三角形內(nèi)心的向量表示形式_第1頁
三角形內(nèi)心的向量表示形式_第2頁
三角形內(nèi)心的向量表示形式_第3頁
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向量表示形式有這樣一個高考題：已知0,N,P在：ABC所在平面內(nèi)，且|oa|-|o^-pc|,NANB =0,且Pa*-PBp百fP^C~Pc則耶A，n，p依次是二abc的（）（A）重心外心垂心（B）重心外心內(nèi)心（C）外心重心垂心（D）外心重心內(nèi)心答案為C,即分別為外心、重心、垂心，通過此題我們可以發(fā)現(xiàn)三角形的這三個“心”的向量表示形式非常和諧美觀。而三角形的“心”常見的有四個，我們不僅會想三角形內(nèi)心的向量表示形式是什么呢？內(nèi)心的向量表示有三種常見的形式，網(wǎng)絡以及資料上面，對于它們的證明往往不完整，下面我把內(nèi)心的向量表示形式及其驗證的完整過程給讀者介紹一下.的單位向量AM、AN的差向量MN，由條件可得MN與AI垂直，而（1）的單位向量AM、AN的差向量MN，由條件可得MN與AI垂直，而MN為等腰「AMN的底邊，故AI為.A的角平分線，同理可得Bl、CI亦為角平分線，即I是ABC內(nèi)心.上面的條件直觀意義較易發(fā)現(xiàn)，然而形式較為復雜，下面介紹一個較為簡單的充要條件，你能做岀證明嗎?（2）如圖， ABC的邊長分別為a、b、c,點I是ABC所在平面內(nèi)一點,TTT屮I是ABC內(nèi)心的充要條件是alAbIBcIC=0niIBDeBDeae則所以BDDCb，niIBDeBDeae則所以BDDCb，BCbeb+cAIABebeAIb+c連接BI,則有，所以IDBDaeaADabe因此，be be be c'AI-JAD=——(ABBDH——(AB—BC)abeabe abebebc c(AB (AC-AB))二abcbcTTT反之，當aIAbIBcICbcb c1(AB AC)abcbcbc=0時，可得點I為ABC的角平分線的交點，即為三角形的內(nèi)心.此題的證明需要利用角平分線的性質(zhì)定理與比例的性質(zhì)，在化簡變形的過程中要特別注意.(2)若0為平面內(nèi)任一點，則點 I為ABC的內(nèi)心的充要條件為a bOI OA OBa+b+c a+b+ccOCabc證明：由(1)知aIAbIB'cIC=0從而有OIaOAbOB.從而有a+b+c a+b+c上面我們提到的三角形的四個“心”非常奇妙，這一點從它們的向量表示形式上也能夠體現(xiàn)岀來，在平時的學習中要注意體會；同時向量法是研究幾何圖形性質(zhì)的重要方法，而上面的證明過程也告訴我

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