2016年上海市浦東新區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2016年上海市浦東新區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：（本大題共6小題，每題4分，滿分24分）1．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如果兩個相似三角形對應(yīng)邊之比是1：4，那么它們的對應(yīng)中線之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：162．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，則sinA的值為（）A． B． C． D．3．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，點D、E分別在AB、AC上，以下能推得DE∥BC的條件是（）A．AD：AB=DE：BC B．AD：DB=DE：BC C．AD：DB=AE：EC D．AE：AC=AD：DB4．（4分）（2004?濰坊）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則a、b、c滿足（）A．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0 B．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0 C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0 D．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞05．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AC2=AD?AB B．CD2=CA?CB C．CD2=AD?DB D．BC2=BD?BA6．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）下列命題是真命題的是（）A．有一個角相等的兩個等腰三角形相似B．兩邊對應(yīng)成比例且有一個角相等的兩個三角形相似C．四個內(nèi)角都對應(yīng)相等的兩個四邊形相似D．斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似二、填空題（本大題共12小題，每題4分，滿分48分）7.已知，那么.7．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）已知，那么=．8．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）計算：2﹣3（+）=．9．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）上海與杭州的實際距離約200千米，在比例尺為1：5000000的地圖上，上海與杭州的圖上距離約厘米．10．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）某滑雪運動員沿著坡比為1：的斜坡向下滑行了100米，則運動員下降的垂直高度為米．11．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）將拋物線y=（x+1）2向下平移2個單位，得到新拋物線的函數(shù)解析式是．12．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=2，若此拋物線與x軸的一個交點為（6，0），則拋物線與x軸的另一個交點坐標是．13．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）已知AD是△ABC的中線，點G是△ABC的重心，=，那么用向量表示向量為

．14．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AC=6，BC=9，D是△ABC的邊BC上的點，且∠CAD=∠B，那么CD的長是．15．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，直線AA1∥BB1∥CC1，如果，AA1=2，CC1=6，那么線段BB1的長是．16．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖是小明在建筑物AB上用激光儀測量另一建筑物CD高度的示意圖，在地面點P處水平放置一平面鏡，一束激光從點A射出經(jīng)平面鏡上的點P反射后剛好射到建筑物CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一條直線上，那么建筑物CD的高度是米．17．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）若拋物線y=ax2+c與x軸交于點A（m，0），B（n，0），與y軸交于點C（0，c），則稱△ABC為“拋物三角形”．特別地，當(dāng)mnc＜0時，稱△ABC為“倒拋物三角形”時，a、c應(yīng)分別滿足條件．18．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，D是邊AB上的一點，E是邊AC上的一點（D，E均與端點不重合），如果△CDE與△ABC相似，那么CE=．三、解答題（本大題共7小題，滿分78分）19．（10分）（2016?浦東新區(qū)一模）計算：sin45°+6tan30°﹣2cos30°．20．（10分）（2016?浦東新區(qū)一模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的變量x與變量y的部分對應(yīng)值如下表：x…﹣3﹣2﹣1015…y…70﹣5﹣8﹣97…（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）寫出拋物線頂點坐標和對稱軸．21．（10分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點E是邊AD的中點，連結(jié)BE并延長交CD的延長線于點F，交AC于點G．（1）若FD=2，，求線段DC的長；（2）求證：EF?GB=BF?GE．22．（10分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，l為一條東西方向的筆直公路，一輛小汽車XRS在這段限速為80千米/小時的公路上由西向東勻速行駛，依次經(jīng)過點A、B、C，P是一個觀測點，PC⊥l，PC=60米，tan∠APC=，∠BPC=45°，測得該車從點A行駛到點B所用時間為1秒．（1）求A、B兩點間的距離；（2）試說明該車是否超過限速．23．（12分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，DE⊥BC交AB于點E，AD=AC，EC交AD于點F．（1）求證：△ABC∽△FCD；（2）求證：FC=3EF．24．（12分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a＞0）與x軸交于A（﹣3，0）、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，﹣3），拋物線的頂點為M．（1）求a、c的值；（2）求tan∠MAC的值；（3）若點P是線段AC上一個動點，聯(lián)結(jié)OP．問：是否存在點P，使得以點O、C、P為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．25．（14分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E為AD邊上的一個動點（與點A、D不重合），∠EBM=45°，BE交對角線AC于點F，BM交對角線AC于點G，交CD于點M．（1）如圖1，聯(lián)結(jié)BD，求證：△DEB∽△CGB，并寫出DE：CG的值；（2）聯(lián)結(jié)EG，如圖2，若設(shè)AE=x，EG=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)M為邊DC的三等分點時，求S△EGF的面積．

2016年上海市浦東新區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6小題，每題4分，滿分24分）1．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如果兩個相似三角形對應(yīng)邊之比是1：4，那么它們的對應(yīng)中線之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【考點】相似三角形的性質(zhì)．【分析】利用相似三角形的相似比，對應(yīng)高、中線、角平分線的比，都等于相似比來解答．【解答】解：∵兩個相似三角形對應(yīng)邊之比是1：4，又∵相似三角形的對應(yīng)高、中線、角平分線的比等于相似比，∴它們的對應(yīng)中線之比為1：4．故選B．【點評】本題考查相似三角形的相似比問題，須熟練掌握：①相似三角形的對應(yīng)高、角平分線、中線的比等于相似比；②相似三角形的周長比等于相似比；③相似三角形的面積比等于相似比的平方．2．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，則sinA的值為（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)正弦的定義解得即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4，∴sinA==，故選：C．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．3．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，點D、E分別在AB、AC上，以下能推得DE∥BC的條件是（）A．AD：AB=DE：BC B．AD：DB=DE：BC C．AD：DB=AE：EC D．AE：AC=AD：DB【考點】平行線分線段成比例．【分析】根據(jù)平行線的判定定理進行判斷即可．【解答】解：∵AD：DB=AE：EC，∴DE∥BC，故選：C．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，正確根據(jù)平行線的判定定理證明平行線是解題的關(guān)鍵．4．（4分）（2004?濰坊）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則a、b、c滿足（）A．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0 B．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0 C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0 D．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】由于開口向下可以判斷a＜0，由與y軸交于正半軸得到c＞0，又由于對稱軸x=﹣＜0，可以得到b＜0，所以可以找到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，∵開口向下，∴a＜0，∵與y軸交于正半軸，∴c＞0，又∵對稱軸x=﹣＜0，∴b＜0，所以A正確．故選A．【點評】考查二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號的確定．5．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AC2=AD?AB B．CD2=CA?CB C．CD2=AD?DB D．BC2=BD?BA【考點】射影定理．【分析】直接根據(jù)射影定理對各選項進行判斷．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，∴AC2=AD?AB，CD2=DA?DB，BC2=BD?BA．故選B．【點評】本題考查了射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．6．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）下列命題是真命題的是（）A．有一個角相等的兩個等腰三角形相似B．兩邊對應(yīng)成比例且有一個角相等的兩個三角形相似C．四個內(nèi)角都對應(yīng)相等的兩個四邊形相似D．斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似【考點】命題與定理．【分析】根據(jù)相等的角可能為頂角或底角可對A進行判斷；根據(jù)相似三角形的判定方法對B、D進行判斷；利用矩形和正方形不相似可對C進行判斷．【解答】解：A、有一個頂角（或底角）相等的兩個等腰三角形相似，所以A選項錯誤；B、兩邊對應(yīng)成比例且它們的夾角相等的兩個三角形相似，所以B選項錯誤；C、四個內(nèi)角都對應(yīng)相等的兩個四邊形不一定相似，所以C選項錯誤；D、斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似，所以D選項正確．故選D．【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．二、填空題（本大題共12小題，每題4分，滿分48分）7.已知，那么.7．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）已知，那么=．【考點】比例的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)及合比定理解答．【解答】解：∵的兩個內(nèi)項是y、1，兩個外項是x、3，∴，根據(jù)合比定理，知==4；又∵上式的兩個內(nèi)項是x和4，兩個外項是x+y和1，∴．故答案為：．【點評】本題主要考查了比例的性質(zhì)：在比例式中，兩個內(nèi)項之積等于兩個外項之積．8．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）計算：2﹣3（+）=﹣3．【考點】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加減運算法則求解即可求得答案．【解答】解：2﹣3（+）=2﹣﹣3=﹣3．故答案為：﹣3．【點評】此題考查了平面向量的知識．注意去括號時符號的變化．9．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）上海與杭州的實際距離約200千米，在比例尺為1：5000000的地圖上，上海與杭州的圖上距離約4厘米．【考點】比例線段．【分析】設(shè)上海與杭州的圖上距離為x厘米，根據(jù)比例尺的意義列出方程x：20000000=1：5000000，解方程即可．【解答】解：設(shè)上海與杭州的圖上距離為x厘米．200千米=20000000厘米，x：20000000=1：5000000，解得x=4．故答案為4．【點評】本題考查了比例線段，掌握比例尺的定義是解題的關(guān)鍵．注意單位要統(tǒng)一．10．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）某滑雪運動員沿著坡比為1：的斜坡向下滑行了100米，則運動員下降的垂直高度為50米．【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【分析】設(shè)出垂直高度，表示出水平距離，利用勾股定理求解即可．【解答】解：設(shè)垂直高度下降了x米，則水平前進了x米．根據(jù)勾股定理可得：x2+（x）2=1002．解得：x=50，即它距離地面的垂直高度下降了50米．故答案為：50．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是用同一未知數(shù)表示出下降高度和水平前進距離．11．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）將拋物線y=（x+1）2向下平移2個單位，得到新拋物線的函數(shù)解析式是y=（x+1）2﹣2．【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】幾何變換．【分析】先由二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=（x+1）2的頂點坐標為（﹣1，0），再根據(jù)點平移的規(guī)律，點（﹣1，0）平移后所得對應(yīng)點的坐標為（﹣1，﹣2），然后根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物線的解析式．【解答】解：拋物線y=（x+1）2的頂點坐標為（﹣1，0），把（﹣1，0）向下平移2個單位所得對應(yīng)點的坐標為（﹣1，﹣2），所以平移后的拋物線的解析式是y=（x+1）2﹣2．故答案為y=（x+1）2﹣2．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．12．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=2，若此拋物線與x軸的一個交點為（6，0），則拋物線與x軸的另一個交點坐標是（﹣2，0）．【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】求出點（6，0）關(guān)于x=2的對稱點即可．【解答】解：（6，0）關(guān)于x=2的對稱點是（﹣2，0）．故答案是（﹣2，0）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，理解二次函數(shù)與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱是關(guān)鍵．13．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）已知AD是△ABC的中線，點G是△ABC的重心，=，那么用向量表示向量為

﹣．【考點】*平面向量；三角形的重心．【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍，直接求得向量的值．【解答】解：∵三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍∴=﹣．∴用向量表示向量為﹣．【點評】考查了三角形的重心的性質(zhì)．注意要求的向量和已知的向量方向相反．14．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AC=6，BC=9，D是△ABC的邊BC上的點，且∠CAD=∠B，那么CD的長是4．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由∠C=∠C，∠CAD=∠B，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，可得△ACD∽△BCA，又由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易求得CD的長．【解答】解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠B，∴△ACD∽△BCA，∴=，即=，∴CD的長是4．故答案為：4．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．注意有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，相似三角形的對應(yīng)邊成比例．15．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，直線AA1∥BB1∥CC1，如果，AA1=2，CC1=6，那么線段BB1的長是3．【考點】平行線分線段成比例．【分析】過A1作AE∥AC，交BB1于D，交CC1于E，得出四邊形ABDA1和四邊形BCED是平行四邊形，求出AA1=BD=CE=2，EC1=6﹣2=4，==，根據(jù)BB1∥CC1得出=，代入求出DB1=1即可．【解答】解：如圖：過A1作AE∥AC，交BB1于D，交CC1于E，∵直線AA1∥BB1∥CC1，∴四邊形ABDA1和四邊形BCED是平行四邊形，∴AA1=2，CC1=6，∴AA1=BD=CE=2，EC1=6﹣2=4，==，∴∵BB1∥CC1，∴=，∴=，∴DB1=1，∴BB1=2+1=3，故答案為：3．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵．16．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖是小明在建筑物AB上用激光儀測量另一建筑物CD高度的示意圖，在地面點P處水平放置一平面鏡，一束激光從點A射出經(jīng)平面鏡上的點P反射后剛好射到建筑物CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一條直線上，那么建筑物CD的高度是24米．【考點】相似三角形的應(yīng)用．【分析】由已知得△ABP∽△CDP，則根據(jù)相似形的性質(zhì)可得=，解答即可．【解答】解：由題意知：光線AP與光線PC，∠APB=∠CPD，則Rt△ABP∽Rt△CDP，故=，解得：CD==24（米）．故答案為：24．【點評】本題考查了平面鏡反射和相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得出△ABP∽△CDP是解題關(guān)鍵．17．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）若拋物線y=ax2+c與x軸交于點A（m，0），B（n，0），與y軸交于點C（0，c），則稱△ABC為“拋物三角形”．特別地，當(dāng)mnc＜0時，稱△ABC為“倒拋物三角形”時，a、c應(yīng)分別滿足條件a＜0，c＞0．【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】新定義．【分析】根據(jù)m、n關(guān)于y軸對稱，則mn＜0，則c的符號即可確定，然后根據(jù)拋物線與x軸有交點，則可以確定開口方向，從而確定a的符號．【解答】解：∵拋物線y=ax2+c的對稱軸是y軸，∴A（m，0）、B（n，0）關(guān)于y軸對稱，∴mn＜0，又∵mnc＜0，∴c＞0，即拋物線與y軸的正半軸相交，又∵拋物線y=ax2+c與x軸交于點A（m，0）、B（n，0），∴函數(shù)開口向下，∴a＜0．故答案是：a＜0，c＞0．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確確定二次函數(shù)的開口方向是本題的關(guān)鍵．18．（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，D是邊AB上的一點，E是邊AC上的一點（D，E均與端點不重合），如果△CDE與△ABC相似，那么CE=2，，．【考點】相似三角形的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，再分類討論：當(dāng)△ABC∽△CDE，如圖1，則∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，所以CE=AE，根據(jù)等腰三角形得CE=AC=2；當(dāng)△ABC∽△DCE，如圖2，則∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠B，接著證明CD⊥AB，利用面積法可計算出CD=，利用相似比可計算出CE=；當(dāng)△ABC∽△CED，如圖3，∠CDE=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，證明CD為斜邊上的中線，則CD=DA=DB=AB=，然后利用相似比可計算出CE=，綜上所述，CE的長為2，，．【解答】解：∵AB=5，AC=4，BC=3，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，當(dāng)△ABC∽△CDE，如圖1，則∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，∴△ADC為等腰三角形，∴CE=AE，∴CE=AC=2；當(dāng)△ABC∽△DCE，如圖2，則∠CED=∠ACB=90°，∠DCE=∠B，而∠BCD+∠DCE=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴CD⊥AB，∴CD==，∵△ABC∽△DCE，∴AB：CD=BC：CE，即5：=3：CE，∴CE=；當(dāng)△ABC∽△CED，如圖3，∠CDE=∠ACB=90°，∠DCE=∠A，∴DC=DA，∵∠A+∠B=90°，∠DCE+∠BCD=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴DB=DC，∴CD=DA=DB=AB=，∵△ABC∽△CED，∴CE：AB=CD：AC，即CE：5=：4，∴CE=，綜上所述，CE的長為2，，．故答案為2，，．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．也考查了分類討論的思想．三、解答題（本大題共7小題，滿分78分）19．（10分）（2016?浦東新區(qū)一模）計算：sin45°+6tan30°﹣2cos30°．【考點】特殊角的三角函數(shù)值．【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．【解答】解：原式=?+6×﹣2×=+1．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值．20．（10分）（2016?浦東新區(qū)一模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的變量x與變量y的部分對應(yīng)值如下表：x…﹣3﹣2﹣1015…y…70﹣5﹣8﹣97…（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）寫出拋物線頂點坐標和對稱軸．【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）把（﹣2，0），（﹣1，﹣5），（0，﹣8）代入y=ax2+bx+c中，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）把解析式化成頂點式即可求得．【解答】解：（1）把（﹣2，0），（﹣1，﹣5），（0，﹣8）代入y=ax2+bx+c得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣2x﹣8；（2）∵y=x2﹣2x﹣8=（x﹣1）2﹣9，∴拋物線頂點坐標為（1，﹣9），對稱軸為直線x=1．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的頂點坐標和對稱軸，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．21．（10分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點E是邊AD的中點，連結(jié)BE并延長交CD的延長線于點F，交AC于點G．（1）若FD=2，，求線段DC的長；（2）求證：EF?GB=BF?GE．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）由平行線得出△DEF∽△CBF，得出對應(yīng)邊成比例求出FC，即可得出DC的長；（2）由平行線得出△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，得出對應(yīng)邊成比例，，由已知條件得出AE=DE，因此，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴=，∴FC=3FD=6，∴DC=FC﹣FD=4；（2）證明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴，，∵點E是邊AD的中點，∴AE=DE，∴，∴EF?GB=BF?GE．【點評】本題考查了梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握梯形的性質(zhì)，證明三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．22．（10分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，l為一條東西方向的筆直公路，一輛小汽車XRS在這段限速為80千米/小時的公路上由西向東勻速行駛，依次經(jīng)過點A、B、C，P是一個觀測點，PC⊥l，PC=60米，tan∠APC=，∠BPC=45°，測得該車從點A行駛到點B所用時間為1秒．（1）求A、B兩點間的距離；（2）試說明該車是否超過限速．【考點】解直角三角形的應(yīng)用．【分析】（1）由三角函數(shù)求出AC，證出△BCP是等腰直角三角形，得出BC=PC=60米，求出AB=AC﹣BC=20米即可；（2）求出該車從點A行駛到點B的速度為20米/秒=72千米/小時＜80千米/小時，即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖所示：（1）∵PC⊥l，PC=60米，tan∠APC==，∴AC=80米，∵∠BPC=45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BC=PC=60米，∴AB=AC﹣BC=20米，答：A、B兩點間的距離為20米；（2）該車不超過限速；理由如下：由題意得：該車從點A行駛到點B所用時間為1秒，∴該車從點A行駛到點B的速度為20米/秒=72千米/小時＜80千米/小時，∴該車不超過限速．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握解直角三角形，由三角函數(shù)求出AC是解決問題（1）的關(guān)鍵．23．（12分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，DE⊥BC交AB于點E，AD=AC，EC交AD于點F．（1）求證：△ABC∽△FCD；（2）求證：FC=3EF．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）由AD=AC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由已知角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的三角形相似即可得證；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，由D是BC邊的中點，得到BC=2CD，于是得到AD=AC=2FD，由于∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，推出∠EAD=∠ACE，得到△EAF∽△ECA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=，即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACB，∵∠B=∠ECB，∴△ABC∽△FCD；（2）∵△ABC∽△FCD，∴，∵D是BC邊的中點，∴BC=2CD，∴AD=AC=2FD，∵∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，∴∠EAD=∠ACE，∴△EAF∽△ECA，∴=，∴EC=2EA=4EF，∴FC=3EF．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（12分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a＞0）與x軸交于A（﹣3，0）、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，﹣3），拋物線的頂點為M．（1）求a、c的值；（2）求tan∠MAC的值；（3）若點P是線段AC上一個動點，聯(lián)結(jié)OP．問：是否存在點P，使得以點O、C、P為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；（2）根據(jù)勾股定理及逆定理，可得直角三角形，再根據(jù)正切函數(shù)等于對邊比鄰邊，可得答案；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得PC的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得PH與CH的長，可得P點坐標．【解答】解：（1）將A、C點坐標代入函數(shù)解析式，得，解得，拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3；（2）y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，頂點坐標M為（﹣1，﹣4）．又A（﹣3，0），C（0，﹣3），AC=3．MC=，AM=2．∵AC2+MC2=AM2，∴∠ACM=90°，tan∠MAC===（3）∠PCO=∠BAC=45°，如圖，①當(dāng)△PCO∽△BAC時，=，即=，解得PC=2．過P作PH⊥y軸于H點，△PHC為等腰直角三角形，PH=HC=2，﹣3+2=﹣1，∴P（﹣2，﹣1）；②當(dāng)△PCO∽△CAB時，=，即=，解得P