空間向量的數(shù)量積運算課件

空間向量的數(shù)量積運算課件空間向量的數(shù)量積運算課件1．知識與技能掌握空間兩個向量的夾角，兩個向量互相垂直的概念及表示方法．掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、計算方法以及運算律．2．過程與方法能夠初步運用空間向量的數(shù)量積，來研究空間線面的垂直關系．了解三垂線定理及其逆定理．1．知識與技能空間向量的數(shù)量積運算課件重點：理解掌握兩個向量的夾角，兩個向量的數(shù)量積的概念，理解兩個向量的數(shù)量積的計算方法、運算律及應用．難點：兩個向量數(shù)量積的幾何意義以及把立體幾何問題轉化為向量計算問題．重點：理解掌握兩個向量的夾角，兩個向量的數(shù)量積的概念，理解兩空間向量的數(shù)量積運算課件1．由于空間任意兩個向量都可轉化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示及向量的模的概念和表示等，都與平面向量相同．2．要準確理解兩向量夾角的概念，它和兩直線夾角是不同的，它與向量的方向有關，其取值范圍是[0，π]．記〈a，b〉＝θ，a、b都是非零向量．①a∥b時，θ＝0或π，θ＝0時，a與b同向；θ＝π時，a與b反向．1．由于空間任意兩個向量都可轉化為共面向量，所以空間兩個向量③θ為銳角時，a·b>0，但a·b>0時，θ可能為0；θ為鈍角時，a·b<0，但a·b<0時，θ可能為π.④|a·b|≤|a|·|b|，特別地，當θ＝0時，a·b＝|a|·|b|，當θ＝π時，a·b＝－|a|·|b|.⑤對于實數(shù)a、b、c，若ab＝ac，a≠0，則b＝c；對于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，卻推不出b＝c，只能得出a⊥(b－c)．⑤a·b＝0a＝0或b＝0，a＝0時，一定有a·b＝0.空間向量的數(shù)量積運算課件⑥三個不為零的三個實數(shù)a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但對于三個向量a、b、c，(a·b)·c≠a·(b·c)，因為a·b是一個實數(shù)，(a·b)c是與c共線的向量，而a(b·c)是與a共線的向量，a與c卻不一定共線．與平面上兩個向量的數(shù)量積一樣，空間兩個向量的數(shù)量積也具有如下性質(zhì)．1°a⊥b?a·b＝0.用于判斷兩向量是否垂直．2°|a|2＝a·a用于求向量的模．3°|a·b|≤|a||b|用于判斷或證明不等式．⑥三個不為零的三個實數(shù)a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成空間向量的數(shù)量積運算課件1．已知兩個非零向量a、b，在空間任取一點O，作 ，則角

叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉．通常規(guī)定0°≤〈a，b〉≤180°，且〈a，b〉＝〈b，a〉如果〈a，b〉＝

，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.∠AOB90°1．已知兩個非零向量a、b，在空間任取一點O，作 ，2．空間兩個非零向量a、b，a·b＝

.叫做向量a、b的數(shù)量積(或內(nèi)積)．同平面向量一樣，空間兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，空間兩個向量的數(shù)量積也具有如下性質(zhì)：(1)a⊥b?

；(2)|a|2＝

；空間兩個向量的數(shù)量積同樣滿足如下運算律：(1)(λa)·b＝

；(2)a·b＝

；(交換律)(3)(a＋b)·c＝

(分配律)．|a||b|cos〈a，b〉a·b＝0a·aλ(a·b)b·aa·c＋b·c2．空間兩個非零向量a、b，a·b＝ .|a||b|co3．三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的

垂直，那么它也和這條斜線垂直．三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和

垂直．即與斜線垂直?與射影垂直．一條斜線的射影這條斜線在平面內(nèi)的射影3．三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的 空間向量的數(shù)量積運算課件[例1]如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，計算

空間向量的數(shù)量積運算課件空間向量的數(shù)量積運算課件空間向量的數(shù)量積運算課件空間向量的數(shù)量積運算課件向量a、b之間的夾角為30°，且|a|＝3，|b|＝4，則a·b＝________，a2＝________，b2＝________，(a＋2b)·(a－b)＝________.空間向量的數(shù)量積運算課件[點評]由于內(nèi)積滿足分配律，故可象多項式乘以多項式一樣展開.[點評]由于內(nèi)積滿足分配律，故可象多項式乘以多項式一樣展開空間向量的數(shù)量積運算課件空間向量的數(shù)量積運算課件如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求異面直線A1B與AC所成的角空間向量的數(shù)量積運算課件空間向量的數(shù)量積運算課件[例3]已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M、N分別是OA、BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC.空間向量的數(shù)量積運算課件空間向量的數(shù)量積運算課件空間向量的數(shù)量積運算課件已知空間四邊形OABC中，M、N、P、Q分別為BC、AC、OA、OB的中點，若AB＝OC，求證：PM⊥QN.空間向量的數(shù)量積運算課件空間向量的數(shù)量積運算課件空間向量的數(shù)量積運算課件[分析]可直接運用|a|2＝a·a.[分析]可直接運用|a|2＝a·a.[說明]公式：(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b2|＋|c2|＋2a·c＋2a·b＋2b·c，應牢記并能熟練的應用．[說明]公式：(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝(a＋b＋c已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且兩兩夾角為60°，則AC1的長是多少？空間向量的數(shù)量積運算課件空間向量的數(shù)量積運算課件空間向量的數(shù)量積運算課件[例5]如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對角線AC折起，使AB與CD成60°角，求B、D間的距離．[例5]如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠A空間向量的數(shù)量積運算課件[解析]把兩點間距離表示出來，由a2＝|a|2求距離，但應注意向量的夾角，三角形內(nèi)角的區(qū)別．[解析]把兩點間距離表示出來，由a2＝|a|2求距離，但應空間向量的數(shù)量積運算課件空間向量的數(shù)量積運算課件空間向量的數(shù)量積運算課件一、選擇題1．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，則|a－b|等于(

)A．22

B．48

C.

D．32[答案]

A[解析]∵|a＋b|2＝a2＋b2＝2a·b，|a－b|2＝a2＋b2－2a·b，∴|a－b|2＝2(a2＋b2)－|a＋b|2＝2×(132＋192)－242＝484，∴|a－b|＝22.故選A.一、選擇題2．下列式子中正確的是(

)A．|a|·a＝a2B．(a·b)2＝a2·b2C．(a·b)c＝a(b·c)D．|a·b|≤|a||b|[答案]

D2．下列式子中正確的是[解析]

|a|·a是與a共線的向量，a2是實數(shù)，故A不對；(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠a2·b2，故B錯；(a·b)·c與c共線，a·(b·c)與a共線，故C錯．|a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|≤|a|·|b|.[解析]|a|·a是與a共線的向量，a2是實數(shù)，故A不對；[答案]