2022-2023學(xué)年河南省鄭州市新鄭市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省鄭州市新鄭市高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在中，已知是邊上的一點(diǎn)，若，，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由已知得，因此，答案選B.【解析】向量的運(yùn)算與性質(zhì)2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線(xiàn)上，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】求出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)代入直線(xiàn)方程可得，再利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.【詳解】復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，又在直線(xiàn)上，所以，解得，所以，則.故選：B.3．如圖，在三棱柱中，底面是正三角形，側(cè)棱與底面垂直，且分別是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)夾角的定義分析求解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)D，連接，則，且，所以為異面直線(xiàn)與所成的角（或其補(bǔ)角），又因?yàn)镕是的中點(diǎn)，則，又因?yàn)槿庵膫?cè)棱與底面垂直，則平面，且平面，所以，在中，，所以.故選：D．

4．在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項(xiàng)BCD解法一：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，故選：A.選項(xiàng)BCD解法二：解：對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線(xiàn)，在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點(diǎn)，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.5．為了更好地支持“中小型企業(yè)”的發(fā)展，某市決定對(duì)部分企業(yè)的稅收進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p免，某機(jī)構(gòu)調(diào)查了當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)出了樣本的頻率分布直方圖，下面三個(gè)結(jié)論：①樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為0.45；②如果規(guī)定年收入在500萬(wàn)元以?xún)?nèi)的企業(yè)才能享受減免稅政策，估計(jì)有55%的當(dāng)?shù)刂行⌒推髽I(yè)能享受到減免稅政策；③樣本的中位數(shù)為480萬(wàn)元.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】根據(jù)直方圖求出，求出的頻率，可判斷①；求出的頻率，可判斷②；根據(jù)中位數(shù)是從左到右頻率為的分界點(diǎn)，先確定在哪個(gè)區(qū)間，再求出占該區(qū)間的比例，求出中位數(shù)，判斷③.【詳解】由，，的頻率為，①正確；的頻率為，②正確；的頻率為，的頻率為，中位數(shù)在且占該組的，故中位數(shù)為，③正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)全直方圖，由直方圖求頻率和平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題6．某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，則該小組數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別為A．85，85，85 B．87，85，86C．87，85，85 D．87，85，90【答案】C【詳解】由題意可知，學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，則該小組數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)，成績(jī)排列為75,80,85,85,85,85，90,90,95,100，可得眾數(shù)為85，中位數(shù)，因此選C7．下列說(shuō)法正確的是A．對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件B．事件，同時(shí)發(fā)生的概率一定比，恰有一個(gè)發(fā)生的概率小C．若，則事件與是對(duì)立事件D．事件，中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比，中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大【答案】A【解析】根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件概念，可判斷A正確，其余選項(xiàng)舉反例即可.【詳解】根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概念，可知對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件但不一定對(duì)立事件，則正確；設(shè)事件發(fā)生的概率為0.5，事件發(fā)生的概率為0.6，同時(shí)發(fā)生的概率為0.4，則恰有一個(gè)發(fā)生的概率為0.3，則錯(cuò)；若，事件與事件不一定互斥，則不是對(duì)立事件，則錯(cuò)；當(dāng)事件與事件互斥時(shí)，則事件，中至少有一個(gè)發(fā)生的概率與，中恰有一個(gè)發(fā)生的概率相等，則錯(cuò)；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)立事件和互斥事件概率的辨析，屬于基礎(chǔ)題.8．從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng)，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為()A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)2名男生記為A1,A2,2名女生記為B1,B2,任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng),共有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),(A2,A1),(B1,A1),(B2,A1),(B1,A2),(B2,A2),(B2,B1)12種情況,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2)4種情況,則發(fā)生的概率為P=,故選：A.二、多選題9．已知平面向量，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量為C．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為D．若向量與向量共線(xiàn)，則【答案】AD【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，，對(duì)于A：根據(jù)向量的夾角公式運(yùn)算求解；對(duì)于B：根據(jù)投影向量的定義分析運(yùn)算；對(duì)于C：根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解；對(duì)于D：根據(jù)向量共線(xiàn)的判定定理分析運(yùn)算.【詳解】由題意知，，對(duì)于選項(xiàng)A：，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：在方向上的投影向量為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)與垂直的單位向量的坐標(biāo)為，可得，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)橄蛄颗c向量共線(xiàn)，所以若存在，使得，則，解得，故D正確．故選：AD.10．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A． B．C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線(xiàn)上 D．的虛部為【答案】BCD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】設(shè)，則，由，得，整理得，所以，解得，.所以，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，B正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，顯然在直線(xiàn)上，C正確；因?yàn)?，所以的虛部為，D正確.故選：BCD.11．已知正方體，則（

）A．直線(xiàn)與所成的角為 B．直線(xiàn)與所成的角為C．直線(xiàn)與平面所成的角為 D．直線(xiàn)與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線(xiàn)與所成的角即為直線(xiàn)與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，故直線(xiàn)與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)椋?，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)?，，所以平面，所以為直線(xiàn)與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，所以，直線(xiàn)與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線(xiàn)與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD12．年上半年，中國(guó)養(yǎng)豬企業(yè)受豬價(jià)高位的利好影響，大多收獲史上最佳半年報(bào)業(yè)績(jī)，部分企業(yè)半年報(bào)營(yíng)業(yè)收入同比增長(zhǎng)超過(guò)倍．某養(yǎng)豬場(chǎng)抓住機(jī)遇，加大了生豬養(yǎng)殖規(guī)模，為了檢測(cè)生豬的養(yǎng)殖情況，該養(yǎng)豬場(chǎng)對(duì)頭生豬的體重（單位：）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．這頭生豬體重的眾數(shù)為B．這頭生豬中體重不低于的有頭C．這頭生豬體重的中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)D．這頭生豬體重的平均數(shù)為【答案】BCD【分析】利用最高矩形底邊的中點(diǎn)值作為眾數(shù)可判斷A選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出生豬中體重不低于所占的頻率，乘以可判斷B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】由頻率分布直方圖可知，這一組的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的小長(zhǎng)方形最高，所以這頭生豬的體重的眾數(shù)為，A錯(cuò)誤；這頭生豬中體重不低于的有（頭），B正確；因?yàn)樯i的體重在內(nèi)的頻率為，在內(nèi)的頻率為，且，所以這頭生豬體重的中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，C正確；這頭生豬體重的平均數(shù)為，D正確．故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：從頻率分布直方圖中得出相關(guān)數(shù)據(jù)的方法（1）頻率：頻率分布直方圖中橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示，頻率=組距，即每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．（2）眾數(shù)：頻率分布直方圖中最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)．（3）中位數(shù)：平分頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的面積且垂直于橫軸的直線(xiàn)與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（4）平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積與對(duì)應(yīng)小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和．三、填空題13．如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，且，將射線(xiàn)繞著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，并在所得射線(xiàn)上取一點(diǎn)，使得，連接，則的面積為．【答案】【分析】由余弦定理求得，再結(jié)合正弦定理得，進(jìn)而得，得，則面積可求【詳解】由，得，解得.因?yàn)?，所以，，所?又因?yàn)?，所?因?yàn)椋?故答案為【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題14．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（其中為虛數(shù)單位），則．【答案】【詳解】由題意可得，，.所以，.故答案為：.15．如圖，AB是半圓柱底面的直徑，PA是半圓柱的高，C是上一點(diǎn)，且，D為PB的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AD與BC所成角的余弦值為．

【答案】/【分析】根據(jù)題意結(jié)合異面直線(xiàn)夾角的定義分析運(yùn)算.【詳解】設(shè)，如圖，取PC的中點(diǎn)E，連接DE，AE，可得，所以異面直線(xiàn)AD與BC所成的角為（或其補(bǔ)角）．又因?yàn)槠矫?，平面，則，且，，平面PAC，所以平面PAC．且平面PAC，則，所以．因?yàn)?，所以在中，．故答案為?

16．在一個(gè)擲骰子的試驗(yàn)中，事件表示“出現(xiàn)不大于4的偶數(shù)點(diǎn)”，事件表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，則事件發(fā)生的概率為．【答案】【分析】由題意知試驗(yàn)發(fā)生包含的所有基本事件數(shù)是6，事件和事件是互斥事件，求出事件和事件包含的基本事件數(shù)，根據(jù)互斥事件和古典概型的概率公式得到結(jié)果．【詳解】隨機(jī)擲一個(gè)骰子一次共有6種不同的結(jié)果，其中事件“出現(xiàn)不大于4的偶數(shù)點(diǎn)”包括2，4兩種結(jié)果，則．事件“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”包括1，2，3，4四種結(jié)果，則，．又因?yàn)槭录褪录腔コ馐录?，．故答案為?四、解答題17．記的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，．已知．(1)求角的大?。?2)若點(diǎn)在邊上，平分，，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)即可得到角的大??；（2）由角平分線(xiàn)定理可得，由，結(jié)合余項(xiàng)定理化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，即化?jiǎn)可得，由余弦定理可得，所以，且，則（2）由（1）知，由余弦定理可得，將代入，化簡(jiǎn)可得，又因?yàn)槠椒?，由角平分線(xiàn)定理可得，即，且，所以，又因?yàn)?則，結(jié)合余弦定理可得，解得，所以則18．如圖1，在梯形中，，點(diǎn)E在線(xiàn)段上，，將沿翻折至的位置，連接，點(diǎn)F為中點(diǎn)，連接，如圖2，

(1)在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)Q，使平面平面?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)Q的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)平面平面時(shí)，求三棱錐的體積，【答案】(1)存在，Q是的中點(diǎn)(2)【分析】（1）利用線(xiàn)面平行與面面平行的判定定理證明即可；（2）利用余弦定理與勾股定理證得，進(jìn)而利用線(xiàn)面垂直的判定定理證得平面，從而得到F到平面的距離，再利用等體積法即可得解.【詳解】（1）當(dāng)Q是的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，理由如下：如圖，連接，依題意得，且，則，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面平面，所以平面，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面?

（2）取的中點(diǎn)M，連接，因?yàn)?，則，所以為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則，因?yàn)?，所以由余弦定理得，所以在中，，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以F到平面的距離，所以.19．在三棱錐中，點(diǎn)D在以AB為直徑的半圓弧上，且平面平面ABC，，．

(1)證明：平面BCD；(2)當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求三棱錐的表面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面ABD，再利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理和判定定理分析證明；（2）根據(jù)面面垂直分析可得當(dāng)點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，進(jìn)而根據(jù)垂直關(guān)系求相應(yīng)的邊長(zhǎng)和表面積.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，，平面，所以平面ABD．且平面ABD，所以．又因?yàn)辄c(diǎn)D在以AB為直徑的半圓弧上，則．且，平面BCD，所以平面BCD．（2）過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線(xiàn)DO交AB于點(diǎn)O，

因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，平面，所以平面ABC，所以當(dāng)點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，則，因?yàn)槠矫鍭BD，平面ABD，所以，在中，，由（1）知平面BCD，平面BCD，則．可得：，，，，所以此時(shí)三棱錐的表面積為．20．某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)所需時(shí)間(單位：分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學(xué)所需時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，．(1)求直方圖中x的值；(2)如果上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，若該學(xué)校有600名新生，請(qǐng)估計(jì)新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿；(3)由頻率分布直方圖估計(jì)該校新生上學(xué)所需時(shí)間的平均值．【答案】(1)(2)72名(3)33.6分鐘.【分析】（1）利用概率和為列方程即可得解．（2）計(jì)算出新生上學(xué)時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為，問(wèn)題得解．（3）直接利用均值計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：（1）由直方圖可得：，解得.（2）新生上學(xué)時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為，因?yàn)?，所?00名新生中有72名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿.（3）由題可知分鐘.故該校新生上學(xué)所需時(shí)間的平均值為33.6分鐘.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的知識(shí)，考查了概率的應(yīng)用，還考查了平均值的計(jì)算公式，屬于中檔題．21．某校社團(tuán)活動(dòng)開(kāi)展得有聲有色，深受學(xué)生歡迎，每屆高一新生都踴躍報(bào)名加入，極大地推動(dòng)了學(xué)生的全面發(fā)展．現(xiàn)已知高一某班60名同學(xué)中有4名男同學(xué)和2名女同學(xué)參加心理社團(tuán)，現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選取2名同學(xué)代表社團(tuán)參加校際交流(每名同學(xué)被選到的可能性相同)．(1)在該班隨機(jī)選取1名同學(xué)，求該同學(xué)參加心理社團(tuán)的概率；(2)求從6名同學(xué)中選出的2名同學(xué)代表至少有1名女同學(xué)的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合隨機(jī)事件概率求解；（2）根據(jù)題意利用列舉法結(jié)合古典概率計(jì)算公式求解.【詳解】（1）由題意可知，該班60名同學(xué)中共有6名同學(xué)參加心理社團(tuán)，所以在該班隨機(jī)選取1名同學(xué)，該同學(xué)參加心理社團(tuán)的概率．（2）設(shè)A，B，C，D表示參加心理社團(tuán)的男同學(xué)，a，b表示參加心理社團(tuán)的女同學(xué)，則從6名同學(xué)中選出的2名同學(xué)代表共有15種等可能的結(jié)果：，其中至少有1名女同學(xué)的結(jié)果有9種：，根據(jù)古典概率計(jì)算公式，從6名同學(xué)中選出的2名同學(xué)代表至少有1名女同學(xué)的概率．22．某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；（2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元），當(dāng)六