高數(shù)A(2)三重積分

三

重

積

分習題課(9)課件制作：全志勇于紅香二、作業(yè)選講三、典型例題四、課堂練習一、內容總結一、內容總結1、三重積分的概念

(1)定義:

(2)物理意義:

的空間物體的質量.表示體密度為

2、三重積分的性質

(1)線性性質：

(2)可加性：

(4)單調性：若在上，，則

(5)估值性質:設的體積，則在上至少存在一點，使得

(3)的體積：

(6)中值定理：設函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，是

,則3、三重積分的計算方法

(1)利用直角坐標計算

a)“先一后二”法

則

b)“先二后一”法

其中是豎坐標為的平面截閉區(qū)域所得到的一個平面閉區(qū)域，則

若為在面上的投影區(qū)域若(2)利用柱面坐標計算若

則

(3)利用球面坐標計算若

則

4、三重積分的解題方法計算三重積分主要應用直角坐標、柱面坐標和球面坐標

三種坐標計算.通常要判別被積函數(shù)和積分區(qū)域

所具有的特點.如果被積函數(shù)

積分區(qū)域的投影是圓域，則利用球面坐標計算；如果

被積函數(shù)，則可采用先二后一法計算；如果

被積函數(shù)，積分區(qū)域為柱或的投影

是圓域，則利用柱面坐標計算；若以上三種特征都不具備，

則采用直角坐標計算.二、作業(yè)選講(P72.四).計算三重積分其中

是由

xOy平面上曲線所圍成的閉區(qū)域.提示:

利用柱坐標原式繞x軸旋轉而成的曲面與平面三、典型例題例1.設由確定,由所確定,則C上半球第一卦限部分例2.

把積分化為三次積分,其中

由曲面提示:積分域為原式及平面所圍成的閉區(qū)域.例3.計算積分其中

是兩個球(R>0)的公共部分.解法1：利用球面坐標計算.用圓錐面將分成兩部分其中于是,得(由作業(yè)P71三1修改)解法2：利用柱面坐標計算.由于在平面的投影區(qū)域為故在柱面坐標下，解法3:由于被積函數(shù)缺x,y,原式=利用“先二后一”計算方便.注意：從上面三種解法的計算過程中不難發(fā)現(xiàn),“先二后一”法最為簡便.

解例4.分析：由于被積函數(shù)中含有絕對值，故應首先考慮由三重積分的對稱性結論，可簡化所求三重積分.如何去掉絕對值，注意到積分區(qū)域關于三個坐標面均對稱，同時被積函數(shù)關于都為偶函數(shù)，故設為在第一卦限內的區(qū)域，則注意：若本題用球面坐標法計算,雖積分限很簡單，但被積函數(shù)的積分卻不易求得.利用“先二后一”計算.例5.試計算橢球體的體積V.解法1解法2利用三重積分換元法.則令例6.設函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零,其中(1)討論F(t)在區(qū)間(0,+∞)內的單調性;(2)證明t>0時,(2003考研)解:

(1)因為兩邊對t求導,得

f(x)恒大于零,(2)問題轉化為證即證故有因此t>0時,因廣義二重積分例7.求，其中

D為

y=4x2與

y=9x2在第一象限所圍成的區(qū)域.

解：積分區(qū)域圖形如圖所示.易見其為廣義二重積分.由被積函數(shù)可以看出，只能采用先對

x積分后對

y積分的積分次序.此時區(qū)域

D可表示為.因此例8.求一均勻的球頂錐體的重心，該球的球心與圓錐頂點重合,球的半徑為

a,圓錐的半頂角為.解：取球心為坐標原點，圓錐的對稱軸為z軸，建立直角坐標系，如右圖.則球面方程為：錐面方程為：球頂錐體就是這兩個曲面zxy所圍成的區(qū)域.故由于密度常數(shù)且關于z軸對稱，采用球面坐標計算三重積分：故該物體的重心坐標為：zxy四、課堂練習【2】計算三重積分.其中是由錐面

與平面所圍成的閉區(qū)域。

【4】設連續(xù)，，其中

，。求，。

【1】設，計算.

【3】計算三重積分,其中是由圓錐面

與上半球面所圍成的閉區(qū)域。

【6】計算三重積分。其中是由曲面

與平面，及所圍成的閉區(qū)域。

【5】求，其中是由球面

所限定的球域。【7】將三次積分改換積分次序為

.課堂練習解答分析：由于積分區(qū)域關于面對稱，而函數(shù)關于變量為奇函數(shù)，所以