數(shù)學(xué)蘇教版必修4導(dǎo)學(xué)案1.3.2第2課時(shí)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1.3.2三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)第2課時(shí)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1．能畫出正切函數(shù)的圖象．2．理解正切函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性質(zhì)．3．會(huì)利用正切函數(shù)的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.重點(diǎn)：正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)．難點(diǎn)：理解正切函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)正切函數(shù)的圖象叫做正切曲線．正切函數(shù)的性質(zhì)如下表：定義域值域R周期性周期函數(shù)，T＝π奇偶性奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱單調(diào)性在(k∈Z)上是增函數(shù)對(duì)稱性中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為(k∈Z)預(yù)習(xí)交流1正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？提示：不是．正切曲線由被互相平行的直線x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)所隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線組成，且不連續(xù)．例如取x1＝eq\f(π,4)，x2＝eq\f(2π,3)，顯然x1＜x2，但y1＝taneq\f(π,4)＝1，y2＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3)，∴y1＞y2，不符合增函數(shù)定義．預(yù)習(xí)交流2如何作出正切函數(shù)的圖象？提示：(1)幾何法利用單位圓中的正切線來(lái)作出正切函數(shù)的圖象，該方法作圖較為精確，但畫圖時(shí)較繁瑣．(2)三點(diǎn)兩線法“三點(diǎn)”是指eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－1))，(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1))；“兩線”是指x＝－eq\f(π,2)和x＝eq\f(π,2).在三點(diǎn)、兩線確定的情況下，類似于五點(diǎn)法作圖，可大致畫出正切函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的簡(jiǎn)圖，然后向右、向左擴(kuò)展即可得到正切曲線．一、正切函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題求函數(shù)y＝eq\r(tanx＋1)＋lg(1－tanx)的定義域．思路分析：先列出使每個(gè)式子有意義的不等式組，然后解不等式組．解：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx＋1≥0，,1－tanx>0，))即－1≤tanx＜1.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)，滿足上述不等式的x的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))).又因?yàn)閥＝tanx的周期為π，所以所求x的范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)．故函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)．求函數(shù)y＝eq\f(1,lgtanx)的定義域．解：要使y＝eq\f(1,lgtanx)有意義，必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，,tanx>0，,tanx≠1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，,kπ<x<kπ＋\f(π,2)k∈Z，,x≠kπ＋\f(π,4)k∈Z.))∴函數(shù)y＝eq\f(1,lgtanx)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)．求正切函數(shù)的定義域、值域的方法及注意點(diǎn)：(1)求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)y＝tanx有意義，即x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，而對(duì)于構(gòu)建的三角函數(shù)不等式，常利用三角函數(shù)的圖象求解．(2)求解與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí)，要注意函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)求值域；對(duì)于求由正切函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域時(shí)，常利用換元法，但要注意新“元”的范圍．二、與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題求函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的單調(diào)減區(qū)間．思路分析：將函數(shù)化為y＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))，再利用整體代換求解．解：∵y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))，∴只需求函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))的單調(diào)增區(qū)間，即為原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．令μ＝eq\f(x,4)－eq\f(π,6)，則μ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)，即－eq\f(π,2)＋kπ＜μ＜eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．∴－eq\f(π,2)＋kπ＜eq\f(x,4)－eq\f(π,6)＜eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．解得4kπ－eq\f(4π,3)＜x＜4kπ＋eq\f(8π,3)(k∈Z)．∴函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)．1．比較大?。簍an1__________tan4.答案：＞解析：∵tan4＝tan[π＋(4－π)]＝tan(4－π)，－eq\f(π,2)＜4－π＜1＜eq\f(π,2)且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函數(shù)，∴tan(4－π)＜tan1，即tan1＞tan4.2．求函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的單調(diào)區(qū)間．解：y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4))).由kπ－eq\f(π,2)＜eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq\f(π,2)＜x＜2kπ＋eq\f(3π,2)，(k∈Z)．∴函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的單調(diào)減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)．(1)正切函數(shù)在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，不存在減區(qū)間．因此在求單調(diào)區(qū)間時(shí)，若ω＜0，應(yīng)先由誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)化成正值，再用換元法整體代換，最后求出x的范圍即可．(2)比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小的一般思路是先判斷函數(shù)值的正負(fù)，若同號(hào)則利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的同名函數(shù)值，再通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．三、正切函數(shù)的圖象問(wèn)題觀察正切函數(shù)圖象，寫出下列不等式的解集：(1)tanx＞0；(2)|tanx|≤1.思路分析：畫出正切函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)的圖象，結(jié)合圖象求解集．解：(1)設(shè)y＝tanx，則它在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)的圖象如圖所示．由圖可知滿足不等式tanx＞0的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ<x<kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).(2)設(shè)y＝|tanx|，則它在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)的圖象如圖所示．由圖可知滿足不等式|tanx|≤1的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)≤x≤kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))).1．如圖所示，函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))在一個(gè)周期內(nèi)的圖象是__________(填序號(hào))．答案：①解析：設(shè)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))＝0，則有eq\f(1,2)x－eq\f(π,3)＝kπ，x＝2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，再令k＝0，得x＝eq\f(2π,3).可知函數(shù)的圖象與x軸一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(2π,3)，故可排除③，④.當(dāng)x＝eq\f(π,6)時(shí)，有eq\f(1,2)×eq\f(π,6)－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)，故x＝eq\f(π,6)不可能是正切曲線的漸近線，可排除②.故填①.2．若y＝tan(2x＋θ)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，且－eq\f(π,2)＜θ＜eq\f(π,2)，求θ的值．解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝tanx的圖象的對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，其中k∈Z，所以2x＋θ＝eq\f(kπ,2)，其中x＝eq\f(π,3)，即θ＝eq\f(kπ,2)－eq\f(2π,3)，k∈Z.因?yàn)椋璭q\f(π,2)＜θ＜eq\f(π,2)，所以當(dāng)k＝1時(shí)，θ＝－eq\f(π,6)；當(dāng)k＝2時(shí)，θ＝eq\f(π,3)，即θ＝－eq\f(π,6)或eq\f(π,3).解決與正切函數(shù)的圖象有關(guān)的問(wèn)題，關(guān)鍵是正確畫出正切函數(shù)的圖象，然后根據(jù)正切函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行求解，求解過(guò)程中注意整體思想的應(yīng)用．1．函數(shù)y＝tan2x的最小正周期是__________．答案：eq\f(π,2)解析：T＝eq\f(π,ω)＝eq\f(π,2).2．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的定義域是__________．答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))解析：由x＋eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得x≠kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．3．函數(shù)y＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)≤x≤\f(π,4)且x≠0))的值域是______．答案：[－1,0)∪(0,1]解析：由正切函數(shù)的單調(diào)性可解得．4．若tanx≥1，則x的范圍是__________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)