同濟(jì)版-高等數(shù)學(xué)(上冊)-第一章課件

第一章人民郵電出版社e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics函數(shù)、連續(xù)與極限高等數(shù)學(xué)第一章人民郵電出版社e7d195523061f1c01da51e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內(nèi)容導(dǎo)航第一章第二節(jié)數(shù)列的極限定義與計(jì)算第三節(jié)函數(shù)的極限定義與計(jì)算第四節(jié)極限的證明與性質(zhì)第五節(jié)兩個(gè)重要極限第六節(jié)無窮小的概念與比較第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)第一節(jié)

集合與函數(shù)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac2課前導(dǎo)讀集合

習(xí)慣上，用大寫英文字母

表示集合，用小寫字母

表示集合的元素.

3具有某種確定性質(zhì)的對象的全體稱為集合（簡稱集），組成集合的個(gè)別對象稱為集合的元素.

表示

是集

的元素（讀作

屬于

），

表示

不是集

的元素（讀作

不屬于

）.

集合按照元素的個(gè)數(shù)分為有限集和無限集

，不含任何元素的集合稱為空集，記為

.課前導(dǎo)讀集合是B的子集

,或稱B包含A,集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義

.則稱A若且則稱A

與B

相等,若設(shè)有集合記作記作必有是B的子集,或稱B包含A,集合之間的關(guān)系及運(yùn)4一、集合的概念

我們把自然數(shù)的全體組成的集合稱為自然數(shù)集，記作.由整數(shù)的全體構(gòu)成的集合稱為整數(shù)集，記為.

用

表示全體有理數(shù)構(gòu)成的有理數(shù)集，

表示全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的實(shí)數(shù)集.顯然有.

注：

在本書中所討論的數(shù)集除特別說明外均為實(shí)數(shù)集.一、集合的概念我們把自然數(shù)的全體組成的集合稱1.集合及其運(yùn)算

由同時(shí)包含于

與

的元素構(gòu)成的集合（見圖

1-2），稱為

與的交集（簡稱交），記作

，即

且

；

由包含于

或包含于

的所有元素構(gòu)成的集合（見圖

1-3），稱為與

的并集（簡稱并），記作

，即

或

；集合的基本運(yùn)算有四種：并、交、差、補(bǔ).設(shè)

是兩個(gè)集合.圖1-2圖1-31.集合及其運(yùn)算由同時(shí)包含于與1.集合及其運(yùn)算

由包含于

但不包含于

的元素構(gòu)成的集合（見圖

1-4），稱為

與

的差集（簡稱差），記作

，即

且

；

特別地，若我們所討論的問題在某個(gè)集合（稱為基本集或全集，一般記為

）中進(jìn)行，圖1-4圖1-5集合

是

的子集（見圖

1-5），此時(shí)稱

為

的余集（或補(bǔ)集），記作

或.1.集合及其運(yùn)算由包含于但不包含1.集合及其運(yùn)算關(guān)于集合的余集，我們有如下性質(zhì).性質(zhì)1（對偶性質(zhì)）設(shè)

是一個(gè)基本集，

是它的兩個(gè)子集，則01OPTION02OPTION1.集合及其運(yùn)算關(guān)于集合的余集，我們有如下性質(zhì).01OPT1.集合及其運(yùn)算

設(shè)

是兩個(gè)非空的集合，則由有序數(shù)對

組成的集合稱為

與

的直積.例如：設(shè)

即為

面上全體點(diǎn)的集合，

常記作

.圖1-6則

，如圖

1-6所示.

除了集合的四種基本運(yùn)算，我們還可以定義兩個(gè)集合的乘積.1.集合及其運(yùn)算設(shè)是兩個(gè)非空2.區(qū)間數(shù)集稱為開區(qū)間，記作（見圖1-7），即和稱為開區(qū)間的端點(diǎn)，其中為左端點(diǎn)，為右端點(diǎn)，且，

.類似地，數(shù)集稱為閉區(qū)間，記作（見圖1-8），

圖1-7設(shè)和都是實(shí)數(shù)，且，圖1-8和也稱為閉區(qū)間的端點(diǎn)，且，.abx(a,b)[a,b]abx2.區(qū)間數(shù)集稱2.區(qū)間數(shù)集及稱為半開區(qū)間，分別記作和(見圖1-9和圖1-10）.以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間，數(shù)稱為這些區(qū)間的長度.從數(shù)軸上看，這些區(qū)間是長度為有限的線段.圖1-9圖1-10[a,b)(a,b]abxabx2.區(qū)間數(shù)集及2.區(qū)間這些區(qū)間在數(shù)軸上表示長度無限的半直線，如圖1-11~1-14所示.圖1-11此外，對于這樣的集合：，，，，我們引進(jìn)記號（讀作正無窮大）及（讀作負(fù)無窮大），則可類似的表示無限的半開區(qū)間或開區(qū)間：圖1-12圖1-13圖1-14全體實(shí)數(shù)的集合也記作，它也是無限的開區(qū)間.

abx

axbxbx2.區(qū)間這些區(qū)間在數(shù)軸上表示長度無限的半直線，如圖1-113.鄰域圖1-15設(shè)與為兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，數(shù)集稱為點(diǎn)的鄰域，記作

，即，其中稱作的中心，稱作的半徑.因此，也就是開區(qū)間.見圖1-15，顯然，這個(gè)開區(qū)間以點(diǎn)為中心，而長度為.

+在數(shù)軸上，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離，因此點(diǎn)的鄰域

在數(shù)軸上就表示與點(diǎn)距離小于的點(diǎn)的全體.由于等價(jià)于，即，所以3.鄰域圖1-15設(shè)與為兩個(gè)實(shí)數(shù)，且3.鄰域有時(shí)用到的鄰域需要將鄰域中心去掉（見圖1-16），點(diǎn)的鄰域去掉中心后，稱為點(diǎn)的去心

鄰域，記作，即這里就表示

.為了方便，有時(shí)將開區(qū)間稱為的左鄰域，而將開區(qū)間稱為

的右鄰域.如果不強(qiáng)調(diào)半徑，以點(diǎn)為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn)的鄰域，記作.-+圖1-163.鄰域有時(shí)用到的鄰域需要將鄰域中心去掉（見圖1-16），二、常用函數(shù)(α

是常數(shù))y=xyy=x2

x11oy=x3(1,1)

圖1-171.基本初等函數(shù)當(dāng)時(shí)，的定義域是；(１)冪函數(shù):當(dāng)時(shí)，的定義域是；當(dāng)時(shí)，的定義域是（見圖1-17）；當(dāng)時(shí)，的定義域是,冪函數(shù)的最小定義域是.二、常用函數(shù)(2)指數(shù)函數(shù):1.基本初等函數(shù)(2)指數(shù)函數(shù):1.基本初等函數(shù)16(３)對數(shù)函數(shù):1.基本初等函數(shù)yx1Oyx1O(a>1)(0<a<1)圖1-20圖1-21當(dāng)時(shí)，

是單調(diào)減少函數(shù)(見圖1-21).當(dāng)時(shí)的對數(shù)函數(shù)記為，稱為自然對數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù)的定義域是,其圖像位于

軸的右方且通過點(diǎn)..當(dāng)

時(shí)，是單調(diào)增加函數(shù)(見圖1-20)；(３)對數(shù)函數(shù):1.基本初等函數(shù)yx1Oyx1O(a1.基本初等函數(shù)對數(shù)具有以下運(yùn)算性質(zhì)：對任意的，,（i）（ii）（iii）和互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線對稱，且有，進(jìn)一步，我們在以后的計(jì)算中經(jīng)常會用到和.1.基本初等函數(shù)對數(shù)具有以下運(yùn)算性質(zhì)：對任意的（4）.三角函數(shù)正弦函數(shù)1.基本初等函數(shù)（4）.三角函數(shù)正弦函數(shù)1.基本初等函數(shù)19余弦函數(shù)1.基本初等函數(shù)余弦函數(shù)1.基本初等函數(shù)201.基本初等函數(shù)的定義域是，值域是，最小正周期是π

，在定義域上是奇函數(shù)（見圖1-24）；圖1-24圖1-25的定義域是，值域是，最小正周期是π，在定義域上是奇函數(shù)（見圖1-25）；-ππ2π3π

x﹣ππ2π3π

xyy

1.基本初等函數(shù)的定義域是1.基本初等函數(shù)正割、余割函數(shù)與余弦、正弦函數(shù)的關(guān)系式為1.基本初等函數(shù)正割、余割函數(shù)與余弦、正弦函數(shù)的關(guān)系式為正割函數(shù)1.基本初等函數(shù)正割函數(shù)1.基本初等函數(shù)23余割函數(shù)1.基本初等函數(shù)余割函數(shù)1.基本初等函數(shù)241.基本初等函數(shù)(５)反三角函數(shù)定義１在區(qū)間上的正弦函數(shù)的反函數(shù)記作，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，稱為反正弦函數(shù)(見圖1-26).yπ2π211Ox圖1-26

1.基本初等函數(shù)(５)反三角函數(shù)定義域?yàn)?.基本初等函數(shù)定義2在區(qū)間上的余弦函數(shù)的反函數(shù)記作，圖1-27定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，稱為反余弦函數(shù)(見圖1-27).y=arccosx,

[1,1]yπ-11Ox1.基本初等函數(shù)定義2在區(qū)間上的余弦函1.基本初等函數(shù)定義3在區(qū)間上的正切函數(shù)的反函數(shù)記作，圖1-28定義域?yàn)?，值域?yàn)?，稱為反正切函數(shù)(見圖1-28).1.基本初等函數(shù)圖1-28定義域?yàn)橥瑵?jì)版-高等數(shù)學(xué)(上冊)-第一章課件28同濟(jì)版-高等數(shù)學(xué)(上冊)-第一章課件292.幾類特殊的函數(shù)例1

函數(shù)，其中C

為某確定的常數(shù).它的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，它的圖形是一條平行于x

軸的直線(見圖1-30)，這個(gè)函數(shù)稱為常數(shù)函數(shù).Oxy圖1-30例2

函數(shù)的定義域?yàn)椋涤?，它的圖形如圖1-31所示，這個(gè)函數(shù)稱為絕對值函數(shù).Oxyxy=圖1-312.幾類特殊的函數(shù)例1函數(shù)，其中C為某確2.幾類特殊的函數(shù)例3

函數(shù)的定義域?yàn)?，值域，它的圖形如圖1-32所示,這個(gè)函數(shù)稱為符號函數(shù).xy1Oy=sgnx-1圖1-322.幾類特殊的函數(shù)例3函數(shù)2.幾類特殊的函數(shù)例4設(shè)為任一實(shí)數(shù)，比如，，，,-2-10123-1-212y=[x]xy圖1-33

函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

，值域?yàn)檎麛?shù)集，它的圖形如圖1-33所示.

不超過的最大整數(shù)稱為的整數(shù)部分，記作.可以看出，它的圖形在的整數(shù)值處出現(xiàn)跳躍，而躍度為１，這個(gè)函數(shù)稱為取整函數(shù).一般地，有

，當(dāng)2.幾類特殊的函數(shù)例4設(shè)為任一實(shí)數(shù)，比如，2.幾類特殊的函數(shù)在例２、例３等例子中看到，有時(shí)一個(gè)函數(shù)要用幾個(gè)式子表示，這種自變量在不同變化范圍中，對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).

分段函數(shù)在實(shí)際問題中經(jīng)常出現(xiàn)，我們應(yīng)重視對它的研究.2.幾類特殊的函數(shù)在例２、例３等例子中看到，有時(shí)一個(gè)函數(shù)2.幾類特殊的函數(shù)例5

函數(shù)

是一個(gè)分段函數(shù),

它的定義域

.當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值；當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值.它的圖形如圖1-34所示.例如，則；

，則.yy=f(x)y=x-1－1O1y=x3x1圖1-342.幾類特殊的函數(shù)例5函數(shù)3.初等函數(shù)我們把由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次函數(shù)復(fù)合所構(gòu)成的，

并可以用一個(gè)算式表示的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù).例如都是初等函數(shù)，本書中討論的函數(shù)基本上都是初等函數(shù).3.初等函數(shù)我們把由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算3.初等函數(shù)例6

設(shè)，求和.解01OPTION02OPTION03OPTION3.初等函數(shù)例6設(shè)3.初等函數(shù)例７求函數(shù)的定義域.解

所給函數(shù)由復(fù)合而成.從而，

的定義域是，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?即，解這個(gè)關(guān)于的不等式，得，3.初等函數(shù)例７求函數(shù)3.初等函數(shù)例8

設(shè)的定義域是，求的定義域.解

函數(shù)

由復(fù)合而成.因?yàn)?/p>

的定義域?yàn)椋?/p>

因此，開區(qū)間

的并即為

的定義域.即.故必有的值域是，3.初等函數(shù)例8設(shè)的定義域是e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內(nèi)容導(dǎo)航第一章第一節(jié)集合與函數(shù)第三節(jié)函數(shù)的極限定義與計(jì)算第四節(jié)極限的證明與性質(zhì)第五節(jié)兩個(gè)重要極限第六節(jié)無窮小的概念與比較第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)第二節(jié)數(shù)列的極限定義與計(jì)算e7d195523061f1c01da5a1f0837ac2課前導(dǎo)讀40數(shù)列

:我們把這無窮多個(gè)數(shù)排成的序列稱為數(shù)列，其中稱為數(shù)列的首項(xiàng)，稱為數(shù)列的第n

項(xiàng)，或稱為數(shù)列的一般項(xiàng)(通項(xiàng)).等差數(shù)列

:公差，通項(xiàng)公式為，前n項(xiàng)求和公式為.等比數(shù)列

:公比，通項(xiàng)公式為，前n項(xiàng)求和公式為.課前導(dǎo)讀40數(shù)列:40一、數(shù)列極限的概念一尺之棰，日取其半，萬世不竭.———?莊子·天下篇?一尺長的木棍，每天截掉一半，每天截取的長度按照天數(shù)可排成一個(gè)數(shù)列:１.數(shù)列極限的引入

數(shù)列的通項(xiàng)為，當(dāng)無限增大(記作，讀作趨于無窮大)時(shí)，

在數(shù)學(xué)上稱這個(gè)確定的數(shù)0

是數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限.無限接近一個(gè)確定的數(shù)0.

一、數(shù)列極限的概念一尺之棰，日取其半，萬世不竭.一尺長的１.數(shù)列極限的引入解決實(shí)際問題時(shí)，

經(jīng)常用到極限方法.極限方法作為高等數(shù)學(xué)中的一種基本方法，很有必要做進(jìn)一步詳細(xì)的討論.先看下面的４個(gè)數(shù)列.，，，…，，…;，，，…，，…;，，，…，，…;，，，…，，…;（2）（1）（4）（3）它們的一般項(xiàng)依次為，，，.１.數(shù)列極限的引入解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常用到極限方法.１.數(shù)列極限的引入在幾何上，數(shù)列

可看作數(shù)軸上的一個(gè)動點(diǎn)，如圖1-35所示，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)，，，，…x3x2

x1x4x5x6xnx圖1-35按函數(shù)的定義，數(shù)列

可看作自變量為正整數(shù)的函數(shù)，即，它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量依次取時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列.１.數(shù)列極限的引入在幾何上，數(shù)列可看作數(shù)軸上１.數(shù)列極限的引入現(xiàn)在我們所關(guān)心的問題是:(１)給定一個(gè)數(shù)列后，該數(shù)列的變化趨勢如何？

隨著的無限增大，能否無限接近某個(gè)常數(shù)?(２)如果能無限接近某個(gè)確定的數(shù)，則該常數(shù)是多少?

數(shù)列(４)的一般項(xiàng)

將無限接近于常數(shù)1.

可以看出，在前面所列的4

個(gè)數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，

數(shù)列(１)的一般項(xiàng)將無限接近于常數(shù)0.而數(shù)列(２)的一般項(xiàng)卻在無限增大，

它不接近于任何確定的數(shù)值.數(shù)列(３)的一般項(xiàng)始終交替地取值為1和-1，不接近于任何確定的數(shù)值.據(jù)此，我們可以認(rèn)為，數(shù)列(１)和(４)是“有極限”的，而數(shù)列(２)和(３)是“無極限”的.１.數(shù)列極限的引入現(xiàn)在我們所關(guān)心的問題是:數(shù)列(４)的１.數(shù)列極限的引入從上述各例觀察可以看到，數(shù)列的一般項(xiàng)變化趨勢有兩種情況:無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)和不接近于任何確定的常數(shù).這樣就可以得到數(shù)列的描述性定義.如果當(dāng)數(shù)列

的項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，它的一般項(xiàng)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)，記作或則稱為數(shù)列

的極限.此時(shí)也稱數(shù)列

收斂于，例如，.１.數(shù)列極限的引入從上述各例觀察可以看到１.數(shù)列極限的引入如果當(dāng)數(shù)列

的項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，

它的一般項(xiàng)不接近于任何確定的常數(shù)，則稱數(shù)列

沒有極限，或稱數(shù)列

發(fā)散，習(xí)慣上記作不存在.例如，不存在.

例如.當(dāng)數(shù)列

的項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，如果也無限增大，則數(shù)列

沒有極限.此時(shí)，習(xí)慣上也稱數(shù)列

的極限是無窮大，記作.，１.數(shù)列極限的引入如果當(dāng)數(shù)列2.數(shù)列極限的定義在上述極限的描述性定義中，我們都是用“無限增大”和“無限接近”來描述極限概念的.為了給極限一個(gè)精確的定義，關(guān)鍵是要給予“無限增大”和“無限接近”以定量的刻畫.一般來說，兩個(gè)數(shù)a、b

的接近程度可用b-a

來度量.

我們以數(shù)列為例.2.數(shù)列極限的定義在上述極限的描述性定義中，我們都是用“2.數(shù)列極限的定義考慮，顯然，越大，就越“接近”1.這個(gè)數(shù)1就是的極限.

只要足夠大，就可以小于任何給定的正數(shù).這時(shí)，，…均能使不等式成立.如果要求，即，只要，這時(shí)，，…均能使不等式成立.同樣，如果要求，即，只要，一般地，不論給定的正數(shù)

多么小，總存在一個(gè)正整數(shù)，使得對于

時(shí)的一切，不等式

均成立，這就是數(shù)列

當(dāng)時(shí)無限“接近”于1的精確刻畫，2.數(shù)列極限的定義考慮2.數(shù)列極限的定義設(shè)為一數(shù)列，定義如果這樣的常數(shù)不存在，就稱數(shù)列沒有極限，或稱數(shù)列發(fā)散.

，或.或者稱數(shù)列

收斂于，記作如果存在一個(gè)常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)，總存在一個(gè)正整數(shù)，使得對于

時(shí)的一切，不等式

均成立，則稱常數(shù)

是數(shù)列

的極限，2.數(shù)列極限的定義設(shè)為一數(shù)列，定義如2.數(shù)列極限的定義我們用“”表示“任意的”，用“”表示“存在”，就可以用更簡潔的語言來描述數(shù)列的極限.如果

，，當(dāng)

時(shí)，恒有，則.

注

(１)定義中，

刻畫了和的接近程度，的“任意”性極其重要.只有這樣，

才能體現(xiàn)和的“無限接近”；

(２)正整數(shù)與任意給定的正數(shù)

有關(guān).對于給定的

，相應(yīng)的不是唯一的，即只要其存在，并沒有要求其達(dá)到最小；(３)由定義也可看出，的極限是否存在僅與它的發(fā)展趨勢有關(guān).只要從某項(xiàng)開始，

即可，與前有限項(xiàng)的變化無關(guān).2.數(shù)列極限的定義我們用“”表示“任若在數(shù)軸上標(biāo)出，，…，，…及，2.數(shù)列極限的定義下面給出“數(shù)列

的極限為”的幾何解釋.數(shù)列極限幾何解釋再作的

鄰域(見圖1-36)，就會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)

時(shí)，點(diǎn)均落在內(nèi)，至多有有限個(gè)(個(gè))落在外.a-2a+

圖1-36若在數(shù)軸上標(biāo)出，，…，，…及，2.2.數(shù)列極限的定義例１

已知，證明.必須指出，數(shù)列的定義可用于驗(yàn)證是數(shù)列

的極限，但卻無法用于求極限.要使證明，即，故數(shù)列

的極限為0，取，則當(dāng)

時(shí)，恒有，即2.數(shù)列極限的定義例１已知，證明2.數(shù)列極限的定義例2

已知，證明.證明,即，由例2的證明可以發(fā)現(xiàn)：對于任意的，都有.請感興趣的讀者自行證明.(不妨設(shè)，想想為什么可以這樣假設(shè).)要使恒有，等式兩端同時(shí)取對數(shù)，，從而，取，則當(dāng)

時(shí)，故數(shù)列

的極限為0，即2.數(shù)列極限的定義例2已知，證明二、數(shù)列極限的計(jì)算極限的定義只能用來驗(yàn)證極限，而不能計(jì)算數(shù)列的極限，所以下面給出數(shù)列極限的運(yùn)算法則.定理(數(shù)列極限的運(yùn)算法則)

若，，則

；(加減法則)（1）

；(乘法法則)（2）

；(交換法則)（3）

；(除法法則)（4）定理的證明見第一章第四節(jié).二、數(shù)列極限的計(jì)算極限的定義只能用來驗(yàn)證極限二、數(shù)列極限的計(jì)算例3求下列函數(shù)的極限：（1）（3）（5）（2）（4）（6）二、數(shù)列極限的計(jì)算例3求下列函數(shù)的極限：（1）（3）（5）二、數(shù)列極限的計(jì)算解(１)將分子、分母同時(shí)除以，則有（1）題二、數(shù)列極限的計(jì)算解(１)將分子、分母同時(shí)除以，二、數(shù)列極限的計(jì)算（2）利用等差數(shù)列求和公式，可得解（2）題二、數(shù)列極限的計(jì)算（2）利用等差數(shù)列求和公式，可得解（2）二、數(shù)列極限的計(jì)算解（3）（3）題利用數(shù)列的交換法則，可得二、數(shù)列極限的計(jì)算解（3）（3）題利用數(shù)列的交換法則，可得（4）二、數(shù)列極限的計(jì)算題（4）解

（4）二、數(shù)列極限的計(jì)算題（4）解

二、數(shù)列極限的計(jì)算解（5）（5）題先將分子有理化，再利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則，可得二、數(shù)列極限的計(jì)算解（5）（5）題先將分子有理化，再利用數(shù)列二、數(shù)列極限的計(jì)算題（6）（6）解利用等比數(shù)列求和公式，可得二、數(shù)列極限的計(jì)算題（6）（6）解利用等比數(shù)列求和公式，可e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內(nèi)容導(dǎo)航第一章第一節(jié)

集合與函數(shù)第二節(jié)數(shù)列的極限定義與計(jì)算第四節(jié)極限的證明與性質(zhì)第五節(jié)兩個(gè)重要極限第六節(jié)無窮小的概念與比較第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)第三節(jié)函數(shù)的極限定義與計(jì)算e7d195523061f1c01da5a1f0837ac2課前導(dǎo)讀63這一節(jié)介紹函數(shù)極限的定義.在前一節(jié)，我們探討了數(shù)列的極限.數(shù)列的通項(xiàng)可以看成一類特殊的函數(shù)，本節(jié)將介紹自變量趨于無窮大（）和自變量趨于固定值

（）時(shí)的兩種函數(shù)的極限.

那么數(shù)列極限就變成了，這里.

如果我們把函數(shù)的定義域擴(kuò)充到，那么就變成了函數(shù)的極限.課前導(dǎo)讀63這一節(jié)介紹函數(shù)極63播放一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限播放一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限64一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限65一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限66一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限67一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限68一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限69一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限70一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限71一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限72一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限73一、自變量趨于無窮大時(shí)的極限一般地，我們假設(shè)函數(shù)

在(為某一正數(shù))時(shí)有定義，，或.

定義１

如果在過程中，對應(yīng)的函數(shù)值

無限接近確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)

當(dāng)時(shí)的極限.精確地說，就有如下定義.設(shè)函數(shù)

當(dāng)大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)滿足不等式時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式，則就叫作函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作一、自變量趨于無窮大時(shí)的極限一般地，我們假一、自變量趨于無窮大時(shí)的極限定義１也可簡述為以下形式.若，

，當(dāng)

時(shí)，恒有

，則.如果，

，當(dāng)

時(shí)，恒有，則.同樣，我們也可以定義當(dāng)時(shí)的函數(shù)

的極限.若

且，當(dāng)

且

時(shí)，我們就得到時(shí)的函數(shù)

的極限定義.即時(shí)，有，或記為，如果，，當(dāng)

時(shí)，恒有，則.即一、自變量趨于無窮大時(shí)的極限定義１也可簡述為以下形式.若一、自變量趨于無窮大時(shí)的極限下面看一下極限

的幾何解釋.對任意給定的，作直線

及，總存在，當(dāng)

時(shí)，

的圖形必位于這兩直線之間（見圖1-39）.-XoXxy

A

函數(shù)極限的幾何解釋(趨于無窮大)圖1-39一、自變量趨于無窮大時(shí)的極限下面看一下極限一、自變量趨于無窮大時(shí)的極限顯然可以得到下面的結(jié)論.定理１

且.注一般地，如果

或，同理，不存在，因?yàn)?很容易看出，.直線稱為函數(shù)圖形的水平漸近線.直線和稱為函數(shù)圖形的水平漸近線.那么稱直線為函數(shù)

圖形的水平漸近線.yx11o一、自變量趨于無窮大時(shí)的極限顯然可以得到下面的結(jié)論.注一般一、自變量趨于無窮大時(shí)的極限例１

證明.證明對，要使

，只需

，即，即恒有，取，則當(dāng)時(shí)，一、自變量趨于無窮大時(shí)的極限例１證明二、自變量趨于有限值時(shí)的極限

所謂“

無限接近于確定的數(shù)值”，實(shí)質(zhì)上等價(jià)要求

能任意小，這“任意小”又可用(其中

為任給的正數(shù))來刻畫.而意小”是在的過程中實(shí)現(xiàn)的，又由于這“任也就是僅要求充分接近時(shí)，使就行了.二、自變量趨于有限值時(shí)的極限

所謂“無限接二、自變量趨于有限值時(shí)的極限綜上所述，得到時(shí)函數(shù)極限的定義.定義2

或.定義2

也可簡述為，，當(dāng)時(shí)，恒有，那么.記作設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)，于任意給定的正數(shù)(不論它多么小)，對總存在正數(shù)，使得當(dāng)滿足不等式時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值

都滿足不等式，則稱為函數(shù)在時(shí)函數(shù)的極限，注這里與、有關(guān).二、自變量趨于有限值時(shí)的極限綜上所述，得到二、自變量趨于有限值時(shí)的極限的幾何解釋如下.任意給定一正數(shù)，作平行于軸的兩直線:

及.存在，當(dāng)時(shí)，曲線

位于兩條直線

及

之間(見圖1-42).x

O

A

函數(shù)極限的幾何解釋(趨于定點(diǎn))圖1-42二、自變量趨于有限值時(shí)的極限的幾何解釋如下.任意給定一正數(shù)二、自變量趨于有限值時(shí)的極限例２

證明.證明

,要使只要取，，這個(gè)例子告訴我們，當(dāng)時(shí)的極限值這一點(diǎn)的函數(shù)值.比如當(dāng)

時(shí)的極限值就是2.因此.則當(dāng)時(shí)，有，二、自變量趨于有限值時(shí)的極限例２證明二、自變量趨于有限值時(shí)的極限例4

證明.證明，要使即，又要求，即，注同樣的方法可以證明.（這個(gè)結(jié)論可以推廣到更一般的次根式）取，則當(dāng)時(shí)，恒有.二、自變量趨于有限值時(shí)的極限例4證明二、自變量趨于有限值時(shí)的極限上述

中的“”是指可以取左側(cè)的點(diǎn)()而趨于，也可以取右側(cè)的點(diǎn)()而趨于.有時(shí)我們只需考慮從的一側(cè)(左側(cè)或右側(cè))趨于，這時(shí)就需要將上述情況分別討論.如果僅從的左側(cè)趨于

(記作)時(shí)，

趨于，則稱為

在時(shí)的左極限，記作.如果僅從的右側(cè)趨于

(記作)時(shí)，

趨于，則稱為

在時(shí)的右極限，記作.顯然有.因此如果、中有一個(gè)不存在，或兩個(gè)雖存在但不相等，則不存在.二、自變量趨于有限值時(shí)的極限上述二、自變量趨于有限值時(shí)的極限例如，函數(shù)由于，yy=x-1y=x+1-1-111xO則不存在（見圖1-43所示）；圖1-43，，再比如，

不存在，因?yàn)?二、自變量趨于有限值時(shí)的極限例如，函數(shù)由于三、函數(shù)極限的計(jì)算方法極限的定義只能用來驗(yàn)證函數(shù)的已知極限，那么如何計(jì)算(求)函數(shù)的極限呢？要討論極限的求法，首先要建立相關(guān)的一些運(yùn)算規(guī)則，比如極限的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則等.

三、函數(shù)極限的計(jì)算方法極限的定義只能用來驗(yàn)證函數(shù)的已知極限，三、函數(shù)極限的計(jì)算方法定理２(函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則)設(shè)，，則定理２的證明見第一章第四節(jié).（1）（2）（3）三、函數(shù)極限的計(jì)算方法定理２(函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則)三、函數(shù)極限的計(jì)算方法推論

若

，存在，

則上述極限中將“”改為“”，結(jié)論仍然成立.（證明過程有所差別）（1）（2）（3）；若，則.；三、函數(shù)極限的計(jì)算方法推論若，三、函數(shù)極限的計(jì)算方法按照四則運(yùn)算法則，我們很容易計(jì)算下列極限.（1）（3）（2）三、函數(shù)極限的計(jì)算方法按照四則運(yùn)算法則，我們很容易計(jì)算下列極三、函數(shù)極限的計(jì)算方法注（1）設(shè)，則三、函數(shù)極限的計(jì)算方法注（1）設(shè)三、函數(shù)極限的計(jì)算方法（2）設(shè)，其中、為多項(xiàng)式，則三、函數(shù)極限的計(jì)算方法（2）設(shè)三、函數(shù)極限的計(jì)算方法例5求

.解因?yàn)?，即分母的極限為零，所以不能直接應(yīng)用極限運(yùn)算法則.我們先利用多項(xiàng)式的因式分解，約去公因式后，再利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.三、函數(shù)極限的計(jì)算方法例5求三、函數(shù)極限的計(jì)算方法例６計(jì)算解因分母的極限為零，要先對函數(shù)做必要的變形，因分子中含有根式，通常用根式有理化，然后約去分子、分母中的公因子.三、函數(shù)極限的計(jì)算方法例６計(jì)算三、函數(shù)極限的計(jì)算方法定理３(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)

設(shè)函數(shù)

是由函數(shù)

與

復(fù)合而成的，在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)有定義，若，，且存在，當(dāng)時(shí)，有，則三、函數(shù)極限的計(jì)算方法定理３(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)三、函數(shù)極限的計(jì)算方法例7

求極限.解記，由于，故.三、函數(shù)極限的計(jì)算方法例7求極限三、函數(shù)極限的計(jì)算方法例8

求極限.由于，故

解記，三、函數(shù)極限的計(jì)算方法例8求極限三、函數(shù)極限的計(jì)算方法例9

求極限.解一

解二故原式令則當(dāng)時(shí)，三、函數(shù)極限的計(jì)算方法例9求極限三、函數(shù)極限的計(jì)算方法例10

(１)求極限；（2）求極限.

解（1）當(dāng)時(shí)，分母的極限為零，故不能直接應(yīng)用商的極限運(yùn)算法則.但若采取將分母有理化，即將分子與分母同時(shí)乘，則得（2）當(dāng)時(shí)，分子與分母都沒有極限，極限運(yùn)算法則，故也不能直接應(yīng)用商的極需先將分子、分母同時(shí)除以.三、函數(shù)極限的計(jì)算方法例10(１)求極限三、函數(shù)極限的計(jì)算方法例11

已知,求之值.解因故解得三、函數(shù)極限的計(jì)算方法例11已知e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內(nèi)容導(dǎo)航第一章第一節(jié)

集合與函數(shù)第二節(jié)數(shù)列的極限定義與計(jì)算第三節(jié)函數(shù)的極限定義與計(jì)算第五節(jié)兩個(gè)重要極限第六節(jié)無窮小的概念與比較第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)第四節(jié)極限的證明與性質(zhì)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac2課前導(dǎo)讀101這一節(jié)介紹數(shù)列及函數(shù)極限性質(zhì)，讀者可以深入理解和熟悉極限的定義，同時(shí)為引入新的極限計(jì)算方式打下基礎(chǔ).本節(jié)可作為對極限要求較高的專業(yè)的選學(xué)內(nèi)容.課前導(dǎo)讀101這一節(jié)介紹數(shù)列101一、利用極限定義證明例2

證明.證明

，要使即即，恒有取，則當(dāng)時(shí)，一、利用極限定義證明例2證明一、利用極限定義證明例3

證明.證明

，要使只要，取，則當(dāng)時(shí)，有一、利用極限定義證明例3證明二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理１(極限的唯一性)

數(shù)列

不能收斂于兩個(gè)不同的極限.證明（反證法）假設(shè)同時(shí)有及，由可知，由可知

，取