不定積分計(jì)算省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

一、“湊”微分法比如：形式上“湊”成能由不定積分公式求出積分!簡單替換例1.第1頁“湊”微分法:設(shè)法湊成積分公式帶回

x實(shí)質(zhì)上是一個(gè)簡單換元積分法.第2頁例2.例3.第3頁例4.例5.第4頁二、換元積分法例6.第5頁Theorem:則證實(shí)：第6頁例7.解：第7頁例8.解：第8頁例9.解：例10.解：第9頁注：“湊”微分法與換元積分法比較“湊”微分法——將函數(shù)替換為變量：第10頁換元積分法——將變量替換為函數(shù)：注：對一些函數(shù)不定積分，有時(shí)可用不一樣方法、不一樣函數(shù)作變量替換，因之所得結(jié)果在形式上可能不相同.

第11頁比如：注：積分方法以“化繁為簡”為目標(biāo).第12頁三、分部積分法or作不定積分運(yùn)算,即得or稱之為分部積分公式.第13頁注1.

不能直接求改寫轉(zhuǎn)化第14頁解：例11.第15頁例12.解：例13.第16頁例14.求解：第17頁例15.解：聯(lián)立,解之得：第18頁注2.

類似,以下函數(shù)不定積分常可用分部積分法可得.注3.使用分部積分法，有時(shí)須連續(xù)使用若干次；有時(shí)使用若干次之后，常會重新出現(xiàn)原來所求那個(gè)積分，從而成為求積分方程式，解之可得所求積分；有時(shí)應(yīng)尤其注意以下情形：第19頁將不定積分視為一個(gè)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算是錯(cuò)誤,不定積分是原函數(shù)集合.此時(shí),使用分部積分公式還可得到一些有用遞推公式,比如：第20頁

初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)仍是初等函數(shù),但求不定積分卻不那么簡單,有些不定積分不能用初等函數(shù)來表示,如是非初等函數(shù),即初等函數(shù)原函數(shù)不一定是初等函數(shù).第21頁（多項(xiàng)式）四、有理函數(shù)積分法1.代數(shù)預(yù)備知識

設(shè)P(x)與Q(x)都是多項(xiàng)式,則有理函數(shù)普通形式是比如：第22頁第23頁依據(jù)代數(shù)分項(xiàng)分式定理,有第24頁方法一：將(﹡)式右端通分，得方法二：使用“賦值法”簡化對待定系數(shù)求解.第25頁例16.解：<方法一>比較兩端分子同次冪系數(shù),得第26頁例16.解：<方法二>第27頁2.有理函數(shù)不定積分第28頁Infact,第29頁第30頁（分部積分法）第31頁第32頁注2.

有理函數(shù)總存在初等函數(shù)原函數(shù).注1.

例16.解：第33頁例17.

求

解：第34頁例18.求

解：第35頁五、其它類型不定積分（一）簡單無理函數(shù)不定積分標(biāo)準(zhǔn)：簡單無理函數(shù)變量替換有理函數(shù)符號R(u,v)表示以u和v為變量有理函數(shù).第36頁積分有理化有理化求解.第37頁例1.解：第38頁例2.解：第39頁例3.解：第40頁例4.

解：第41頁分以下情況考慮：第42頁此積分形式同：或例5.解：第43頁第44頁此積分形式同：或第45頁例6.解：第46頁（二）三角函數(shù)不定積分第47頁就有

這么就把積分有理化了.從而三角函數(shù)R(sinx,cosx)存在初等函數(shù)原函數(shù).第48頁例7.解：第49頁例8.解：第50頁關(guān)于R(sinx,cosx)含有某種性質(zhì)時(shí)一些特殊變量替換：例9.解：第51頁第52頁例10.解：第53頁例11.解：第54頁第55頁第56頁例12.解：第57頁a)含有sin2x或cos2x奇次冪，此時(shí)可由(1)求之；將被積函數(shù)化簡,其結(jié)果：b)含有sin2x或cos2x偶次冪，用上述三角公式化簡,化成含sin4x與cos4x函數(shù)，依次類推.第58頁例13.解：第59頁解：利用三角函數(shù)積化和差公式可解.第60頁例14.解：第61頁三角有理式定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算組成函數(shù)稱之．普通記為1、三角函數(shù)有理式積分五、其它形式不定積分第62頁令（萬能置換公式）第63頁例7求積分解由萬能置換公式第64頁第65頁例8求積分解（一）第66頁解（二）修改萬能置換公式,令第67頁解（三）能夠不用萬能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最正確方法,故三角有理式計(jì)算中先考慮其它伎倆,不得已才用萬能置換.第68頁例9求積分解第69頁第70頁討論類型處理方法作代換去掉根號.例10求積分解令2.簡單無理函數(shù)積分第71頁第72頁例11求積分解令說明無理函數(shù)去根號時(shí),取根指數(shù)最小公倍數(shù).第7