Romberge積分省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

§3Romberg積分

/*RombergIntegration*/一、Richardson外推法二、Romberg求積方法第1頁Romberg求積方法是在積分區(qū)間逐次分半過程中利用外推法產(chǎn)生一個數(shù)值積分方法,當被積函數(shù)光滑性條件滿足時,能夠得到較準確積分近似法.一、Richardson外推法外推法是一個準確度較低近似公式組合成準確度較高近似公式方法.設(shè)h≠0是任意數(shù),F(h)是關(guān)于步長h迫近F*近似公式,它們誤差預(yù)計式為這里,k1,k2,k3…是一組常數(shù).稱F(h)迫近F*誤差為O(h).第2頁我們希望找到一個簡便方法,用近似公式F(h)組合,得到誤差階較高近似公式,使迫近F*誤差為O(h2)類似地,用組合產(chǎn)生迫近F*誤差O(h3)近似公式等把h冪次稱為誤差階,比如O(h2),稱為二階誤差,等等.第3頁改寫用h/2代替式中h,得為(1)(2)2×(2)-(1)得:令(3)第4頁這里,F2(h)迫近F*誤差為O(h2)改寫(3)式為(4)再用h/2代替h,使(4)式變?yōu)?5)4×(5)-(4)得:記(6)第5頁(6)式能夠?qū)憺?7)這里,F3(h)迫近F*誤差為O(h3)還是用h/2代替h代入(7)式后,類似上述過程,可以得到誤差為O(h3)F3(h)普通地,對k=2,3,…,n,有迫近F*誤差為O(hk)遞推公式稱為關(guān)于步長h外推公式.第6頁下表列出了k=2,3,4時,按遞推公式產(chǎn)生Fk(h)計算次序,表中各列左邊黑體數(shù)字表示序號.第7頁設(shè)帶余項差分公式為(8)導(dǎo)出含有誤差為O(h2j)外推公式.令用h/2代替h,得(9)例1解第8頁4×(9)-(8)得:從而有(10)其中這時,F2(h)迫近誤差為O(h4)重復(fù)用h/2代替h并消去含h2i項(i=2,3,…,j-1)得到迫近誤差為O(h2j)外推公式為第9頁注意上式中第二項分母為4j-1-1而不是2j-1-1.這是因為(8)式中余項為關(guān)于h2冪次而不是關(guān)于h冪次.第10頁Romberg求積方法是以復(fù)化梯形公式為基礎(chǔ),應(yīng)用Richardson外推法導(dǎo)出數(shù)值求積方法.二、Romberg求積方法第11頁回想復(fù)化梯形公式,分別把積分區(qū)間[a,b]分為1,2,4等分結(jié)果列下表k123124第12頁深入推導(dǎo)出它們遞推關(guān)系普通地,把區(qū)間[a,b]逐次分半k-1次(k=1,2,…,n),區(qū)間長度(步長)為,其中mk=2k-1第13頁按外推法思想記則或其中從而有看成是關(guān)于hk誤差為O(hk2)一個近似公式復(fù)化梯形求積公式稱為第14頁為消去hk2項,再取hk+1=hk/2代替(11)式中hk

所以,復(fù)化梯形公式誤差公式為(11)(12)4×(12)-(11)得:第15頁記k=2,3,…,n這是誤差為O(h4)外推公式重復(fù)上述過程,將區(qū)間逐次分半k-1次后,能夠得到誤差為O(h2j)外推公式k=2,3,…,n,j=k=2,3,…,n外推公式稱為第16頁當j=2時復(fù)化Simpson公式當k=2時這是n=2復(fù)化Simpson公式S2不難驗證,對普通k,是n=2k-1復(fù)化Simpson公式第17頁第二部分,用外推公式計算Tk(j)(k=2,3,…,j=2,…k)類似地,當j=3時Romberg求積方法所謂Romberg求積方法,就是由上述兩部分組成.第一部分,對積分區(qū)間逐次分半k-1次,用復(fù)化梯形求積公式計算Tk(1)(k=1,2,…)第18頁再區(qū)間分半,令k=3,區(qū)間長度h3=h2/2,先計算T3(1),再計算T3(2)T3(3)Romberg法計算過程首先,令k=1,區(qū)間長度h1=b-a,用梯形求積公式計算T1(1)區(qū)間分半,令k=2,區(qū)間長度h2=h1/2,先計算T2(1),再按外推公式計算T2(2)逐次分半?yún)^(qū)間k次后計算結(jié)果以下表第19頁外推加速公式以上整個過程稱為Romberg算法將上述結(jié)果綜合后第20頁在實際應(yīng)用中,往往依據(jù)實際問題對計算準確度要求來確定區(qū)間逐次分半次數(shù).復(fù)化梯形公式計算外推公式計算慣用不等式作為到達準確度要求判斷準則第21頁用Romberg求積方法計算近似值,給定

=0.001

首先令區(qū)間長度h1=1,用梯形求積公式計算例2解第22頁>=0.001<=0.001T3(3)作為積分近似,其誤差為O(h36)第23頁例：利用數(shù)據(jù)表