第六講求非線性方程和方程組的近似解課件

第六講非線性方程和方程組的近似解補充：部分優(yōu)化問題的求解第六講非線性方程和方程組的近似解補充：部分優(yōu)化問題的求解一、實例與數(shù)學模型路燈照明問題問題描述在一條20m寬的道路兩側(cè)，安裝了兩只2kW的路燈，它們離地面的高度分別為5m。在漆黑的夜晚，當兩只路燈開啟時，兩只路燈連線的路面上最暗的點和最亮的點在哪里？如果路燈的高度可以在3m和9m之間變化，如何使路面上最暗點的亮度最大？一、實例與數(shù)學模型路燈照明問題問題描述在一條20m寬的道路兩數(shù)學模型建立如圖所示的坐標系，即路面的寬度為s，每只路燈的功率分別是P，高度是h。設(shè)兩只路燈連線的路面上某點Q的坐標為（x，0），其中，假設(shè)兩個光源都可以看成點光源，并記兩個光源到點Q的距離分別為r1和r2，從光源到點Q的光線與水平面的夾角分別為和，兩個光源在點Q的照度分別為I1和I2，則yPPr2hhr1Q?10?2s(x,0)x數(shù)學模型建立如圖所示的坐標系，即路面的寬度為s，每只路燈的功Psin?1Psin?2I1?k,I2?k22r1r2其中k是量綱單位決定的比例系數(shù)，不妨記為k=1，且r?h?x,r?h?(s?x)21222222hhhhsin?1??,sin?2??r1r2h2?x2h2?(s?x)2得到點Q的照度為C(x)?2Ph(h?x)322?2Ph[h?(s?x)]322Psin?1Psin?2I1?k,I2?k22r1r2其中k問題1，求路面上最暗點和最亮點的問題化為求C（x）的最小值點與最大值點先計算C（x）的駐點，C（x）的階導函數(shù)為C'(x)??32Phx(h?x)522?3P2h(s?x)[h?(s?x)]2522另C'(x)?0Phx(h?x)22得52?2Ph(s?x)[h?(s?x)]522?0由數(shù)分的知識我們知道，只要能求出上述方程的根，我們就能求出照度函數(shù)的駐點，從而得到最小與最大值點。問題1，求路面上最暗點和最亮點的問題化為求C（x）的最小值點問題2：把照度函數(shù)看出是關(guān)于變量x和h的二元函數(shù)，即C(x,h)?2Ph(h?x)322?2Ph[h?(s?x)]322那么該問題就轉(zhuǎn)化成求二元函數(shù)的極值問題，分別對兩個變量求偏到可得以下方程組PhxPh(s?x)??C??055??x?222222?(h?x)[h?(s?x)]??22?CP3PhP3Ph??????03535??h222222222222(h?x)(h?x)[h?(s?x)][h?(s?x)]??問題2：把照度函數(shù)看出是關(guān)于變量x和h的二元函數(shù)，即C(二、非線性方程和方程組的Matlab求解1、圖解法（1）一元方程的圖解法用ezplot（）函數(shù)可以繪制出給定的隱函數(shù)f(x)=0曲線，再繪出直線y=0，讀出兩條曲線的交點的橫坐標即為方程的解。ezplot函數(shù)的調(diào)用格式，ezplot(fun)%隱函數(shù)表達式二、非線性方程和方程組的Matlab求解1、圖解法（1）一元【例1】【例1】（2）二元方程組的圖解法二元方程也可以用圖解法求解，用ezplot（）函數(shù)將第一個方程對應的曲線繪制出來，再在同一個坐標系下繪制出第二個方程對應的曲線，得出曲線后就可以通過讀取交點坐標的方式得出聯(lián)立方程的根。（2）二元方程組的圖解法二元方程也可以用圖解法求解，用ezp【例2】【例2】2、準解析解非線性方程中的多項式方程或者多項式方程組，根據(jù)代數(shù)中的根與系數(shù)的關(guān)系，對于次數(shù)低的我們可以求出它的解析解，對于次數(shù)高的我們可以得到高精度的數(shù)值也叫準解析解。在matlab符號工具箱中，solve（）函數(shù)就是求解這一類問題，以下為該函數(shù)的調(diào)用格式2、準解析解非線性方程中的多項式方程或者多項式方程組，根據(jù)代第六講求非線性方程和方程組的近似解課件【例3】【例3】3、數(shù)值解法（1）fzero()函數(shù)fzero函數(shù)用于求單變量方程的根，所采用的算法主要是二分法、割線法等的混合方法。fzero至少要輸入兩個參數(shù)：函數(shù)和迭代初始值（或者有根區(qū)間），其最簡單調(diào)用格式如下S=fzero(eqn,x0)其中，eqn是指方程左端的函數(shù)，如果函數(shù)復雜可以通過編寫函數(shù)M文件輸入，如果函數(shù)形式簡單，直接用inline函數(shù)輸入方程左端的函數(shù)。3、數(shù)值解法（1）fzero()函數(shù)fzero函數(shù)用于求單(2)fsolve()函數(shù)fsolve函數(shù)一般用于非線性方程組的求解（當然也可以用于方程的求解，但效果一般不如fzero函數(shù)），其調(diào)用格式如下(2)fsolve()函數(shù)fsolve函數(shù)一般用于非線性第六講求非線性方程和方程組的近似解課件【例5】求解函數(shù)OPT=optimset;OPT.TolX=1e-10[x,Y,c,d]=fsolve(f,[-1;0],OPT)【例5】求解函數(shù)OPT=optimset;OPT.TolX=(3)roots()函數(shù)roots()函數(shù)專門用于求單變量代數(shù)方程求根，即當f（x）為一元多項式時的求解，其調(diào)用格式如下r=roots(p)%p為多項式的系數(shù)向量（按降冪排列），輸出r為f（x）=0的全部根（包括復根）(3)roots()函數(shù)roots()函數(shù)專門用于求單變量三、實例的求解1、求路面上最暗點與最亮點Q的照度函數(shù)C(x)?2Ph(h?x)322?2Ph[h?(s?x)]322照度函數(shù)的導數(shù)C'(x)??32Phx(h?x)522?3P2h(s?x)[h?(s?x)]2522三、實例的求解1、求路面上最暗點與最亮點Q的照度函數(shù)C(x)解題思路將所給的實際數(shù)據(jù)，P=2,h=5,s=20代入上面兩個式子，在[0,20]上用matlab畫出這兩個函數(shù)的圖形，找出照度函數(shù)的駐點大約在那些數(shù)值附近，然后以這些值為初始值，用fzero()函數(shù)求出這些駐點的橫坐標，然后再求出相應的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，函數(shù)值最小的對應的x即為最暗的點，函數(shù)最大的點的x即為最亮的點解題思路將所給的實際數(shù)據(jù)，P=2,h=5,s=20代入上面畫圖找合適的初始值點symssc1=2*5/(5^2+s^2)^(3/2)+3*5/(5^2+(20-s)^2)^(3/2);c2=2*5*s/(5^2+s^2)^(5/2)-2*5*(20-s)/(5^2+(20-s)^2)^(5/2);S=[0:0.5:20];C1=subs(c1,S);C2=subs(c2,S);subplot(1,2,1)plot(S,C1);gridonsubplot(1,2,2)plot(S,C2);gridon結(jié)論：x0=[0,10,20]，即一階導數(shù)方程的有三個根，且在這三個數(shù)附近畫圖找合適的初始值點symssc1=2*5/(5^2+sy=inline('2*5/(5^2+x^2)^(3/2)+2*5/(5^2+(20-x)^2)^(3/2)');dy=inline(‘2*5*x/(5^2+x^2)^(5/2)-2*5*(20-x)/(5^2+(20-x)^2)^(5/2)');x0=[0,10,20];fori=1:3X(i+1)=fzero(dy,x0(i));C(i+1)=y(X(i+1));endX(1)=0,X(i+2)=20;C(1)=y(X(1)),C(i+2)=y(X(i+2));[X;C]結(jié)果：y=inline('2*5/(5^2+x^2)^(3/2)+補充:最優(yōu)化問題的求解要表述一個最優(yōu)化問題(即建立數(shù)學模型)，應明確三個基本要素：?決策變量（decisionvariables）：它們是決策者（你）所控制的那些數(shù)量，它們?nèi)∈裁磾?shù)值需要決策者來決策，最優(yōu)化問題的求解就是找出決策變量的最優(yōu)取值．?約束條件(constraints)：它們是決策變量在現(xiàn)實世界中所受到的限制，或者說決策變量在這些限制范圍之內(nèi)取值才有實際意義．?目標函數(shù)(objectivefunction):它代表決策者希望對其進行優(yōu)化的那個指標。目標函數(shù)是決策變量的函數(shù)．補充:最優(yōu)化問題的求解要表述一個最優(yōu)化問題(即建立數(shù)學模型)一、實例與數(shù)學模型?動物飼料配制問題的描述美國一家公司以專門飼養(yǎng)并出售一種實驗用動物而聞名．該公司的研究表明，這種動物的生長對飼料中的三種營養(yǎng)成分特別敏感，即蛋白質(zhì)、礦物質(zhì)和維生素．同時發(fā)現(xiàn)這種動物每天至少需要70克蛋白質(zhì)、3克礦物質(zhì)和10毫克維生素．該公司能得到五種飼料，每一種飼料每磅所含的營養(yǎng)成分如表9．l，每種飼料每磅的成本如表9．2．公司希望找出滿足動物營養(yǎng)需要而成本又最低的混合飼料配置．一、實例與數(shù)學模型?動物飼料配制問題的描述美國一家公司以專門表1每一種飼料每磅所含營養(yǎng)成分表2每種飼料每磅的成本表1每一種飼料每磅所含營養(yǎng)成分表2每種飼料每磅的成本模型的建立模型的建立上述過程寫成一般的數(shù)學表達式mincx?0.02x1?0.07x2?0.04x3?0.03x4?0.05x5s.t.0.30x1?2.00x2?1.00x3?0.60x4?1.80x5?700.10x1?0.05x2?0.02x3?0.20x4?0.05x5?30.05x1?0.10x2?0.02x3?0.20x4?0.08x5?10xj?0(j?1,2,3,4,5)這就是一個線性規(guī)劃問題，可以用線性規(guī)劃算法（更現(xiàn)成的是用各種相關(guān)的軟件）求解．T上述過程寫成一般的數(shù)學表達式mincx?0.02x1?0.0二、最優(yōu)化問題Matlab求解?（一）無約束最優(yōu)化問題求解無約束最優(yōu)化問題是最簡單的一類最優(yōu)化問題，其數(shù)學描述如下二、最優(yōu)化問題Matlab求解?（一）無約束最優(yōu)化問題求解無數(shù)值解法Matlab語言中提供了求解無約束優(yōu)化的函數(shù)fminsearch(),其優(yōu)化工具箱中還提供了函數(shù)fminunc(),這兩者的調(diào)用格式完全一致，為數(shù)值解法Matlab語言中提供了求解無約束優(yōu)化的函數(shù)fmin例1例1（二）有約束最優(yōu)化問題的求解按照靜態(tài)優(yōu)化問題的結(jié)構(gòu)是否線性分為線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃．線性規(guī)劃的特征是目標函數(shù)和約束條件中的函數(shù)都是決策變量的線性函數(shù)，并且約束是必不可少的（否則不存在有實際意義的解），（二）有約束最優(yōu)化問題的求解按照靜態(tài)優(yōu)化問題的結(jié)構(gòu)是否線性分1、線性規(guī)劃問題求解線性規(guī)劃問題數(shù)學描述為1、線性規(guī)劃問題求解線性規(guī)劃問題數(shù)學描述為matlab中優(yōu)化工具箱的求解函數(shù)在MATLAB優(yōu)化工具箱中，求解線性規(guī)劃的函數(shù)為linprog（）函數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用格式如下注意：[1]若沒有不等式：AX≤b存在，則令A=[]，b=[].[2]若沒有等式約束:Aeq·X=beq,則令Aeq=[],beq=[].[3]其中X0表示初始點matlab中優(yōu)化工具箱的求解函數(shù)在MATLAB優(yōu)化工具箱中【例2】【例2】2、非線性規(guī)劃問題的求解非線性規(guī)劃的一般數(shù)學描述為為求解方便，約束條件可以進一步細分，這原規(guī)劃可寫為2、非線性規(guī)劃問題的求解非線性規(guī)劃的一般數(shù)學描述為為求解方便該細分模型的求解命令如下該細分模型的求解命令如下【例3】【例3】第六講求非線性方程和方程組的近似解課件三、實例求解現(xiàn)在我們用matlab求解實例的數(shù)學模型mincTx?0.02x1?0.07x2?0.04x3?0.03x4?0.05x5s.t.0.30x1?2.00x2?1.00x3?0.60x4?1.80