第二章 矩陣·矩陣的初等變換與矩陣的秩-1

第二章矩陣第一節(jié)矩陣及其運(yùn)算第二節(jié)逆矩陣第三節(jié)矩陣的初等變換與矩陣的秩第四節(jié)矩陣的分塊第三節(jié)一、矩陣的初等變換二、等價(jià)矩陣矩陣的初等變換與矩陣的秩第二章三、初等矩陣四、矩陣的秩一、矩陣的初等變換定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．逆變換定義2若矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成B,則稱A與B行等價(jià),記為;若矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成B

,則稱A與B列等價(jià),記為;若矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成B,則稱A與B等價(jià),記為.例如二、等價(jià)矩陣

等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)

矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形定義3若矩陣的任一行從第一個(gè)元素起至該行的第一個(gè)非零元素所在的下方全為零，則稱該矩陣為行階梯形矩陣.特點(diǎn)（1）可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階只有一行，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，第一個(gè)非零元．例如是行階梯形矩陣.不是行階梯形矩陣.定義4一般地，稱同時(shí)滿足下列條件的行階梯形矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣.（1）各非零行的第一個(gè)非零元素都是1；（2）該非零元所在列的其余元素全都是零。例如是行最簡(jiǎn)形矩陣.不是行最簡(jiǎn)形矩陣.行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形．定理1定義5左上角是單位陣，其余元素全為零的行最簡(jiǎn)形陣稱為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.例如例如解用初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣及行最簡(jiǎn)形矩陣.[例1]為A的行階梯形矩陣.A2為A的行最簡(jiǎn)形矩陣.注意到定理2推論如果A為n階可逆矩陣，則矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換可化為單位矩陣E，即A~E.所有與矩陣A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，等價(jià)類，稱為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形F是這個(gè)等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣.解矩陣然后再將其化為單位陣.先用初等行變換把化為行階梯形，[例2]行階梯形行最簡(jiǎn)形是否可逆，如果可逆說明將矩陣初等變換至單位陣即證明了該矩陣可逆.解先用初等行變換把矩陣然后再用初等列變換將其化為等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.化為行最簡(jiǎn)形，[例3]行最簡(jiǎn)形等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.定義5三、初等矩陣初等矩陣.

初等變換與初等矩陣的關(guān)系設(shè)矩陣A3×4為更一般的，設(shè)A是一個(gè)m

n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換，初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣

初等矩陣的性質(zhì)相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，定理3相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.[例3]已知矩陣A利用初等變換矩陣求矩陣A.解故由于所以設(shè)A為可逆方陣，