吉林省長春市丁家中學高三數(shù)學文知識點試題含解析

吉林省長春市丁家中學高三數(shù)學文知識點試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設集合P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，則集合P的非空子集個數(shù)是(

) A．2 B．3 C．7 D．8參考答案：B考點：定積分的簡單應用；子集與真子集．專題：計算題．分析：先根據(jù)定積分求出集合P，根據(jù)集合子集的公式2n（其中n為集合的元素），求出集合A的子集個數(shù)，然后除去空集即可得到集合A的非空真子集的個數(shù)．解答： 解：∵P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，∴P={2，3}因為集合A中有2個元素，所以集合A子集有22=4個，則集合A的非空子集的個數(shù)是4﹣1=3．故選B．點評：此題考查學生掌握子集與真子集的定義，會利用2n﹣1求集合的非空子集，是一道基礎題．2.已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為A． B． C．3 D．2參考答案：A設橢圓離心率，雙曲線離心率，由焦點三角形面積公式得，即，即，設，由柯西不等式得最大值為.3.在平面上有一系列的點，，…，，…，對于所有正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖像上，以點為圓心的⊙與軸相切，且⊙與⊙又彼此外切，若，且．則【

】A．0

B．0.2

C．0.5

D．1參考答案：C略4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個四面體的三視圖，則該四面體的表面積為（A）

（B）（C）

（D）參考答案：A該幾何體為如圖中的三棱錐C－A1C1E，EC＝EA1＝，A1C＝＝4，三角形EA1C的底邊A1C上的高為：2，表面積為：S＝24＋24＋44＋24＝5.等差數(shù)列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得an＞0的最小正整數(shù)n為()A．7 B．8C．9 D．10參考答案：B略6.下列說法中正確命題的個數(shù)是

（

）①命題p:“”的否定形式為：“”；②若，則是的充要條件；③的展開式中第3項的二項式系數(shù)為；④設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點的概率是，則μ=2。A．1

B．2

C．3

D．4

參考答案：B7.若（i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)a=（

）

A．

B．-1

C．0

D．1參考答案：A略8.某幾何體的直觀圖如圖所示，AB是⊙O的直徑，BC垂直⊙O所在的平面，且，Q為⊙O上從A出發(fā)繞圓心逆時針方向運動的一動點.若設弧的長為x，CQ的長度為關于x的函數(shù)f(x)，則的圖像大致為（

）

A．

B．

C.

D．參考答案：A如圖所示，設，則弧長，線段，作于當在半圓弧上運動時，，，即，由余弦函數(shù)的性質(zhì)知當時，即運動到點時有最小值，只有選項適合，又由對稱性知選，故選A.

9.已知直線：，：，過（，2）的直線與、分別交于、，若是線段的中點，則等于（

）A．12 B．

C． D．參考答案：B略10.設函數(shù)，則使得成立的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：4≤a＜8【考點】分段函數(shù)的應用．【專題】計算題．【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結合指數(shù)函數(shù)，一次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由題意，，解得4≤a＜8故答案為：4≤a＜8【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關鍵是掌握函數(shù)單調(diào)性的定義，屬于中檔題．12.若函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個近似根（精確到0.1）為

參考答案：1.4略13.已知約束條件若目標函數(shù)恰好在點處取到最大值，則的取值范圍為

▲

．參考答案：【知識點】簡單的線性規(guī)劃問題E5【答案解析】(，+∞)

作出不等式對應的平面區(qū)域，

當a=0時，z=x，即x=z，此時不成立．由z=x+ay得y=-x+

要使目標函數(shù)z=x+ay（a≥0）僅在點（2，2）處取得最大值，則陰影部分區(qū)域在直線y=-x+的下方，即目標函數(shù)的斜率k=-，滿足k＞kAC，即-＞-3，

∵a＞0，∴a＞，即a的取值范圍為(，+∞)，故答案為：(，+∞)．【思路點撥】作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，確定目標取最優(yōu)解的條件，即可求出a的取值范圍．14.把邊長為1的正方形如圖放置，、別在軸、軸的非負半軸上滑動．（1）當點與原點重合時，=___________；（2）的最大值是_________．參考答案：略15.等差數(shù)列{an}中，a1=2，公差不為零，且a1，a3，a11恰好是某等比數(shù)列的前三項，那么該等比數(shù)列公比的值等于

.參考答案：答案：416.某幾何體是直三棱柱與圓錐的組合體，其直觀圖和三視圖如圖所示，正視圖為正方形，其中俯視圖中橢圓的離心率為

．參考答案：考點：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：根據(jù)三視圖的性質(zhì)得到俯視圖中橢圓的短軸長和長周長，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)a2﹣b2=c2，和離心率公式，計算即可．解答： 解：設正視圖正方形的邊長為m，根據(jù)正視圖與俯視圖的長相等，得到俯視圖中橢圓的短軸長2b=m，俯視圖的寬就是圓錐底面圓的直徑m，得到俯視圖中橢圓的長軸長2a=m，則橢圓的焦距=m，根據(jù)離心率公式得，e==故答案為：．點評：本題主要考查了橢圓的離心率公式，以及三視圖的問題，屬于基礎題．17.對于大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進行以下方式的“分裂”：23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19，……，仿此，若的“分裂數(shù)”中有一個是59，則m的值為

．參考答案：8略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}滿足,，數(shù)列{bn}滿足.（Ⅰ）求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項和Sn.參考答案：（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用等比數(shù)列的定義結合得出數(shù)列是等比數(shù)列（Ⅱ）數(shù)列是“等比-等差”的類型，利用分組求和即可得出前項和.【詳解】解：（Ⅰ）當時，，故.當時，，則，，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，.【點睛】（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列可利用定義法得出（Ⅱ）采用分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列。19.設函數(shù)⑴若時，解不等式；⑵如果對于任意的，，求的取值范圍。

參考答案：解：⑴因為函數(shù)，所以時不等式即，由絕對值的幾何意義易知解為。⑵因為對任意的都有，即需對任意的都有也就是需要與之間距離，所以即可所以的取值范圍是。

略20.（12分）設函數(shù)f（x）=x2﹣bx+alnx．（Ⅰ）若曲線f（x）在點（1，）處的切線平行于x軸，求f（x）；（Ⅱ）f（x）存在極大值點x0，且a＜e2（其中e=2.71828…），求證：f（x0）＜0．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（I）令f（1）=，f′（1）=0即可解出a，b，得出f（x）的解析式；（II）根據(jù)f（x）有極大值點可得f（x）也有極小值點，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組得出a，b的范圍和關系，求出x0的范圍，化簡得f（x0）=﹣x02+alnx0﹣a，求出右側函數(shù)在x0的范圍內(nèi)恒小于0即可．【解答】解：（I）f′（x）=x﹣b+，∵曲線f（x）在點（1，）處的切線平行于x軸，∴，即，解得a=﹣2，b=﹣1．∴f（x）=x2+x﹣2lnx．（II）f（x）的定義域為（0，+∞）．令f′（x）=x﹣b+=0得x2﹣bx+a=0，∵f（x）存在極大值點x0，且x→+∞時，f′（x）→+∞，∴f（x）存在極小值點x1，∴x2﹣bx+a=0有兩個正實數(shù)根x0，x1，∴，∴a＞0，b＞0，b＞2．∵x0是f（x）的極大值點，∴f′（x0）=x0﹣b+=0，即x02﹣bx0+a=0，∴bx0=x02+a．∵x0==，b，∴0＜x0＜，∴f（x0）=x02﹣bx0+alnx0=x02﹣（x02+a）+alnx0=﹣x02+alnx0﹣a，∴f′（x0）=﹣x0+=＞0，∴f（x0）在（0，）上單調(diào)遞增，∴f（x0）＜f（）=﹣a+aln﹣a=﹣+lna=（lna﹣3）＜0．【點評】本題考查了導數(shù)的幾何意義，導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值的關系，利用函數(shù)極值和導數(shù)之間的關系轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的與判別式△之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．21.已知函數(shù)，（，）．（1）當時，求函數(shù)的極小值點；（2）當時，若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：（1）當時，，則．當時，，所以在上單調(diào)遞增，故無極值點；當時，由，得，當時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，，所以在上單調(diào)遞增．所以的極小值點為．（2）當時，可化為，即，令，則．當時，對于一切，有，，所以恒成立．下面考慮時的情況．當時，對于一切，有，，所以恒成立，所以在上是增函數(shù)，所以，符合題意；當時，，，由零點存在性定理可知，一定存在，使得，且當時，，所以在上單調(diào)遞減，從而有：時，，不符合題意．綜上可知，的取值范圍是．22.某校高二年級共有學生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該年級抽取100名學生進行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷取得了這100名學生每天晚上有效學習時間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），…得到頻率分布直方圖（部分）如圖．（Ⅰ）如果把“學生晚上有效時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的100名學生，完成下列2×2列聯(lián)表；并判斷是否有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關？

利用時間充分利用時間不充分總計走讀生50

住宿生10

總計60

100K2=參考列表：

P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.025

k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024（Ⅱ）若在第①組、第②組、第③組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學習時間少于60分鐘”的學生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；獨立性檢驗的應用；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）把“學生晚上有效時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的100名學生，完成下列2×2列聯(lián)表，求出K2，由K2＞3.841，得到有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關．（2）設第i組的頻率為Pi（i=1，2，…，8），推導出第①組1人，第②組4人，第③組10人，從而X的所有可能取值為0，1，2，3，，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．【解答】解：（1）把“學生晚上有效時間達