祖沖之與圓周率-完整課件

祖沖之與圓周率祖沖之與圓周率祖沖之（公元429-500年）是我國南北朝時期，河北省淶源縣人．他從小就閱讀了許多天文、數學方面的書籍，勤奮好學，刻苦實踐，終于使他成為我國古代杰出的數學家、天文學家．祖沖之（公元429-500年）是我國南北朝時期，河北省淶源縣祖沖之在數學上的杰出成就，是關于圓周率的計算．秦漢以前，人們以"徑一周三"做為圓周率，這就是"古率"．后來發(fā)現古率誤差太大，圓周率應是"圓徑一而周三有余"，不過究竟余多少，意見不一．祖沖之在數學上的杰出成就，是關于圓周率的計算．秦漢以前，人們直到三國時期，劉徽提出了計算圓周率的科學方法--"割圓術"，用圓內接正多邊形的周長來逼近圓周長．劉徽計算到圓內接96邊形，求得π=3.14，并指出，內接正多邊形的邊數越多，所求得的π值越精確．直到三國時期，劉徽提出了計算圓周率的科學方法--"割圓術"，祖沖之在前人成就的基礎上，經過刻苦鉆研，反復演算，求出π在3.1415926與3.1415927之間．并得出了π分數形式的近似值，取為約率，取為密率，其中取六位小數是3.141929，它是分子分母在1000以內最接近π值的分數．祖沖之在前人成就的基礎上，經過刻苦鉆研，反復演算，求出π在3祖沖之究竟用什么方法得出這一結果，現在無從考查．若設想他按劉徽的"割圓術"方法去求的話，就要計算到圓內接16，384邊形，這需要化費多少時間和付出多么巨大的勞動??！由此可見他在治學上的頑強毅力和聰敏才智是令人欽佩的．祖沖之究竟用什么方法得出這一結果，現在無從考查．若設想他按劉祖沖之的對圓周率的巨大貢獻那圓周率又是怎樣的呢？*數學簡史*祖沖之的對圓周率的巨大貢獻那圓周率又是怎樣的呢？*數學簡史*圓周率的發(fā)展圓周率的發(fā)展圓周率圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等于圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵。分析學上，π可定義為是最小的x>0使得sin(x)=0。*數學簡史*圓周率圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的常用的π近以值包括疏率:22/7及密率:355/113。這兩項均由祖沖之給出。π約等于（精確到小數點后第100位）3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170680*數學簡史*常用的π近以值包括疏率:22/7及密率:355/11古希臘歐幾里得的《幾何原本》（約公元前3世紀初）中提到圓周率是常數，中國古算書《周髀算經》（約公元前2世紀）中有「徑一而周三」的記載，也認為圓周率是常數。歷史上曾采用過圓周率的多種近似值，早期大都是通過實驗而得到的結果，如古埃及紙草書（約公元前1700）中取π=（4/3）^4≒3.1604。*數學簡史*古希臘歐幾里得的《幾何原本》（約公元前3世紀初）中提到圓周率第一個用科學方法尋求圓周率數值的人是阿基米德，他在《圓的度量》（公元前3世紀）中用圓內接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，從正六邊形開始，逐次加倍計算到正96邊形，得到(3+(10/71))<π<(3+(1/7))，開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法（亦稱古典方法，或阿基米德方法），得出精確到小數點后兩位的π值。*數學簡史*第一個用科學方法尋求圓周率數值的人是阿基米德，他在《圓的度量中國數學家劉徽在注釋《九章算術》時（公元263年）只用圓內接正多邊形就求得π的近似值，也得出精確到兩位小數的π值，他的方法被后人稱為割圓術，其中有求極限的思想。*數學簡史*中國數學家劉徽在注釋《九章算術》時（公元263年）只用圓內接南北朝時代的數學家祖沖之利用割圓術進一步得出精確到小數點后7位的π值（公元466年），給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分數值，密率355/113和約率22/7，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發(fā)展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。*數學簡史*南北朝時代的數學家祖沖之利用割圓術進一步得出精確到小數點后7其中的密率在西方直到1573才由德國人奧托得到，1625年發(fā)表于荷蘭工程師安托尼斯的著作中，歐洲稱之為安托尼斯率。阿拉伯數學家卡西在15世紀初求得圓周率17位精確小數值，打破祖沖之保持近千年的紀錄。德國數學家柯倫于1596年將π值算到20位小數值，后投入畢生精力，于1610年算到小數后35位數，該數值被用他的名字稱為魯道夫數。*數學簡史*其中的密率在西方直到1573才由德國人奧托得到，1625年發(fā)除π的數值計算外，它的性質探討也吸引了眾多數學家。1761年瑞士數學家蘭伯特第一個證明π是無理數。1794年法國數學家勒讓德又證明了π2也是無理數。到1882年德國數學家林德曼首次證明了π是超越數，由此否定了困惑人們兩千多年的「化圓為方」尺規(guī)作圖問題。還有人對π的特征及與其它數字的聯(lián)系進行研究。如1929年蘇聯(lián)數學家格爾豐德證明了eπ是超越數等等。*數學簡史*除π的數值計算外，它的性質探討也吸引了眾多數學家。1761年在歷史上,有不少數學家都對圓周率作出過研究,當中著名的有阿基米德、托勒密、張衡、祖沖之等。他們在自己的國家用各自的方法,辛辛苦苦地去計算圓周率的值。下面,就是世上各個地方對圓周率的研究成果。*數學簡史*在歷史上,有不少數學家都對圓周率作出過研究,當中著名的有阿基研究圓周率歷史的幾個階段起承轉接*數學簡史*研究圓周率歷史的幾個階段起承轉接*數學簡史*起【起】即為圓周率的起源，那究竟是誰先發(fā)現它？古巴比倫人從計算周界發(fā)現：一塊出土于1936年的黏土塊上記載，在古巴比倫時期(約公元前1900-1600年)，巴比倫人相信六邊形的周界為0;57,36(以底數60計，亦即=96/100=24/25)乘以它的外接圓的周界：六邊形周界=24/25′其外接圓周界=24/25′π′直徑由此，得出相信是最古老的圓周率的近似值：π〔巴比倫〕=25/8=3.125*數學簡史*起【起】即為圓周率的起源，那究竟是誰先發(fā)現它？古巴比倫人從計承【承】是承繼安提豐和布賴森的「窮舉法」而發(fā)展的一個時期：以「多邊形」找尋圓周率的值*數學簡史*承【承】是承繼安提豐和布賴森的「窮舉法」而發(fā)展的一個時期：以古希臘西那庫斯的阿基米德（ArchimedesofSyracuse，公元前287-212年），是第一個有系統(tǒng)地找出圓周率的近似值和圓周率的上下限的數學家。他采用了安提豐和布賴森的「窮舉法」，但他的研究重點則在多邊形的周界。阿基米德在《圓的度量》（TheMeasurementoftheCircle）中，提出三個有關圓的定理。即：3.14084...<π<3.14285...*數學簡史*古希臘西那庫斯的阿基米德（ArchimedesofSyr劉徽是獨立開創(chuàng)以多邊形面積迫近圓面積的窮舉法－「割圓術」來找出圓周率的值的。最后，劉徽更求得正3072邊形的面積，從而得出：

π=3927/1250=3.1416

即π的值準確至小數后三個位，后人稱為「徽率」。*數學簡史*劉徽是獨立開創(chuàng)以多邊形面積迫近圓面積的窮舉法－「割圓術」來找祖沖之運用了劉徽的「割圓術」及他無比的耐性與堅持（當時并沒有算盤等計算工具，只能靠小竹子幫助計算，但他實質的計算方法則無從確定），算到:3.1415926<π<3.1415927他還發(fā)現了「約率」：祖沖之更取π=22/7（=3.14...）作為「約率」「密率」：π=355/113（=3.1415929）作為「密率」，以表示圓周率的近似值?！缸媛省梗菏菆A周率的值準確至小數后7個位，后稱3.1415926。*數學簡史*祖沖之運用了劉徽的「割圓術」及他無比的耐性與堅持（當時并沒有轉【轉】是尋求圓周率的一個轉折點。圓周率的計算有了新的突破－以解析表達式表示及求出圓周率的值。*數學簡史*轉【轉】是尋求圓周率的一個轉折點。圓周率的計算有了新的突破－接「接」是緊接著以上發(fā)現的很多計算圓周率值的公式所延伸的一個時期：隨著科技的突飛猛進，計算機的發(fā)明，令圓周率的計算速度有了新的突破。*數學簡史*接「接」是緊接著以上發(fā)現的很多計算圓周率值的公式所延伸的一個圓周率的研究方法古人計算圓周率，一般是用割圓法。即用圓的內接或外切正多邊形來逼近圓的周長。Archimedes用正96邊形得到圓周率小數點后3位的精度；劉徽用正3072邊形得到5位精度；LudolphVanCeulen用正262邊形得到了35位精度。這種基于幾何的算法計算量大，速度慢，吃力不討好。隨著數學的發(fā)展，數學家們在進行數學研究時有意無意地發(fā)現了許多計算圓周率的公式。下面挑選一些經典的常用公式加以介紹。除了這些經典公式外，還有很多其它公式和由這些經典公式衍生出來的公式，就不一一列舉了。*數學簡史*圓周率的研究方法古人計算圓周率，一般是用割圓法。即用圓的內接1、Machin公式：

這個公式由英國天文學教授JohnMachin于1706年發(fā)現。他利用這個公式計算到了100位的圓周率。Machin公式每計算一項可以得到1.4位的十進制精度。因為它的計算過程中被乘數和被除數都不大于長整數，所以可以很容易地在計算機上編程實現。*數學簡史*1、Machin公式：*數學簡史*2、Ramanujan公式：

1914年，印度數學家SrinivasaRamanujan在他的論文里發(fā)表了一系列共14條圓周率的計算公式，這是其中之一。這個公式每計算一項可以得到8位的十進制精度。1985年Gosper用這個公式計算到了圓周率的17,500,000位。*數學簡史*2、Ramanujan公式：*數學簡史*3、AGM(Arithmetic-GeometricMean)算法：Gauss-Legendre公式：初值：重復計算：最后計算：*數學簡史*3、AGM(Arithmetic-GeometricMea4、Borwein四次迭代式：初值：重復計算：

最后計算：這個公式由JonathanBorwein和PeterBorwein于1985年發(fā)表，它四次收斂于圓周率。*數學簡史*4、Borwein四次迭代式：*數學簡史*5、Bailey-Borwein-Plouffe算法：

這個公式簡稱BBP公式，由DavidBailey,PeterBorwein和SimonPlouffe于1995年共同發(fā)表。它打破了傳統(tǒng)的圓周率的算法，可以計算圓周率的任意第n位，而不用計算前面的n-1位。這為圓周率的分布式計算提供了可行性。1997年，FabriceBellard找到了一個比BBP快40％的公式：

*數學簡史*5、Bailey-Borwein-Plouffe算法：*數圓周率的新紀錄圓周率的最新計算紀錄由兩位日本人DaisukeTakahashi和YasumasaKanada所創(chuàng)造。他們在日本東京大學的IT中心，以Gauss-Legendre算法編寫程序，利用一臺每秒可執(zhí)行一萬億次浮點運算的超級計算機，從日本時間1999年9月18日19:00:52起，計算了37小時21分04秒，得到了圓周率的206,158,430,208(3*236)位十進制精度，之后和他們于1999年6月27日以Borwein四次迭代式計算了46小時得到的結果相比，發(fā)現最后45位小數有差異，因此他們取小數點后206,158,4