最小二乘法數(shù)據(jù)擬合

《數(shù)值計(jì)算方法》課程設(shè)計(jì)題目：用最小二乘法實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)擬合專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)：2013級(jí)2班姓名：目錄：一、摘要錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。二、應(yīng)用計(jì)算方法的基本原理錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。1?最小二乘法線性擬合錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。算法描述錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。1.2誤差估計(jì)錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。2.最小二乘法非線性擬合錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。三、例題的計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。四、總結(jié)及心得體會(huì)錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。五、參考文獻(xiàn)錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。六、附錄程序錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽?！⒄疚闹饕罁?jù)最小二乘法對(duì)任意一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合和非線性擬合。因?yàn)樵趯?shí)際生活中，常常需要從一組測(cè)量數(shù)據(jù)中找出一定規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而得出一些有利的結(jié)論，所以分析數(shù)據(jù)是必不可少，最小二乘法的曲線擬合是數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化的重要的方式之一。用最小二乘法擬合數(shù)據(jù)大概分為兩類(lèi)：線性擬合和非線性擬合。一般先測(cè)量數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)平面上描出散點(diǎn)圖，看一看散點(diǎn)同哪類(lèi)曲線圖形接近,然后選用相近的線性或非線性的曲線去擬合數(shù)據(jù)，非線性的曲線再通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性擬合問(wèn)題，進(jìn)而用matlab編寫(xiě)程序求出擬合函數(shù)表達(dá)式。關(guān)鍵字：線性擬合，最小二乘法，matlab軟件，M文件二、應(yīng)用計(jì)算方法的基本原理1.最小二乘法線性擬合1.1.算法描述在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常需要從一組測(cè)量數(shù)據(jù)中找出實(shí)驗(yàn)規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，用最小二乘法擬合數(shù)據(jù)是常用的數(shù)學(xué)方法。最小二乘法擬合就是在一類(lèi)曲線①中求一曲線(PCO,使之被擬合曲線f(x)在節(jié)點(diǎn)□,???,&的誤差平方和<p(%i)]2最小。設(shè)定數(shù)據(jù)組(%u7i)(i=1,2,…，n),(PqM,010),…，(pm(x)為已知的一組[a,可上線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，選取近視函數(shù)為：<P(x)=aoPoO)+5010)+…+(pm(%)(1)k^On=gbzi-血)]k^On=gbzi-血)]2屮i^l工5少一<pUi)]2=》◎汛2)i=1其中，>0(i=1,2,-,71)為權(quán)系數(shù)；H為0000,01(%)，???,%!(%)的線性組合的全體，特別的可取<p(x)=xk(k=0ll,-,m)o必-工訕上(戀)k=0由于gj)為已知，故可令：必-工訕上(戀)k=01=1①(為,"…，?“)=》5少一<pUi)]2=》◎1=1(3)曰日即可將上述數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題歸結(jié)為求多元函數(shù)的極值問(wèn)題。要使得①(a。,a.…，偽“)取極小值，則a。,…，偽“必須滿足條件:訂=o(j=0乙…，m)Udj(j=0丄…，m)(j=0丄…，m)n=啊(匕)(/=0,1,…小)1^1n=啊(匕)(/=0,1,…小)1^1m「n工阪》5%(兀)Q(兀)k^OL^l⑷令n@k,⑺)=》3%g<pja)1=1

（y?）=》3以竹（兀）逾別嘲示成甌舸步式:.（y?）=》3以竹（兀）逾別嘲示成甌舸步式:.l=t（po,（pQ

@1,00）（甲1，01）…@皿加）?????????Wm40）@加0）????0'■■■^n.O"o)?①0)■由處（x）伙=0丄…，n）線性無(wú)關(guān)可導(dǎo)出（5）中的系數(shù)矩陣非奇異，即方程組（4）的解存在唯一，即a。衛(wèi)1,…gm存在且唯一，可求得擬合函數(shù):<pU)=QoOo(x)+ai(pi(x)+???+am(pm(%)1.2.誤差估計(jì)在最小二乘法數(shù)據(jù)擬合曲線算法中，一般取2-范數(shù)作為總體誤差，即最小二乘法數(shù)據(jù)擬合曲線算法中誤差—8=l|e||2=2.最小二乘法非線性擬合71=1￡分=工［）勺_8=l|e||2=2.最小二乘法非線性擬合71=1一些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)分布需要用非線性的函數(shù)屮（兀）去擬合，一般先測(cè)量數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)平面上描出散點(diǎn)圖，看一看散點(diǎn)同哪類(lèi)曲線圖形接近，然后選用相近的曲線擬合方程，再通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性擬合問(wèn)題，按線性擬合解出后再還原為原變量所表示的嚇擬合8=l|e||2=解出后再還原為原變量所表示的嚇擬合8=l|e||2=可銀作為總體誤差，即:工分=足少-血）］2i=l三、例題計(jì)算結(jié)果1.最小二乘法線性擬合1.1.設(shè)從某一實(shí)驗(yàn)中測(cè)的兩個(gè)變量X和y的一組數(shù)據(jù)如下所示:■112345689X134568910xxy1054211234求該數(shù)據(jù)的擬合多項(xiàng)式及其誤差。解：首先利用matlab畫(huà)出數(shù)據(jù)分布趨勢(shì)圖（詳細(xì)見(jiàn)程序1）,如下圖：宙Figure1由上圖觀察可知，可建立的擬合函數(shù)丫=Qo+5%+^2*利用matlab求得擬合函數(shù):y=13.4597-3.6053%+0.2676%2誤差：5=||e||2=1.0056擬合圖像如下：hSFigure1o2.最小二乘法非線性擬合2.1.求下列數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)：X0.10.20.30.40.50.60.70.80.91y2.744.505.355.655.906.106.266.396.506.59首先利用matlab畫(huà)出數(shù)據(jù)分布趨勢(shì)圖（詳細(xì)見(jiàn)程序1）,如下圖:由上圖觀察可知，可建立的擬合函^y=a+-則等式兩邊同時(shí)乘以兀得xy=b+ax利用matlab求得擬合函數(shù)中b=-0.5119a=7.0367故擬合函數(shù)為：y=7.0367-更竺X擬合圖像如下：aaFigure1nx四、總結(jié)及心得體會(huì)最小二乘法是指使因變量估計(jì)值與實(shí)測(cè)值間的相對(duì)誤差平方和為最小。通過(guò)此次課程設(shè)計(jì)，能夠運(yùn)用最小二乘法原理來(lái)擬合數(shù)據(jù)間的線性和非線性關(guān)系,并求出數(shù)學(xué)表達(dá)式。但求解過(guò)程中也存在舍入誤差和數(shù)據(jù)在運(yùn)算中形成的矩陣奇異，從而所得結(jié)果可能不準(zhǔn)確。五、參考文獻(xiàn)[1].杜廷松.數(shù)值分析及實(shí)驗(yàn)[M].北京：科學(xué)出版社，2012.[2].熊慶如.MATLAB基礎(chǔ)與應(yīng)用[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014.六、附錄程序M文件：%將轉(zhuǎn)置后的矩陣%將轉(zhuǎn)置后的矩陣b內(nèi)元素的(k-l)fundion[a,w]=ff(x,y,m)n=length(x);d=0;t二zeros(1,m+1);

b二zeros(n,m+1);fork=l：m+lb(:,k)=x?「(k-1);%計(jì)算出x的長(zhǎng)度%將上賦為1行m+1列的零矩陣%將1)賦為n行m+1列的零矩陣%計(jì)算出x%計(jì)算出x在所求擬合函數(shù)的值%計(jì)算出衣=||e||^%計(jì)算出誤差6=11e||2end幕賦為矩陣的第k列的元素S二b'*b:%利用矩陣b計(jì)算出s=^=Qxl+kt二b'*y';%利用矩陣b,計(jì)算出t=Xi=oy^a二(inv(s)*t)'利用sXXk=oak=上計(jì)算出系數(shù)af二zeros(1,n);%將f賦為1行n列的零矩陣fori=0:1:me=a(i+l)*(x.'i);f二e+f;endfori=l:ng=(f(i)-y(i))*2;d=g+d:endw二sqrt(d);命令行：程序1：?x=[l345678910];?y=[1054211234];>>plot(x,y/o')?m二2;>>[a,w]=ff(x,y,m)a二13.4597-3.60530.2676w二1.0056程序2：?x=0.1:0.1: