初中數(shù)學(xué)規(guī)律探究題的解題方法

#初中數(shù)學(xué)規(guī)律探究題的解法指導(dǎo)廣南縣篆角鄉(xiāng)初級(jí)中學(xué)郭應(yīng)龍新課標(biāo)中明確要求：用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系及所反映的規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。根據(jù)一列數(shù)或一組圖形的特例進(jìn)行歸納，猜想，找出一般規(guī)律，進(jìn)而列出通用的代數(shù)式，稱之為規(guī)律探究。在歷年的中考或?qū)W業(yè)水平考試中屢見不鮮，頻繁考查，考生大都感到困難重重，無從下手，導(dǎo)致丟分。解決此類問題的關(guān)鍵是：“細(xì)心觀察，大膽猜想，精心驗(yàn)證”。筆者認(rèn)為：只要善于觀察，細(xì)心研究，知難而進(jìn)，就會(huì)走出“山窮水盡疑無路”的困惑，收獲“柳暗花明又一村”的喜悅。一、數(shù)式規(guī)律探究通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，考查了學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力。一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。數(shù)式規(guī)律探究是規(guī)律探究問題中的主要部分，解決此類問題注意以下三點(diǎn)：.一般地，常用字母n表示正整數(shù)，從1開始。.在數(shù)據(jù)中，分清奇偶，記住常用表達(dá)式。正整數(shù)…n-1,n,n+1… 奇數(shù)…2n-3,2nT,2n+1,2n+3… 偶數(shù)…2n-2,2n,2n+2….熟記常見的規(guī)律n(n+1)②1、3、6、102n(n+②1、3、6、102n(n+1)2④1+2+3+4+-n=⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)1③ 1、3、7、15……2n-1⑤ 1+3+5+…+（2nT）=n21⑦ 12+22+32….+n2=一n（n+1）（2n+1）⑧13+23+33….+n3=一n2（n+1）64數(shù)字規(guī)律探究反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，解決此類問題常用的方法有以下兩種：.觀察法例1.觀察下列等式：①1X—=1--②2X—=2-—③3X—=3--22 33 44④4X4=4-1……猜想第幾個(gè)等式為（用含n的式子表示）分析：將等式豎排：①1X1=1-1 觀察相應(yīng)位置上變化的數(shù)字與序列號(hào)②2X3=2-3 的對(duì)應(yīng)關(guān)系（注意分清正整數(shù)的奇偶）③3X3=3-3 易觀察出結(jié)果為：44

@4X4=4-4 nX-n-=n--n-5 5 n+1 n+1例2.探索規(guī)律：3i=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729……，那么32009的個(gè)位數(shù)字是。分析：這類問題,主要是通過觀察末位數(shù)字,找出其循環(huán)節(jié)共幾位,然后用指數(shù)除以循環(huán)節(jié)的位數(shù),結(jié)果余幾,就和第幾個(gè)數(shù)的末位數(shù)字相同,易得出本題結(jié)果為：3.函數(shù)法例3.將一正三角形紙片剪成四個(gè)全等的小正三角形，再將其中的一個(gè)按同樣的方法剪成更小的正三角形…，如此繼續(xù)下去,結(jié)果如下表：所剪次數(shù)1234…n正三角形個(gè)數(shù)471013…an則an=（用含n的代數(shù)式表示）分析：對(duì)結(jié)果數(shù)據(jù)做求差處理（相鄰兩數(shù)求差,大數(shù)減小數(shù)）正三角形個(gè)數(shù)：4、7、10、13第一次求差結(jié)果相等，用一次函數(shù)y=kx+b第一次求差：333 代入（1、4）（2、7）解之得：y=3x+1/.a=3n+1例4.有一組數(shù)：1、2、5、10、17、26……請(qǐng)觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第8個(gè)數(shù)為分析：對(duì)這組數(shù)據(jù)做求差處理：原數(shù)125101726第一次求差：13579第二次求差：2222第二次求差結(jié)果相等，同二次函數(shù)y=ax2+bx+c代入（1、1）（2、2）（3、5）解之得y=x2-2x+2=（x-1）2+1./當(dāng)=8時(shí)，y=50嘗試練習(xí)：1.觀察下列等式：1X3=12+2X1；2X4=22+2X2；3X5=32+2X3……請(qǐng)將你猜想到的規(guī)律用含自然數(shù)n（nN1）的代數(shù)式表示出來：2.觀察下列各式：22.觀察下列各式：2X2=2+2；113X3=-+3；24455-X4=—+4；—X5=—+53 3 4 4設(shè)n為正整數(shù)，用關(guān)于n的等式表示這個(gè)規(guī)律為請(qǐng)你將猜想到的規(guī)律用含正整數(shù).觀察下列各式：『+3=2\：3；B+14=3\：1；\；3+5=氣5n（nN1）的代數(shù)式表示出來為請(qǐng)你將猜想到的規(guī)律用含正整數(shù)224.已知：2+3=22X3；3+3=32X3；224.已知：2+3=22X3；8 8 15 15 24 2410+2=102x2符合前面式子的規(guī)律，則a+b=oaa5.已知下列等式：①13:12;②13+23=32；③13+23+33=62；④13+23+33+43=102…由此規(guī)律可推出第n等式：。6、觀察下列算式：1乂5十4二千，2x6+4=4\3x7+4=53，4x8+4=63請(qǐng)你在觀察規(guī)律之后并用你得到的規(guī)律填空：————+ =5°3.1、下面有8個(gè)算式，排成4行2列2+2,2X2333+一,3X—22444+—,4X-33555+一,5X一44，（1）同一行中兩個(gè)算式的結(jié)果怎樣？（2）算式2005+2005和2005X2005的結(jié)果相等嗎？2004 2004（3）請(qǐng)你試寫出算式，試一試，再探索其規(guī)律，并用含自然數(shù)n的代數(shù)式表示這一規(guī)律。（5分）2、你能很快算出2005 2嗎？（5分）為了解決這個(gè)問題，我們考察個(gè)位上的數(shù)為5的正整數(shù)的平方，任意一個(gè)個(gè)位數(shù)為5的正整數(shù)可寫成10n+5（n為正整數(shù)），即求（10n+5）2的值，試分析n=1,2,3……這些簡單情形，從中探索其規(guī)律。⑴通過計(jì)算，探索規(guī)律：152=225可寫成100X1X（1+D+25；252=625可寫成100x2x（2+1）+25；352=1225可寫成100x3x（3+1）+25；452=2025可寫成100x4x（4+1）+25；752=5625可寫成 852=7225可寫成 ⑵根據(jù)以上規(guī)律，試計(jì)算105 2=

3(5分)1X22X324已知］3=-X12X221X22X324+/+寸=光=父4乙F+A+,+4#=10口 x52"';一一一戶+戶+3w+…+（口-1尸+口》=_（）3（）（1）猜想填空：（2）計(jì)算①產(chǎn)十爐十（2）計(jì)算①產(chǎn)十爐十3“十…十為3十1口臚二②23+43+63+983+……+10031、觀察等式：1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52,猜想：(1)1+3+5+7…+99=；（結(jié)果用含n的式子表示，其中n（2）1+3+5+7H——（結(jié)果用含n的式子表示，其中n2、觀察下面一列數(shù)，根據(jù)規(guī)律寫出橫線上的數(shù)，1 1 _1 111 1 _1 11；2；—3；4；第2003個(gè)數(shù)是二、圖形規(guī)律探究由結(jié)構(gòu)類似，多少和位置不同的幾何圖案的圖形個(gè)數(shù)之間也有一定的規(guī)律可尋，并且還可以由一個(gè)通用的代數(shù)式來表示。這種探索圖形結(jié)構(gòu)成元素的規(guī)律的試題，解決思路有兩種：一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律，再用函數(shù)法、觀察法解決問題；另一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律，常用“拆圖法”解決問題。拆圖法例5.如圖，由若干火柴棒擺成的正方形，第①圖用了4根火柴，第②圖用了7根火柴棒，第③圖用了10根火柴棒，依次類推，第⑩圖用一根火柴棒，擺第n個(gè)圖時(shí)，要用一根火柴棒。(1)(2)(3)(1)(2)(3)分析：本例①可拆為-即1+3=4（根）第②拆為即1+3x2=7（根）第③圖可拆為 即1+3X3=10（根）由此可知，: ? 4第⑩圖為1+3x10=31（根），第n個(gè)圖為：（3n+1）根。例6.按如下規(guī)律擺放三角形：則第④堆三角形的個(gè)數(shù)為；第（的堆三角形的個(gè)數(shù)為△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△①②③分析：本例中需要進(jìn)行比較的因素較多，于是把圖拆為橫向和縱向兩部分，就橫向而言，把三角形個(gè)數(shù)抽出來，就是3,5,7…這是奇數(shù)從小到大的排列，其表達(dá)式為：2n+l；就縱向而言，發(fā)現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)依次增加一個(gè):第①堆有2個(gè)，第②堆有3個(gè)，第③堆有4個(gè)，所以第（n）堆的個(gè)數(shù)就為（n+1）個(gè)。所以第n堆三角形的總個(gè)數(shù)為：（n+1）+（2n+l）即（3n+2）個(gè)。嘗試練習(xí)：1.如圖7—①，圖7一②，圖7—③，圖7—④，，是用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成的一行“廣”字，按照?qǐng)D7①即圖?*圖7通這種規(guī)律，第5個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)數(shù)是，第〃個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)數(shù)是2.觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個(gè)大三角形中白色三角形有3.圖（3）是用火柴棍擺成的邊長分別是1,2,3根火柴棍時(shí)的正方形.當(dāng)邊長為n根火柴棍時(shí)，設(shè)擺出的正方形所用的火柴棍的根數(shù)為s,口用井….（用n的代數(shù)式表示s）4.用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚，按下圖的方式鋪地板，則第（3）個(gè)圖形中有黑色瓷磚塊，第n個(gè)圖形中需要黑色瓷磚塊（用含n的代數(shù)式表示）.( ( (5.如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是.通過對(duì)此專題的復(fù)習(xí)和指導(dǎo)，我想你會(huì)有所感悟，有所收獲，有所進(jìn)步.別忘記課后注意鞏固訓(xùn)練，展示你的能力，體驗(yàn)成功的快樂！三、課外拓展：1.探索規(guī)律：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729……那么32。。8的個(gè)位數(shù)字是2.觀察下列等式：71=7,72=49,73=343,74=2041……由此可判斷71。。的個(gè)位數(shù)字是3.瑞士中學(xué)教師巴爾末成功地從光譜數(shù)據(jù)9,16,25,36J JL乙 乙JLJ乙中得到巴爾末公式，從而打開了光譜奧妙的大門，按此規(guī)律第七個(gè)數(shù)據(jù)是4.已知a=—1—+1=2,a=—1—+1=3,a=—1—+1=—11x2x323 22x3x438 33x4x5415按此規(guī)律，則a,9= 5.已知W……，則上+工+上+1x2 2 2x323 3x434則1x22x33x41…+ -=n(n+1)用相同思路探究：A+'+J 1=1x33x55x7 (2n-1)(2n+1) 6.如圖5,每一幅圖中有若干個(gè)大小不同的菱形，第1幅圖中有1個(gè)，第2幅圖中有3個(gè)，第3幅圖中有5個(gè)，則第4幅圖中有個(gè)，第n幅圖中共有個(gè).O<爻>&Q…◎￡>???<>

第1幅第2幅第3幅 第n幅圖57.如圖，由等圓組成的一組圖中，第1個(gè)圖由1個(gè)圓組成，第2個(gè)圖由7個(gè)圓組成，第3個(gè)圖由19個(gè)圓組成，，按照這樣-的規(guī)律排列下去，則第9個(gè)圖形由個(gè)圓組成.8.將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個(gè)圖形有6個(gè)小圓，第2個(gè)圖形有10個(gè)小圓，第3個(gè)圖形有16個(gè)小圓，第4個(gè)圖形有24個(gè)小圓，……，依次規(guī)律，第6個(gè)圖形有個(gè)小圓.43口ooooooooO Icoooaooooa第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形9.用邊長為1cm的小正方