新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識(shí)與解題方法專題講解48-直線與圓錐曲線(解析版)6230

新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識(shí)與解題方法專題講解專題9.6直線與圓錐曲線【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.會(huì)解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的問題.2．了解方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系和求曲線方程的基本方法.3．理解數(shù)形結(jié)合、用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.4．培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).5.高考預(yù)測(cè)：（1）考查直線與橢圓的位置關(guān)系；（2）考查直線與拋物線的位置關(guān)系；（3）考查直線與圓、圓錐曲線的綜合問題.（4）命題的主要特點(diǎn)有：一是以過特殊點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；置關(guān)系為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；三是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，綜合性較強(qiáng)，往往與向量（共線、垂直、數(shù)量積）結(jié)合，涉及方程定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步二是以不同曲線（圓、橢圓、拋物線）的位組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題等.1/22(1)掌握?qǐng)A、橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)；（2）熟練掌握常見直線與圓錐曲線位置關(guān)系題型的解法；（3）利用數(shù)形結(jié)合思想，靈活處理綜合問題.【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)1．直線和圓錐曲線的位置關(guān)系lClAxByC判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線的方程＋＋＝AB0(，CFxy不同時(shí)為0)代入圓錐曲線的方程(，)＝0，消去yx(也可以消去)得到一個(gè)關(guān)于變xy量(或變量)的一元方程．Ax＋By＋C＝0，即yaxbxc0.2消去，得＋＋＝Fx，＝y(tǒng)0，aaxbxcΔΔ?0時(shí)，設(shè)一元二次方程＋＋＝0的判別式為，則>0直線與圓2(1)當(dāng)≠C錐曲線相交；Δ?C＝0直線與圓錐曲線相切；Δ?C<0直線與圓錐曲線相離．a(chǎn)blC(2)當(dāng)＝0，≠0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則直線與圓錐曲線相交，且只有ClC一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若為雙曲線，則直線與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若l為拋物線，則直線與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平行或重合．知識(shí)點(diǎn)2．“弦”的問題kklAxyBxy(，)，(，)，則1k2kxxkxxxxyy4＝1＋·|－|121＋·＋－22212121k2yy1yy12＝1＋·＋－4.222．處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法(1)．點(diǎn)差法：xx即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有＋，12yy－yy1＋，三個(gè)未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，借用中點(diǎn)公式即可求12xx－212得斜率．(2)．根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解．注意：中點(diǎn)弦問題常用的兩種求解方法各有弊端：根與系數(shù)的關(guān)系在解題過程中易產(chǎn)生漏解，需關(guān)注直線的斜率問題；點(diǎn)差法在確定范圍方面略顯不足．【典例剖析】高頻考點(diǎn)一：直線和圓錐曲線的位置關(guān)系C:y4x【典例1】（2020·浙江高三月考）如圖，已知拋物線和圓21ABCDC:(x1)2y21，直線經(jīng)過C的焦點(diǎn)F，自上而下依次交C和C于，，，四點(diǎn)，l2112則ABCD的值為A．14B．12C．1D．2【答案】C【解析】C:y4x因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F(1,0)，21又直線經(jīng)過C的焦點(diǎn)F，設(shè)直線l:ykx，(1)l1y4x2k2x(2k24)xk0，2由得2yk(x1)設(shè)A(x,y),B(x,y)，則xx1112212由題意可得：ABAFBFx11x，11同理CDx，2所以ABCDABCDxx1.cos0124/22故選C【典例2】（2019·全國高考真題（理））已知拋物線：2=3的焦點(diǎn)為，斜率為3CyxF2lCABxP的直線與的交點(diǎn)為，，與軸的交點(diǎn)為．AFBFl（1）若||+||=4，求的方程；AB（2）若AP3PB，求||．【答案】（1）12x8y70；（2）413.3【解析】3（1）設(shè)直線方程為：y=xm，Ax,y，Bx,yl211223xx5由拋物線焦半徑公式可知：AFBFxx4221212聯(lián)立3yxm得：9x212m12x4m02y23x2則12m122144m20m12xx12m125，解得：m789212直線的方程為：y3x7，即：12x8y708l22（2）設(shè)Pt,0，則可設(shè)直線方程為：xytl3聯(lián)立2xyt得：y22y3t03y23x5/22t13412t0則yy2yy3t，1212y3yy1yy312，y3AP3PB1221則AB14yy24yy134124139331212C1x2y21(a>b>0)的右焦點(diǎn)【典例3】（2020·全國高考真題（文））已知橢圓：a2b2FBC2C1C2Fx與拋物線的焦點(diǎn)重合，的中心與的頂點(diǎn)重合．過且與軸重直的直線交于，CA14CDAB3CCD兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，且||=||．2C（1）求的離心率；1C1C2CC（2）若的四個(gè)頂點(diǎn)到的準(zhǔn)線距離之和為12，求與的標(biāo)準(zhǔn)方程．12【答案】（1）1；（2）C：21，C：xy2y28x.2116122【解析】y24cx，其中（1）因?yàn)闄E圓C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為：F(c,0),所以拋物線C的方程為21ca2b2.xy不妨設(shè)A,C在第一象限，因?yàn)闄E圓C的方程為：21，21ab22cy2bbb所以當(dāng)xc時(shí)，有21y，因此A,B的縱坐標(biāo)分別為，；222abaaa22，所以當(dāng)xc時(shí)，有y24cxy4ccy2c又因?yàn)閽佄锞€C的方程為22，6/222b2所以的縱坐標(biāo)分別為，，故|AB|2c|CD|4c，.C,D2ca|CD||AB|322(c)48bcc2，解得（舍去），.c12由得4c，即3a23aaaa2C的離心率為1.12所以xy22（2）由（1）知，b，故C:1，所以C的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分a2c3c4c3c2112(2,0)，，，的準(zhǔn)線為xc.(0,3c)(0,3c)別為，(2c,0)cC2c2，即.由已知得3cccc12xy2C的標(biāo)準(zhǔn)方程為21，C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.所以y8x2116122【規(guī)律方法】直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定方法及關(guān)注點(diǎn)yxxy(1)判定方法：直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去(或)后當(dāng)?shù)玫疥P(guān)于(或)的一Δ元二次方程時(shí)，設(shè)其判別式為，Δ?①＞0直線與圓錐曲線相交；Δ?②＝0直線與圓錐曲線相切；Δ?③＜0直線與圓錐曲線相離．(2)關(guān)注點(diǎn)：①聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元后，應(yīng)注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為Δ零．②判斷直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí)，判別式起著關(guān)鍵性的作用，第一：可以限定Δ所給參數(shù)的范圍；第二：可以取舍某些解以免產(chǎn)生增根；第三：若的表達(dá)式非常復(fù)雜，7/22則可以采用列而不求，最后驗(yàn)證的策略．提醒：過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的直線均與橢圓相交．【變式探究】1.（2019·河南南陽中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知拋物線16x的焦點(diǎn)為，過yF24點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，則的最小值為（）NFFM，Nl9MF2323C.-1D.1A.B.-33【答案】D【解析】2(,)由題意知，拋物線y16x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(40，).設(shè)Mxy，Nxy，(,)1122xmy4代入拋物線方程，將：l可得y16(my4)，且有yy162m，yy641212yy22)816m28，又因?yàn)閤x16.12161612所以1xxmy14(4mymyy2212由拋物線的定義可得MFx4，NFx4.121111xx8121()，故MFNFx4x4(x4)(x4)41212111由()可得MF4NF，8/224從而有414414113，3NF，NFMFNF9MF9NF當(dāng)且僅當(dāng)NF6時(shí)取等號(hào).故選D.xy22文））已知橢圓T:1(ab0)長半軸為2，ab222.（2020·四川遂寧?高二期末（且過點(diǎn)(0，1).若過點(diǎn)引兩條互相垂直的兩直線l、l，若為橢圓上任一點(diǎn)，記點(diǎn)PMMP12到兩直線的距離分別為d、d，則122的最大值為（）dd212D．163433A．2B．C．5【答案】B【解析】x2,則橢圓的方程為y21，設(shè)4由題意可得a2，b1Px,yl,l中有一條直線的斜率不存在時(shí)，則另一條直線的斜率為0.（1）若直線12設(shè)直線l的方程為x0，則直線l的方程為y112由Px,y在橢圓x21上，則44xy2y2241312253x1yyyy23所以+dd5，y11212223211643的最大值為.3dd2212故當(dāng)時(shí)，2有最大值，即yd+d233129/22l,l的斜率都存在，且不為（2）當(dāng)直線0,時(shí)12ykx1，即10l的方程為設(shè)直線1kxy1則直線yl的方程為xk1，即0xkyk2dkxy1,dxkyk所以11+k21+k22kxy1xkyk22所以d+dxy2y1212221k2244y2y22y153y22y43dd2由（1）可得的最大值為.1223故選：Bx22018·全國高考真題（理））設(shè)橢圓C:的右焦點(diǎn)為，過F的直線與y1F2l23.（A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).C交于（1）當(dāng)與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；l（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OMAOOMB.2x2或y2x2；（2）證明見解析.【答案】（1）AM的方程為y22【解析】F1,0，l的方程為x1（1）由已知得.10/2221,.22由已知可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或A1,2所以AM的方程為y2x2或y2x2.22（2）當(dāng)與lx軸重合時(shí)，.OMAOMB0當(dāng)與.lABOMBx軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，所以O(shè)MAOMx軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，Ax,y,Bx,y，ykx1k0當(dāng)與ll1122yyx2,x2則，直線MA、MB的斜率之和為kk.12x2x2MAMB12122kxx3kxx4k.1212x2x2由ykxk,ykxk得kk1122MAMB12x2k1x24k2x2k220.2將ykx1代入得y12224k2,xx2k22xx2k21所以，2.2k11122則2kxx3kxx4k4k34k12k38k4k0.2k1312122從而kk0，故MA、MB的傾斜角互補(bǔ)，所以O(shè)MB.OMAMAMBOMA綜上，OMB.【總結(jié)提升】1.研究直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)．對(duì)于選擇題、填空題，常充分利用幾何條件，利用數(shù)形結(jié)合的方11/22法求解．2.直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí)，易誤認(rèn)為直線與雙曲線相切，事實(shí)上不一定相切，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)．3.直線與拋物線交于一點(diǎn)時(shí)，除直線與拋物線相切外易忽視直線與對(duì)稱軸平行時(shí)也相交于一點(diǎn)．4.直線和圓錐曲線的位置關(guān)系利用代數(shù)方法判斷，其中直線和雙曲線的位置關(guān)系，還可以通過比較直線的斜率和漸近線斜率來判斷.高頻考點(diǎn)二：弦長問題和中點(diǎn)弦問題【典例4】（2020·岳麓?湖南師大附中高三三模（文））已知橢圓3xy22C:1(0b2),作傾斜角為的直線交橢圓A,BC于兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為44b2M,O為坐標(biāo)原點(diǎn)與的夾角為,且|tan|3b，則()OMMA6A．1B．2C．3D．2【答案】B【解析】yb2Ax,y,Bx,y,Mx,y，利用“點(diǎn)差法”可得0分析：設(shè)，設(shè)直線的OMx401122001tanb2tan13,tany傾斜角為，則，又tan4，由4或04x012/22b2143，從而可得結(jié)果.1b24Ax,y,Bx,y,Mx,y，詳解：設(shè)112200x21y2121xxxxyyyy0，124b則，兩式作差得1212124x2y2b21224b2yyxy2，即，yb1,01204b020xxx4120設(shè)直線的傾斜角為，則或，3tan1,tan41tanOM4b214yb2tan，由3，又0x401b24解得2，即b2，故選B.b2:4x的焦點(diǎn)為，F(xiàn)過點(diǎn)F【典例5】（2019·安徽高三月考（理））已知拋物線Cy232的直線交拋物線于A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若AOB的面積為，則線段AB的COB2長是（）A.992B.4C.D.8【答案】C【解析】13/222212，不符合題設(shè)；x軸時(shí)，1當(dāng)直線垂直于ABSAOB2ykx1(k0)，即kxyk0.當(dāng)直線不垂直于ABx軸時(shí)，設(shè)方程為AB點(diǎn)0,0到直線距離kd.ABk21ykx1,聯(lián)立得k2x2k24xk0，22y4x,2設(shè)A(x,y),B(x,y),112)2則由韋達(dá)定理得,xx(2k24),xxk21,k2k121221k(xx)24xx所以由弦長公式得,AB212121k((2k24))2412k24(1k2),k2因?yàn)榈拿娣e為32,AOB214k43222k所以，所以，k82k212k29AB所以.2故選C.F的焦點(diǎn)為，直【典例6】（2019·全國高三月考（文））已知拋物線y2px(p0)214/22M，NMNFp=線l:2xy120與拋物線交于兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過點(diǎn)，則（）A.1B.2C.4D.6【答案】B【解析】設(shè)Mx,y,Nx,y，1122y2px2聯(lián)立x，消去得，ypy12p022xy12012p，yyp由韋達(dá)定理可得：yy12122xxyy24yy1p12,xx144p4p2236，1224p2221212MN以線段為直徑的圓的方程為xxxxyyyy0F，，又其過點(diǎn)1212pxpxyy0，212122pp2xxxxyy0，42121212ppp2422123612p0，p2，故選：BC:x2py(p0)的焦點(diǎn)，【典例7】（2018·浙江學(xué)軍中學(xué)高考模擬）F是拋物線215/22是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到CM,F,OM3拋物線的準(zhǔn)線的距離為.C4（1）求拋物線的方程；C1（2）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),,ABlMl:xmyC241m2ABQ有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D,E，求當(dāng)時(shí)，的最小值.222DE與圓13.(2).2【答案】(1)x2y2【解析】02p0x2pC:x2py(p0)（1）拋物線F的焦點(diǎn)F0,，設(shè)2Mx,(x0),Qa,b20pppp3bp242434由題意可知，則點(diǎn)Q到拋物線的準(zhǔn)線的距離為bC42x2yp1，于是拋物線的方程為.解得C221x（2）∵M(jìn)1,2∴OM垂直平分線方程為y222y22x15236xmy，設(shè)∴Q,,r.由得2Ax,y,Bx,y2y4my1014488112216/22∵16m280，∴2,yymyy121212AB21m4m22252m36Q到的距離ld81m2又∵82725m22725m225m28181mm2214DE4∴2323218m252514,12ABDE21m4m22m2，則,522令1m∴tt281m242512514t22t,t,58t4令gtt845，則4AB∴42tt2DE22g't8t225g'6058t24513t∴時(shí).gt24min【規(guī)律方法】1．處理有關(guān)中點(diǎn)弦及對(duì)應(yīng)直線斜率關(guān)系的問題時(shí)，常用“點(diǎn)差法”，步驟如下：AB2．解決對(duì)稱問題除掌握解決中點(diǎn)弦問題的方法外，還要注意“如果點(diǎn)，關(guān)于直llABAB線對(duì)稱，則垂直于直線且，的中點(diǎn)在直線上”的應(yīng)用．l17/223.求解弦長的四種方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解．(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，解方程組求出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間的距離公式求解．xy(3)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元得到關(guān)于或的一元二次方程，利用根與系xxyy數(shù)的關(guān)系得到(－)2或(－)2，代入兩點(diǎn)間的距離公式．1212(4)當(dāng)弦過焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長．提醒：利用弦長公式求弦長要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交點(diǎn)坐標(biāo)再求弦長．涉及焦點(diǎn)弦長時(shí)要注意圓錐曲線定義的應(yīng)用．【變式探究】xy221.（2019·河北高考模擬（文））已知橢圓1ab0，點(diǎn)為左焦點(diǎn)，F(xiàn)a2b21M1,，則橢圓且的中點(diǎn)為AB2A,B兩點(diǎn)，為下頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于FPl點(diǎn)P的離心率為（）1B．21C．423D．2A．2【答案】A【解析】1為M，則xxx，y），又AB的中點(diǎn)1,2AB設(shè)（x，y），（yy2，1，1122121218/22AB又因?yàn)?、在橢圓上x212y212x222y2221，1所以ababyyyyb22兩式相減，得：1212xxxxa1212yyyy112∵kAB2kxxb，k,1cxx212FPOM12b2bc1c2，22a4acc,∴=,∴，，∴22bc，平方可得4222acaa22a22故選A.x22019·廣西高二期末）已知橢圓M:y21，直線與橢圓相交于A,B兩lM42.（點(diǎn)，1點(diǎn)D(1,)是弦AB的中點(diǎn)，則直線的方程為__________．l2【答案】x2y20【解析】設(shè)Ax,y,Bx,y，因?yàn)橹本€與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，lM112219/22x2y211412x22x2整理得142所以有，兩式作差得：yy24x22y21142yy1xx14yykAB122，xx12