉了，要進(jìn)展分類(lèi)討論，考慮所有的可能性，看有幾種情況符合題意.【例10】用如圖１中的長(zhǎng)方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖２的豎式和橫式兩種無(wú)蓋紙盒.現(xiàn)在倉(cāng)庫(kù)里有１０００正方形紙板和２000長(zhǎng)方形紙板，問(wèn)兩種紙盒各做多少個(gè)，恰好將庫(kù)存的紙板用完？

【思考與分析】我們已經(jīng)知道量有正方形紙板的總數(shù)1000，長(zhǎng)方形紙板的總數(shù)2０００，未知量是豎式紙盒的個(gè)數(shù)和橫式紙盒的個(gè)數(shù).而且每個(gè)豎式紙盒和橫式紙盒都要用一定數(shù)量的正方形紙板和長(zhǎng)方形紙板做成，如果我們知道這兩種紙盒分別要用多少正方形紙板和長(zhǎng)方形紙板，就能建立起如下的等量關(guān)系：

每個(gè)豎式紙盒要用的正方形紙板數(shù)×豎式紙盒個(gè)數(shù)+每個(gè)橫式紙盒要用的正方形紙板數(shù)×橫式紙盒個(gè)數(shù)=正方形紙板的總數(shù)

每個(gè)豎式紙盒要用的長(zhǎng)方形紙板數(shù)×豎式紙盒個(gè)數(shù)+每個(gè)橫式