中南大學(xué)微積分總復(fù)習(xí)課專題省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

微積分IA總復(fù)習(xí)第1頁函數(shù)與極限一、主要內(nèi)容第2頁函數(shù)定義反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)第3頁函數(shù)分類函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有沒有窮多項(xiàng)等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))第4頁左右極限兩個(gè)主要極限求極限慣用方法無窮小性質(zhì)極限存在充要條件判定極限存在準(zhǔn)則無窮小比較極限性質(zhì)數(shù)列極限函數(shù)極限等價(jià)無窮小及其性質(zhì)唯一性無窮小二者關(guān)系無窮大第5頁1、極限定義第6頁第7頁左極限右極限第8頁無窮小:極限為零變量稱為無窮小.絕對(duì)值無限增大變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大倒數(shù)為無窮小;恒不為零無窮小倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大關(guān)系2、無窮小與無窮大第9頁定理1在同一過程中,有限個(gè)無窮小代數(shù)和仍是無窮小.定理2有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮小.推論1在同一過程中,有極限變量與無窮小乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小乘積是無窮小.推論3有限個(gè)無窮小乘積也是無窮小.無窮小運(yùn)算性質(zhì)第10頁定理推論1推論23、極限性質(zhì)第11頁4、求極限慣用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.第12頁5、判定極限存在準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則)第13頁(1)(2)6、兩個(gè)主要極限第14頁定義:7、無窮小比較第15頁定理(等價(jià)無窮小替換定理)8、等價(jià)無窮小性質(zhì)9、極限唯一性第16頁左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)初等函數(shù)連續(xù)性間斷點(diǎn)定義連續(xù)定義連續(xù)充要條件連續(xù)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)連續(xù)性振蕩間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類第二類第17頁1、連續(xù)定義第18頁定理3、連續(xù)充要條件2、單側(cè)連續(xù)第19頁4、間斷點(diǎn)定義第20頁(1)跳躍間斷點(diǎn)(2)可去間斷點(diǎn)5、間斷點(diǎn)分類第21頁跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn):可去型第一類間斷點(diǎn)跳躍型0yx0yx第22頁0yx無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)0yx第二類間斷點(diǎn)第23頁6、閉區(qū)間連續(xù)性7、連續(xù)性運(yùn)算性質(zhì)定理第24頁定理1

嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)反函數(shù).定理28、初等函數(shù)連續(xù)性定理3第25頁定理4基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù).定理5一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù).定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)區(qū)間.9、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值.第26頁定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.第27頁推論在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間任何值.第28頁導(dǎo)數(shù)與微分第29頁求導(dǎo)法則基本公式導(dǎo)數(shù)微分關(guān)系高階導(dǎo)數(shù)高階微分第30頁導(dǎo)數(shù)定義第31頁求導(dǎo)法則(1)函數(shù)和、差、積、商求導(dǎo)法則(2)反函數(shù)求導(dǎo)法則第32頁(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(4)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍:第33頁(5)隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).(6)參變量函數(shù)求導(dǎo)法則第34頁高階導(dǎo)數(shù)記作二階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),(二階和二階以上導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù))第35頁微分定義定義(微分實(shí)質(zhì))第36頁導(dǎo)數(shù)與微分關(guān)系定理微分求法求法:計(jì)算函數(shù)導(dǎo)數(shù),乘以自變量微分.第37頁函數(shù)和、差、積、商微分法則微分基本法則微分形式不變性第38頁中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第39頁洛必達(dá)法則Rolle定理Lagrange中值定理慣用泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點(diǎn),函數(shù)圖形描繪;曲率;求根方法.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第40頁羅爾中值定理第41頁拉格朗日中值定理有限增量公式.第42頁柯西中值定理推論第43頁泰勒中值定理第44頁洛必達(dá)法則定義這種在一定條件下經(jīng)過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值方法稱為洛必達(dá)法則.關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可處理類型.注意：洛必達(dá)法則使用條件.第45頁導(dǎo)數(shù)應(yīng)用定理(1)函數(shù)單調(diào)性判定法第46頁定義(2)函數(shù)極值及其求法第47頁定理(必要條件)定義函數(shù)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值點(diǎn)稱為極值點(diǎn).極值是函數(shù)局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).第48頁定理(第一充分條件)定理(第二充分條件)第49頁求極值步驟:第50頁步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:假如區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值問題第51頁實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:1)建立目標(biāo)函數(shù);2)求最值;(4)曲線凹凸與拐點(diǎn)定義第52頁第53頁定理1第54頁方法1:方法2:第55頁利用函數(shù)特征描繪函數(shù)圖形.第一步第二步(5)函數(shù)圖形描繪第56頁第三步第四步確定函數(shù)圖形水平、鉛直漸近線以及其它改變趨勢(shì);第五步第57頁(6)弧微分曲率曲率圓曲率計(jì)算公式第58頁定義第59頁不定積分第60頁積分法原函數(shù)選擇u有效方法基本積分表第一換元法第二換元法直接積分法分部積分法不定積分幾個(gè)特殊類型函數(shù)積分第61頁原函數(shù)定義原函數(shù)存在定理即：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．第62頁不定積分(1)定義第63頁(2)微分運(yùn)算與求不定積分運(yùn)算是互逆.(3)不定積分性質(zhì)第64頁第一類換元法直接積分法第一類換元公式（湊微分法）由定義直接利用基本積分表與積分性質(zhì)求不定積分方法.第65頁常見類型:第66頁第二類換元法第二類換元公式第67頁慣用代換:第68頁分部積分法分部積分公式選擇u有效方法:LIATE選擇法L----對(duì)數(shù)函數(shù)；I----反三角函數(shù)；A----代數(shù)函數(shù)；T----三角函數(shù)；E----指數(shù)函數(shù)；

哪個(gè)在前哪個(gè)選作u.第69頁幾個(gè)特殊類型函數(shù)積分（1）有理函數(shù)積分定義兩個(gè)多項(xiàng)式商表示函數(shù)稱之.真分式化為部分分式之和待定系數(shù)法第70頁四種類型分式不定積分此兩積分都可積,后者有遞推公式第71頁令（2）三角函數(shù)有理式積分定義由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算組成函數(shù)稱之．普通記為第72頁（3）簡(jiǎn)單無理函數(shù)積分討論類型：處理方法：作代換去掉根號(hào)．第73頁定積分與廣義積分第74頁問題1:曲邊梯形面積問題2:變速直線運(yùn)動(dòng)旅程存在定理廣義積分定積分定積分性質(zhì)定積分計(jì)算法牛頓-萊布尼茨公式第75頁1、問題提出實(shí)例1（求曲邊梯形面積A）第76頁實(shí)例2（求變速直線運(yùn)動(dòng)旅程）方法:分割、求和、取極限.第77頁2、定積分定義定義第78頁記為第79頁可積兩個(gè)充分條件：定理1定理23、存在定理第80頁4、定積分性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3第81頁性質(zhì)5推論：（1）（2）性質(zhì)4第82頁性質(zhì)7(定積分中值定理)性質(zhì)6積分中值公式第83頁5、牛頓—萊布尼茨公式定理1定理2（原函數(shù)存在定理）第84頁定理3（微積分基本公式）也可寫成牛頓—萊布尼茨公式第85頁6、定積分計(jì)算法換元公式（1）換元法（2）分部積分法分部積分公式第86頁定積分應(yīng)用第87頁微元法理論依據(jù)名稱釋譯所求量特點(diǎn)解題步驟定積分應(yīng)用中慣用公式第88頁所求量特點(diǎn)微元素法第89頁解題步驟第90頁定積分應(yīng)用慣用公式(1)平面圖形面積直角坐標(biāo)情形第91頁假如曲邊梯形曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形面積參數(shù)方程所表示函數(shù)第92頁極坐標(biāo)情形第93頁(2)體積xyo第94頁平行截面面積為已知立體體積第95頁(3)平面曲線弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)A．曲線弧為弧長(zhǎng)B．曲線弧為第96頁C．曲線弧為弧長(zhǎng)(4)旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積xyo第97頁無窮級(jí)數(shù)第98頁常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)收斂半徑R泰勒展開式數(shù)或函數(shù)函數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)傅氏展開式傅氏級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)滿足狄氏條件在收斂級(jí)數(shù)與數(shù)條件下相互轉(zhuǎn)化第99頁常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)部分和定義級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散第100頁性質(zhì)1:級(jí)數(shù)每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零常數(shù),斂散性不變.性質(zhì)2:收斂級(jí)數(shù)能夠逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.性質(zhì)3:在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)斂散性.性質(zhì)4:收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成級(jí)數(shù)依然收斂于原來和.級(jí)數(shù)收斂必要條件:收斂級(jí)數(shù)基本性質(zhì)第101頁常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交織級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);普通項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂第102頁定義正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法審斂法(1)比較審斂法第103頁(2)比較審斂法極限形式第104頁第105頁第106頁定義

正、負(fù)項(xiàng)相間級(jí)數(shù)稱為交織級(jí)數(shù).交織級(jí)數(shù)及其審斂法第107頁定義正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法第108頁函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)定義(2)收斂點(diǎn)與收斂域第109頁(3)和函數(shù)第110頁(1)定義冪級(jí)數(shù)第111頁(2)收斂性第112頁推論第113頁定義:正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)收斂半徑.冪級(jí)數(shù)收斂域稱為冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間.第114頁a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):加減法(其中(3)冪級(jí)數(shù)運(yùn)算第115頁乘法(其中除法第116頁b.和函數(shù)分析運(yùn)算性質(zhì):第117頁冪級(jí)數(shù)展開式(1)定義第118頁(2)充要條件(3)唯一性第119頁(3)展開方法a.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟:b.間接法依據(jù)唯一性,利用常見展開式,經(jīng)過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開式.第120頁(4)常見函數(shù)展開式第121頁第122頁(1)三角函數(shù)系三角函數(shù)系傅里葉級(jí)數(shù)第123頁(2)傅里葉級(jí)數(shù)定義三角級(jí)數(shù)第124頁其中稱為傅里葉級(jí)數(shù).第125頁(3)狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理)第126頁(4)正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)第127頁第128頁奇延拓:(5)周期延拓第129頁偶延拓:第130頁第131頁二、經(jīng)典例題第132頁例1解將分子、分母同乘以因子(1-x),則第133頁例2解第134頁例3解第135頁第136頁例4證實(shí)討論:第137頁由零點(diǎn)定理知,綜上,第138頁例5解第139頁例6解分析:不能用公式求導(dǎo).第140頁例7解兩邊取對(duì)數(shù)第141頁例8解先去掉絕對(duì)值第142頁第143頁例9解第144頁例10解第145頁例11解第146頁例12證由介值定理,第147頁

注意到由,有

+,得第148頁例13證第149頁例14證

第150頁–,則有第151頁例15解第152頁若兩曲線滿足題設(shè)條件,必在該點(diǎn)處含有相同一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),于是有第153頁解此方程組得故所求作拋物線方程為曲率圓方程為兩曲線在點(diǎn)處曲率圓圓心為第154頁例16解(倒代換)第155頁例17解第156頁解得第157頁例18解第158頁例19解第159頁例20解第160頁第161頁第162頁例21解第163頁例22解第164頁例23解第165頁例24解是偶函數(shù),第166頁例25解第167頁例26證第168頁第169頁例27證作輔助函數(shù)第170頁第171頁例28解第172頁依據(jù)級(jí)數(shù)收斂必