黑龍江省哈爾濱市東安中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

黑龍江省哈爾濱市東安中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知、為非零向量，則“”是“函數(shù)為一次函數(shù)”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B2.O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且2++=，=t，若B，O，D三點(diǎn)共線，則t的值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】平行向量與共線向量．【分析】以O(shè)B，OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接OF與BC相交于點(diǎn)E，E為BC的中點(diǎn)．2++=，可得=﹣2==2，因此點(diǎn)O是直線AE的中點(diǎn)．可得B，O，D三點(diǎn)共線，=t，∴點(diǎn)D是BO與AC的交點(diǎn)．過點(diǎn)O作OM∥BC交AC于點(diǎn)M，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．利用平行線的性質(zhì)即可得出．【解答】解：以O(shè)B，OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接OF與BC相交于點(diǎn)E，E為BC的中點(diǎn)．∵2++=，∴=﹣2==2，∴點(diǎn)O是直線AE的中點(diǎn)．∵B，O，D三點(diǎn)共線，=t，∴點(diǎn)D是BO與AC的交點(diǎn)．過點(diǎn)O作OM∥BC交AC于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．則OM=EC=BC，∴=，∴，∴AD=AM=AC，=t，∴t=．故選：B．3.已知圓C：x2+y2=1，點(diǎn)M（t，2），若C上存在兩點(diǎn)A、B滿足=，則t的取值范圍是（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣3，3] D．[﹣5，5]參考答案：B考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．專題：計(jì)算題；直線與圓．分析：確定A是MB的中點(diǎn)，利用圓x2+y2=1的直徑是2，可得MA≤2，即點(diǎn)M到原點(diǎn)距離小于等于3，從而可得結(jié)論．解答：解：∵=，∴A是MB的中點(diǎn)，∵圓x2+y2=1的直徑是2，∴MA≤2，∴點(diǎn)M到原點(diǎn)距離小于等于3，∴t2+4≤9，∴﹣≤t≤，故選：B．點(diǎn)評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．4.若集合，，則中元素的個數(shù)為（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：答案：C解析：畫出集合N所表示的可行域，知滿足條件的N中的點(diǎn)只有（0，0）、（1，0）、（1，1）和（2，1）四點(diǎn)，選C5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）A．y=lnx3 B．y=﹣x2 C．y=x|x| D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義域的特點(diǎn)，奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，二次函數(shù)、分段函數(shù)，及反比例函數(shù)的單調(diào)性便可判斷每個選項(xiàng)的正誤，從而找出正確選項(xiàng)．【解答】解：A．y=lnx3的定義域?yàn)椋?，+∞），不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯誤；B．y=﹣x2為偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯誤；C．y=x|x|的定義域?yàn)镽，且（﹣x）|﹣x|=﹣x|x|；∴該函數(shù)為奇函數(shù)；；∴該函數(shù)在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是增函數(shù)，且02=﹣02；∴該函數(shù)在R上為增函數(shù)，∴該選項(xiàng)正確；D.在定義域上沒有單調(diào)性，∴該選項(xiàng)錯誤．故選：C．6.6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的做法種數(shù)為（

）A．144

B．120

C．72

D．24參考答案：D7.已知，則A.7

B.－7

C.

D.參考答案：D因?yàn)?，所以＝，故選D.8.下列有關(guān)命題的說法中，錯誤的是（） A． 若“p或q”為假命題，則p，q均為假命題 B． “x=1”是“x≥1”的充分不必要條件 C． “”是“”的必要不充分條件 D． 若命題p：”?實(shí)數(shù)x0，使x02≥0”則命題?p：“對于?x∈R，都有x2＜0”參考答案：考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用．專題： 簡易邏輯．分析： 對于A，根據(jù)“或命題”真假的判斷方法判斷；對于B，判斷充要性要雙向推理，即從左右互推進(jìn)行判斷；對于C，思路同上；對于D，特稱命題的否定：一是量詞的改變，二是結(jié)論的否定，依此判斷．解答： 解：對于A：或命題為假，當(dāng)且僅當(dāng)兩個命題都為真，故A為真命題；對于B：當(dāng)x=1時，顯然有x≥1成立，但是由x≥1，未必有x=1，故前者是后者的充分不必要條件；對于C：當(dāng)sinx=時，x=或，故C為假命題；對于D：該命題的否定符合特稱命題的否定方法，故D項(xiàng)為真命題．故選：C．點(diǎn)評： 該題目借助于命題真假的判斷重點(diǎn)考查了復(fù)合命題的真假判斷、命題充要性的判斷、及特稱命題的否定等知識，要注意準(zhǔn)確理解概念和方法．9.△ABC中，a=，b=3，c=2，則∠A=（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點(diǎn)】余弦定理．【專題】解三角形．【分析】由余弦定理cosA=，代入數(shù)據(jù)，再由特殊角的三角函數(shù)值，計(jì)算即可得到A．【解答】解：由余弦定理直接得，且A∈（0°，180°），得A=60°，故選C．【點(diǎn)評】本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10.已知函數(shù)f（x）＝＋，則滿足f（x－2）＜＋1的x的取值范圍是A．x＜3

B．0＜x＜3

C．1＜x＜e

D．1＜x＜3參考答案：D由題意,可知:f（x）為偶函數(shù),f（x）在上單調(diào)遞增且f（1）=＋1∴f（x－2）＜＋1，即,解得：1＜x＜3故選：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則__________．參考答案：【知識點(diǎn)】二倍角公式C6【思路點(diǎn)撥】由三角的二倍角的公式可求出值.12.在中，AB=2，AC=3，D是邊BC的中點(diǎn)，則

參考答案：略13.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

.參考答案：14.α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m?α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題是（填序號）參考答案：②③④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)空間直線與平面的位置關(guān)系的判定方法及幾何特征，分析判斷各個結(jié)論的真假，可得答案．【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故錯誤；②如果n∥α，則存在直線l?α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正確；③如果α∥β，m?α，那么m與β無公共點(diǎn)，則m∥β．故正確④如果m∥n，α∥β，那么m，n與α所成的角和m，n與β所成的角均相等．故正確；故答案為：②③④15.已知指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像都過，如果，那么

參考答案：答案：解析：令則，16.如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=，將△ABD沿對角線BD向上翻折，若翻折過程中AC長度在[，]內(nèi)變化，則點(diǎn)A所形成的運(yùn)動軌跡的長度為

．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】過A作BD的垂線AE，則A點(diǎn)軌跡是以E為圓心的圓弧，以E為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)二面角A﹣BD﹣A′的大小為θ，用θ表示出A和C的坐標(biāo)，利用距離公式計(jì)算θ的范圍，從而確定圓弧對應(yīng)圓心角的大小，進(jìn)而計(jì)算出圓弧長．【解答】解：過A作AE⊥BD，垂足為E，連接CE，A′E．∵矩形ABCD中，AB=1，BC=，∴AE=，CE=．∴A點(diǎn)的軌跡為以E為圓心，以為半徑的圓?。螦′EA為二面角A﹣BD﹣A′的平面角．以E為原點(diǎn)，以EB，EA′，EA為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系E﹣xyz，設(shè)∠A′EA=θ，則A（0，cosθ，sinθ），C（﹣1，﹣，0）∴AC==，∴，解得0≤cosθ≤，∴60°≤θ≤90°，∴A點(diǎn)軌跡的圓心角為30°，∴A點(diǎn)軌跡的長度為=．故答案為：【點(diǎn)評】本題考查了空間距離的計(jì)算，建立坐標(biāo)系用θ表示出AC的長是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．17.某幾何體的三視圖如圖所示，主視圖是直角三角形，側(cè)視圖是等腰三角形，俯視圖是邊長為的等邊三角形，若該幾何體的外接球的體積為36π，則該幾何體的體積為__________．參考答案：根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體如圖所示，由該幾何體的外接球的體積為，即，，則球心到底面等邊得中心的距離，根據(jù)球心O與高圍成的等腰三角形，可得三棱錐的高，故三棱錐的體積．即答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)在拋物線上．（Ⅰ）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）過拋物線上的動點(diǎn)作拋物線的兩條切線、，切點(diǎn)為、．若、的斜率乘積為，且，求的取值范圍．

參考答案：解：（Ⅰ）的焦點(diǎn)為， …2分所以，． Ks5u …4分故的方程為，其準(zhǔn)線方程為． …6分（Ⅱ）任取點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)P的的切線方程為．由，得．由，化簡得， …9分記斜率分別為，則，因?yàn)?，所? …12分所以，所以． …14分

略19.已知直線l的方程為y=x+2，點(diǎn)P是拋物線y2=4x上到直線l距離最小的點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線上異于點(diǎn)P的點(diǎn)，直線AP與直線l交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q與x軸平行的直線與拋物線y2=4x交于點(diǎn)B． （Ⅰ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （Ⅱ）證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求這個定點(diǎn)的坐標(biāo)． 參考答案：【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系． 【分析】（Ⅰ）利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出最小值，然后求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，顯然y1≠2．通過當(dāng)y1=﹣2時，求出直線AP的方程為x=1；當(dāng)y1≠﹣2時，求出直線AP的方程，然后求出Q的坐標(biāo)，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，解出直線AB的斜率，推出AB的方程，判斷直線AB恒過定點(diǎn)推出結(jié)果． 【解答】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則， 所以，點(diǎn)P到直線l的距離．當(dāng)且僅當(dāng)y0=2時等號成立，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．… （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，顯然y1≠2． 當(dāng)y1=﹣2時，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2），直線AP的方程為x=1； 當(dāng)y1≠﹣2時，直線AP的方程為， 化簡得4x﹣（y1+2）y+2y1=0； 綜上，直線AP的方程為4x﹣（y1+2）y+2y1=0． 與直線l的方程y=x+2聯(lián)立，可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為． 因?yàn)椋珺Q∥x軸，所以B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為． 因此，B點(diǎn)的坐標(biāo)為． 當(dāng)，即時，直線AB的斜率． 所以直線AB的方程為， 整理得． 當(dāng)x=2，y=2時，上式對任意y1恒成立， 此時，直線AB恒過定點(diǎn)（2，2）， 當(dāng)時，直線AB的方程為x=2，仍過定點(diǎn)（2，2）， 故符合題意的直線AB恒過定點(diǎn)（2，2）．… 【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般，分類與整合等數(shù)學(xué)思想． 20.（14分）（2015春?江蘇校級期中）是否存在常數(shù)a，b使得2+4+6+…+（2n）=an2+bn對一切n∈N*恒成立？若存在，求出a，b的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；若不存在，說明理由．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法．

專題：綜合題；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．分析：先假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，再令n=1，n=2構(gòu)造兩個方程求出a，b，再用用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，證明時先證：（1）當(dāng)n=1時成立．（2）再假設(shè)n=k（k≥1）時，成立，遞推到n=k+1時，成立即可．解答：解：取n=1和2，得解得，…（4分）即2+4+6+…+（2n）=n2+n．以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時，已證．…（6分）（2）假設(shè)當(dāng)n=k，k∈N*時等式成立即2+4+6+…+（2k）=k2+k…（8分）那么，當(dāng)n=k+1時有2+4+6+…+（2k）+（2k+2）=k2+k+（2k+2）…（10分）=（k2+2k+1）+（k+1）=（k+1）2+（k+1）…（12分）就是說，當(dāng)n=k+1時等式成立…（13分）根據(jù)（1）（2）知，存在，使得任意n∈N*等式都成立…（15分）點(diǎn)評：本題主要考查研究存在性問題和數(shù)學(xué)歸納法，對存在性問題先假設(shè)存在，再證明是否符合條件，數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設(shè)的模型才能成立．21.（12分）在數(shù)列中（），，（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和.參考答案：（1）由已知得，，即┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分（2）

┄┄┄┄┄┄①┄┄②┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分由①－②，得┄┄┄┄┄┄┄