青島版八年級數(shù)學(xué)下冊 （勾股定理的逆定理）教育教學(xué)課件

勾股定理的逆定理

（1）探索并證明勾股定理的逆定理。（2）能運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷已知三邊長度的三角形是不是直角三角形.（3）能靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解綜合題。（4）體會數(shù)形結(jié)合的思想.學(xué)習(xí)目標(biāo)：還記得勾股定理嗎？直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。逆命題：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。古埃及人是怎樣確定一個(gè)直角的？探索勾股定理的逆定理據(jù)說古埃及人曾經(jīng)用下圖的方法做直角：把一根長繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后以3個(gè)結(jié)、4個(gè)結(jié)、5個(gè)結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個(gè)三角形，他們認(rèn)為其中一個(gè)角便是直角．你知道為什么嗎？45請同學(xué)們觀察,這個(gè)三角形的三條邊有什么關(guān)系嗎?324252+=直角三角形是不是所有三條邊符合a2+b2=c2

的三角形都是直角三角形呢？3∴∠C

=∠C＇=900∴△ABC≌△A＇B＇C＇（SSS）已知:在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2求證:△ABC是直角三角形證明:作一個(gè)Rt△A＇B＇C＇,使∠C＇=900,B＇C＇=BC=a,A＇C＇＝AC=b∴A＇B＇=∴△ABC是直角三角形abB'C'A'acbBCAa

b

c勾股定理的逆定理∵a2+b2=c2

∴ΔABC為直角三角形如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。三角形ABC中∠A、∠B、∠C的對應(yīng)邊分別為a,b,c，以這三條邊為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？(1)a=25，b=20，c=15_________;(2)a=13，b=14，c=15_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是是∠A=900∠B=900∠C=900(3)a=1b=2c=_________;檢測一自學(xué)例2例題精講變式：如圖，四邊形ABCD中，∠A＝900，AB＝3，BC＝13，CD＝12，AD＝4,求四邊形ABCD的面積?BADCS四邊形ABCD=36檢測二如圖：邊長為4的正方形ABCD中，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，且CE=BC，則AF⊥EF，試說明理由。解：連接AE∵ABCD是正方形，邊長是4，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，EC=1/4BC∴根據(jù)勾股定理，在Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25∴AD=4，DF=2，F(xiàn)C=2，EC=1∴AE2=EF2+AF2∴∠AEF=90°即AF⊥EF小結(jié)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？1.如果線段a,b,c能組成直角三角形,則它們的比可能是()3:4:7;B.5:12:13;C.1:2:4;D.1:3:5.將直角三角形的三邊的長度擴(kuò)大同樣的倍數(shù),則得到的三角形是()是直角三角形;B.可能是銳角三角形;C.可能是鈍角三角形;D.不可能是直角三角形.BA當(dāng)堂檢測三角形的三邊分別是a,b,c,且滿足等式(a+b)2-c2=2ab,則此三角形是:()A.直角三角形;B.是銳角三角形;是鈍角三角形;D.是等腰直角三角形.已知?ABC中BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為_______三角形,______是最大角.A直角∠A

仔細(xì)閱讀課本P58頁史海漫游，并回答以下問題：什么是勾股數(shù)組。

課外拓展

滿足a2+b2=c2

的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).3，4，5；5，12，13；6，8，10；10，24，26；9，12，15；7，24，25；8，15，17；9，40，41；常見的勾股數(shù)組......17.2勾股定理的逆定理

溫故知新勾股定理應(yīng)用

如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．勾股定理

在直角三角形中，由已知邊的長求未知邊的長推進(jìn)新課知識點(diǎn)1互逆命題

據(jù)說，古埃及人曾用結(jié)繩的方法畫直角.按照這種做法真能得到一個(gè)直角三角形嗎？古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13個(gè)等距的結(jié),把一根繩子分成等長的12段,然后以3個(gè)結(jié)，4個(gè)結(jié)，5個(gè)結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角。345三邊分別為3，4，5，滿足關(guān)系：32+42=52，則該三角形是直角三角形．畫一畫：下列各組數(shù)中的兩數(shù)平方和等于第三數(shù)的平方，分別以這些數(shù)為邊長畫出三角形(單位：cm).①2.5，6，6.5；

②5，12，13；

探究它們是什么三角形？勾股定理的逆命題

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三邊長a、b、c滿足那么這個(gè)三角形是直角三角形.a2+b2=c2互逆命題

我們把像這樣，題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.

小結(jié)知識點(diǎn)2勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理正確嗎？

如何證明呢？思考A'

B'

C'

A

B

C

abca已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求證:△ABC是直角三角形A

B

C

abcA'

B'

C'

a證明:畫一個(gè)△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.∵∠C'=90°，∴A'B'2=a2+b2=c2，∴A'B'=c.∴△ABC

≌△A'B'C'（SSS）.∴∠C=∠C'=90°.BC=a=B'C'，CA=b=C'A'，AB=c=A'B'.在△ABC和△A'B'C'中勾股定理的逆命題

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三邊長a、b、c滿足那么這個(gè)三角形是直角三角形且邊C所對的角為直角.a2+b2=c2互逆命題逆定理定理定理與逆定理如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理稱為互逆定理,其中一個(gè)定理稱另一個(gè)定理的逆定理.

小結(jié)直角三角形勾股定理勾股定理的逆定理：直角三角形判定直角三角形的依據(jù)之一識別對錯(cuò)在△ABC中，a=9，b,=15，c=12，試判斷△ABC是否為直角三角形.解：∵a2+b2=92+152=306,c2=122=144

∴a2+b2≠c2，△ABC不是直角三角形.注意：由勾股定理的逆定理，判斷三角形是不是直角三角形，要看兩條較小邊的平方和是否等于最大邊的平方。例1判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.例題解析(3)a=1b=2c=解：(1)

∵152+82=225+64=289，

172=289，∴152+82=172.∴以15,8,17為邊長的三角形是直角三角形．（1）a=15，b=8，c=17

像15,8,17,能夠成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).解：(2)

∵132+142=169+196=365，

152=225，∴132+142≠152.∴這個(gè)三角形不是直角三角形．（2）a=13，b=14，c=15.13ABCDABCD34512例2一個(gè)零件的形狀如左圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角。工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如右圖所示，這個(gè)零件符合要求嗎？例題解析隨堂演練1.判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形，如果是，指出直角。（1）a=7,b=24,c=25;（2）a=,b=4,c=5;（3）a=,b=1,c=;（4）a=40,b=50,c=60.2．△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c下列判斷錯(cuò)誤的是（）A.如果∠C-∠B=∠A，則△ABC是直角三角形.B.如果a2+c2=b2,則△ABC是直角三角形，且∠C=90°C.如果(c-a)(c+a)=b2，則△ABC是直角三角形.D.∠A:∠B:∠C=5:2:3，則△ABC是直角三角形.2.如果三條線段長a,b,c滿足a2=c2-b2，這三條線段組成的三角形是不是直角三角形？為什么？解：這三條線段組成的三角形是直角三角形.因?yàn)橛蒩2=c2-b2，所以有a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理知這個(gè)三角形是直角三角形.隨堂演練BA、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等邊三角形3.隨堂演練4.說出下列命題的逆命題.這些逆命題成立嗎？（1）兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；（1）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；成立（2）如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等；不成立隨堂演練說出下列命題的逆命題.這些逆命題成立嗎？（3）全等三角形的對應(yīng)角相等；（4）在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.（3）對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等；不成立（4）角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；成立隨堂演練課堂小結(jié)1、勾股定理的逆定理2、什么叫做互逆命題、原命題與逆命題3、什么稱為互為逆定理。解：由題意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0.5.已知a、b、c是△ABC的三邊長，且滿足

，試判斷△ABC的形狀.當(dāng)a=b時(shí)，△ABC為等腰三角形;當(dāng)a≠b時(shí)，△ABC為直角三角形.思維訓(xùn)練思維訓(xùn)練6.7.如果△ABC的三邊分別為a、b、c且滿足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判定△ABC的形狀.思維訓(xùn)練知識點(diǎn)3用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題例3如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時(shí)航行16nmile，“海天”號每小時(shí)航行12nmile.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q、R處，且相距30nmile.如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個(gè)方向航行嗎？分析：1.求“海天”號的航向就是求

的角度.∠22.已知∠1的角度，則求出∠RPQ的角度即可.3.根據(jù)已知條件可求出三邊，利用勾股定理的逆定理判斷∠RPQ是否為直角.解：根據(jù)題意，PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.因?yàn)?42+182=302，即