隨機(jī)誤差分布符合正態(tài)分布因此課件

2.1理論誤差2.1.1隨機(jī)誤差及其正態(tài)分布在重復(fù)測(cè)量條件下，對(duì)同一被測(cè)物理量進(jìn)行多次測(cè)量，若每一次的測(cè)量中無(wú)粗大誤差和系統(tǒng)誤差，則在測(cè)量結(jié)果中只有隨機(jī)誤差，這些隨機(jī)誤差是由很多暫時(shí)未能掌握或無(wú)法掌握的微小因素所引起的，其主要有下列幾個(gè)方面：（1）測(cè)量設(shè)備方面的因素，如零部件配合的不穩(wěn)定性、零部件的變形、零部件表面油膜不均勻、有摩擦等。（2）環(huán)境方面的因素，如溫度的微小波動(dòng)、溫度與氣壓的微量變化、光照強(qiáng)度的變化、灰塵以及電磁場(chǎng)的變化等。（3）人員方面的因素，如瞄準(zhǔn)、讀數(shù)的不穩(wěn)定、情緒的波動(dòng)等。這些誤差表面上看來(lái)是毫無(wú)規(guī)律的，但從整體上觀察是服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律的，這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律往往可以通過(guò)試驗(yàn)的方法得到。第2章誤差理論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.6方差2.1理論誤差2.1.1隨機(jī)誤差及其正態(tài)分布第2章1

在第1章中給出了一個(gè)實(shí)際測(cè)量結(jié)果的例子，以誤差作為橫坐標(biāo)，以頻率數(shù)f作為縱坐標(biāo)，將所得數(shù)據(jù)畫成頻率分布的直方圖，如圖2.1所示。在第1章中給出了一個(gè)實(shí)際測(cè)量結(jié)果的例子，以誤2由圖2.1可以看出，誤差集中在零值附近，若進(jìn)一步增加試驗(yàn)的次數(shù)，區(qū)間寬度進(jìn)一步縮小，則圖2.1可以變成一條光滑曲線，如圖2.2所示。由圖2.1可以看出，誤差集中在零值附近，若進(jìn)3（1）高斯誤差定律正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為：（2-1）

（2-2）

F（x）的圖形關(guān)于中心軸對(duì)稱，由此可以得出：（2-3）

（1）高斯誤差定律（2-1）（2-2）F（x）的圖形關(guān)于4圖2.3表示中不同σ的正態(tài)密度曲線，圖形是關(guān)于的x

=μ軸對(duì)稱，σ的大小影響圖形的形狀，σ大圖形胖而矮，σ小圖形瘦而高。圖2.3表示中不同σ的正態(tài)密5一般的正態(tài)分布可以通過(guò)適當(dāng)變換化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（2-4）

其值見(jiàn)附表1。分布圖見(jiàn)圖2.3-119世紀(jì)德國(guó)的科學(xué)家高斯研究大量的測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)誤差分布符合正態(tài)分布。因此，在誤差理論中將正態(tài)分布又稱為高斯分布，圖2.3中的曲線稱為高斯曲線，其分布密度函數(shù)及概率分布函數(shù)分別表示為：（2-5）

（2-6）

一般的正態(tài)分布可以通過(guò)適當(dāng)變換化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（2-4）6圖2.3-1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線圖2.3-1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線7（2）高斯分布的概率計(jì)算I.查表法圖例說(shuō)明利用Excel計(jì)算（2）高斯分布的概率計(jì)算圖例說(shuō)明利用Excel計(jì)算8標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布示意圖標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布示意圖9圖例說(shuō)明利用Excle進(jìn)行計(jì)算圖例說(shuō)明利用Excle進(jìn)行計(jì)算10隨機(jī)誤差分布符合正態(tài)分布因此課件11利用Excel進(jìn)行計(jì)算利用Excel進(jìn)行計(jì)算12II.電子表格計(jì)算法計(jì)算步驟如下：圖例說(shuō)明II.電子表格計(jì)算法計(jì)算步驟如下：圖例說(shuō)明13a或或或或a或或或或142.1.2隨機(jī)誤差的數(shù)理統(tǒng)計(jì)（1）母體和子樣數(shù)理統(tǒng)計(jì)中將研究對(duì)象的全體稱為母體，組成母體的每一個(gè)單元稱為子樣。工程試驗(yàn)的重要任務(wù)就是從子樣的試驗(yàn)中得到關(guān)于母體的結(jié)論。（2）統(tǒng)計(jì)量與無(wú)偏估計(jì)通過(guò)有限的子樣觀測(cè)值來(lái)計(jì)算母體最可信賴的平均值及方差，這種由子樣計(jì)算出來(lái)的特征量又稱作統(tǒng)計(jì)量，而統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，當(dāng)子樣容量足夠大時(shí)（一般n＞30），完全可以用子樣的參數(shù)估計(jì)出母體參數(shù)（稱為點(diǎn)估計(jì)），子樣平均值可以代表母體平均值A(chǔ)，子樣方差s可以代表母體方差σ，這統(tǒng)稱為母體參數(shù)的無(wú)偏估值。在數(shù)據(jù)處理中，只提出母體參數(shù)的無(wú)偏估值還是不夠的，因?yàn)槿魏我环N估計(jì)，如果不附以某種偏差范圍及在此區(qū)間內(nèi)包含參數(shù)X真值的可靠程度（或置信概率），是沒(méi)有多大意義的。2.1.2隨機(jī)誤差的數(shù)理統(tǒng)計(jì)（1）母體和子樣15可改寫為：圖示說(shuō)明置信度的意義可改寫為：圖示說(shuō)明置信度的意義16置信度的意義置信度的意義17測(cè)量結(jié)果＝子樣平均值±置信區(qū)間半長(zhǎng)解：用Excel電子表格進(jìn)行求解解：用Excel電子表格進(jìn)行求解18在實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)及分析測(cè)定數(shù)據(jù)中，盡管不是所有的測(cè)量值都嚴(yán)格遵守正態(tài)分布，但是，根據(jù)概率論的中心極限定理，n個(gè)相互獨(dú)立且又服從同一分布的隨機(jī)變量X，當(dāng)n足夠大時(shí)（如n＞30時(shí)，可稱為大子樣樣本），測(cè)定值的平均值漸近地服從正態(tài)分布。然而，實(shí)際測(cè)量中的子樣容量一般都較小（小子樣樣本），特別是熱工方面的試驗(yàn)往往如此，這時(shí)的n一般只有3～5。在這種情況下，不能用子樣均方差s來(lái)代表標(biāo)準(zhǔn)誤差。因?yàn)閟是一個(gè)隨機(jī)變量，不同的子樣有不同的值，子樣愈小，值愈不可靠，其統(tǒng)計(jì)量不再服從正態(tài)分布，而服從類似于正態(tài)分布的t分布。結(jié)論在實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)及分析測(cè)定數(shù)據(jù)中，盡管不是所有192.1.3測(cè)量中的壞值及剔除在實(shí)際測(cè)量中，由于偶然誤差的客觀存在，所得的數(shù)據(jù)總存在著一定的離散性。但也可能由于過(guò)失誤差出現(xiàn)個(gè)別離散較遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)，這通常稱為壞值或可疑值。如果保留了這些數(shù)據(jù)，必然影響測(cè)量結(jié)果的精確性。反過(guò)來(lái)，如果把屬于偶然誤差的個(gè)別數(shù)據(jù)當(dāng)作壞值處理，也許暫時(shí)可以報(bào)告出一個(gè)精確度較高的結(jié)果，但這是虛偽的，不科學(xué)的。正確區(qū)分壞值并去除它，是試驗(yàn)中經(jīng)常遇到的實(shí)際問(wèn)題，必須以科學(xué)的態(tài)度按統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理來(lái)處理。通常判別壞值常用的方法有兩種：一是物理判別法，即在觀測(cè)過(guò)程中及時(shí)發(fā)現(xiàn)并糾正由于儀表、人員及試驗(yàn)條件等情況變化而造成的錯(cuò)誤；二是統(tǒng)計(jì)判別法，即規(guī)定一個(gè)誤差范圍（±kσ）及相應(yīng)的置信概率1－α，凡超出該誤差范圍的測(cè)量值都是小概率事件，都可以認(rèn)為是壞值而予以剔除。關(guān)于k值的求得，有下面幾種方法。2.1.3測(cè)量中的壞值及剔除在實(shí)際測(cè)量20（1）拉伊特方法該方法按正態(tài)分布理論，以最大誤差范圍3σ為依據(jù)進(jìn)行判別。設(shè)有一組測(cè)值xi（i＝1，2…n），其子樣平均值為，偏差，按貝塞爾公式，如果某測(cè)量值xl（1≤l≤n）的偏差｜△xl｜＞3s時(shí)，則認(rèn)為xl是含有粗差的壞值。該方法的最大優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單、方便、不需查表。但對(duì)小子樣不準(zhǔn)，往往會(huì)把一些壞值隱藏下來(lái)而犯“存?zhèn)巍钡腻e(cuò)誤。例如，當(dāng)n≤10時(shí)：（2-8）（2-9）（1）拉伊特方法該方法按正態(tài)分布理論，以最21此時(shí)，任意一個(gè)測(cè)量值引起的偏差△xi都能滿足｜xi｜≤3s，不可能出現(xiàn)大于3s的情況，這當(dāng)然就有可能把壞值隱藏下來(lái)。在一些要求較嚴(yán)的場(chǎng)合，也用2s判別，但n≤5的測(cè)量同樣無(wú)法剔除壞值。此時(shí)，任意一個(gè)測(cè)量值引起的偏差△xi都能滿22例2.5對(duì)某物理量進(jìn)行15次等精度測(cè)量，測(cè)量值為：28.39，28.39，28.40，28.41，28.42，28.43，28.40，28.30，28.39，28.42，28.43，28.40，28.43，28.42，28.43試用拉伊特方法判斷該測(cè)量數(shù)據(jù)的壞值，并剔除。解：3s＝3×0.033＝0.099由拉伊特方法可知：△x8＝－0.104不在區(qū)間（－0.099,0.099）范圍內(nèi)，x8＝28.30是壞值，應(yīng)剔除。利用Excel進(jìn)行計(jì)算例2.5對(duì)某物理量進(jìn)行15次等精度測(cè)量，23（2）肖維勒方法該方法的基本原理是：認(rèn)為在n次測(cè)量中，壞值出現(xiàn)的次數(shù)為1/2次，即壞值出現(xiàn)的概率為1/2n。按概率積分：（2）肖維勒方法該方法的基本原理是：認(rèn)為在n24隨機(jī)誤差分布符合正態(tài)分布因此課件25（3）格拉布斯方法本方法的原理是用顯著性水平α來(lái)計(jì)算k值。這里把誤差超過(guò)±kσ的概率稱為顯著性水平α＝1－F（｜Δxi｜≤kσ），這樣式（2-11）變?yōu)椋?－F（x）＝α（2-12）或F（x）＝1－α（2-13）在絕大多數(shù)場(chǎng)合采用的顯著性水平為0.01或0.05（即有1%或5%的概率是超出范圍kσ的），對(duì)精度高的測(cè)量一般都用α＝0.01。k由觀測(cè)次數(shù)n和α所決定，列于表2-3中。（3）格拉布斯方法本方法的原理是用顯著性水26一組觀測(cè)值中的離差值｜△xi｜＞k（n,α）σ者為壞值，應(yīng)予剔除。肖氏法是經(jīng)典的方法，但概率上的意義不很科學(xué)，特別當(dāng)n→∞時(shí)，理論上k（n,α）→∞，此時(shí)所有的粗差壞值都不能剔除。而格氏方法被實(shí)踐證明是效果最好的方法。一組觀測(cè)值中的離差值｜△xi｜＞k（n,α）27注意：①不論上述哪一種方法，在計(jì)算離差△xi＝xi－

時(shí)，平均值。中包括所有的數(shù)據(jù)（即包括要剔除但未判斷清楚的可疑值），標(biāo)準(zhǔn)誤差s按貝塞爾公式計(jì)算。②經(jīng)檢查確認(rèn)為壞值者應(yīng)予剔除，然后用剩下的值計(jì)算平均值及誤差。注意：①不論上述哪一種方法，在計(jì)算離差△xi＝xi－28例2.6例2.5中的數(shù)據(jù)，用格拉布斯方法判斷是否存在壞值（α=0.05）。解：利用Excel進(jìn)行計(jì)算例2.6例2.5中的數(shù)據(jù)，用格拉布斯方法判斷是否存在29（4）狄克遜方法該法應(yīng)用極差（兩測(cè)值之差）比的方法得以簡(jiǎn)化復(fù)雜的計(jì)算公式。為提高判別壞值的效率，對(duì)不同的測(cè)量次數(shù)應(yīng)用不同的極差比公式計(jì)算。本方法對(duì)數(shù)據(jù)較多的情況更顯得簡(jiǎn)單方便。在n次測(cè)量中，各數(shù)據(jù)依大小順序排列：x1≤x2≤…≤xn當(dāng)懷疑值為xn時(shí)，狄克遜方法為：（4）狄克遜方法該法應(yīng)用極差（兩測(cè)值之差）30（2-14）研究這些統(tǒng)計(jì)量的分布，當(dāng)選定顯著水平α，得各統(tǒng)計(jì)量的臨界值r0（n，α），如果測(cè)量的統(tǒng)計(jì)量rij滿足

rij＞r0（n，α）（2-15）則認(rèn)為為壞值，應(yīng)剔除。（2-14）研究這些統(tǒng)計(jì)量的分布，當(dāng)選定顯著31當(dāng)懷疑值為x1時(shí)，狄克遜方法為：（2-16）如果測(cè)量的統(tǒng)計(jì)量rij滿足

rij＞r0（n，α）（2-17）則認(rèn)為為壞值，應(yīng)剔除。狄克遜系數(shù)r0（n，α）及統(tǒng)計(jì)量rij的計(jì)算公式如表2-4所示。當(dāng)懷疑值為x1時(shí)，狄克遜方法為：（2-16）如果測(cè)量的統(tǒng)計(jì)量32隨機(jī)誤差分布符合正態(tài)分布因此課件33例2.7仍以例2.5中的數(shù)據(jù)，用狄克遜方法判斷是否存在壞值（α=0.05）。解：利用Excel進(jìn)行計(jì)算例2.7仍以例2.5中的數(shù)據(jù)，用狄34（5）t檢驗(yàn)方法該方法以t分布為出發(fā)點(diǎn)，把可疑的壞值xl先暫時(shí)去掉，然后在所剩余的測(cè)量值中計(jì)算子樣平均值和均方差（標(biāo)準(zhǔn)誤差）s。當(dāng)｜△xl｜＝｜xl－｜＞k（α,n）s時(shí)，可疑值xl即為壞值。注意：（2-18）（2-19）（5）t檢驗(yàn)方法該方法以t分布為出發(fā)點(diǎn)，把可35k（n,α）列于表2-5中。k（n,α）列于表2-5中。362.1.4系統(tǒng)誤差上述討論的是隨機(jī)誤差的處理方法，是以測(cè)量數(shù)據(jù)中不含有系統(tǒng)誤差為前提的。實(shí)際上，測(cè)量過(guò)程中不僅存在隨機(jī)誤差，而且還存在著系統(tǒng)誤差，在某種情況下，系統(tǒng)誤差還比較大。因此，試驗(yàn)結(jié)果的正確性，不僅取決于隨機(jī)誤差，還取決于系統(tǒng)誤差的影響。由于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差同時(shí)存在于測(cè)量數(shù)據(jù)之中，而且系統(tǒng)誤差不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復(fù)測(cè)量又不能減小它對(duì)測(cè)量的影響，這種潛伏性使得系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差具有更大的危險(xiǎn)性。因此，研究系統(tǒng)誤差的規(guī)律，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差是很重要的。否則，對(duì)隨機(jī)誤差嚴(yán)格的數(shù)學(xué)處理將失去意義。在測(cè)量過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)有系統(tǒng)誤差存在，必須進(jìn)一步分析比較，找出可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素，減少或消除系統(tǒng)誤差。2.1.4系統(tǒng)誤差上述討論的是隨機(jī)誤差的37（1）系統(tǒng)誤差的分類根據(jù)系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的特點(diǎn)可將其分為固定系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差兩大類。凡是整個(gè)測(cè)量中始終存在著一個(gè)固定不變的偏差，便稱之為固定系統(tǒng)誤差；如果這個(gè)偏差經(jīng)常變化（如累進(jìn)變化、周期性變化等），則稱之為變化系統(tǒng)誤差。消除系統(tǒng)誤差一般可從下面三個(gè)方面著手：（?。└倪M(jìn)或選用適宜的測(cè)量方法來(lái)消除系統(tǒng)誤差；（ⅱ）用修正值來(lái)消除測(cè)量值中的系統(tǒng)誤差；（ⅲ）在測(cè)量過(guò)程中隨時(shí)消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素。（1）系統(tǒng)誤差的分類根據(jù)系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的特點(diǎn)可38（2）固定系統(tǒng)誤差消除或減弱的方法（A）交換抵消法以天平測(cè)重為例說(shuō)明如下：見(jiàn)圖2.6所示。即以兩次交換測(cè)量的結(jié)果的平均值作為被測(cè)物的質(zhì)量，這時(shí)實(shí)際不等臂產(chǎn)生的固定系統(tǒng)誤差就已經(jīng)被消除了。（B）替代消除法首先用一已知中間量T與被測(cè)量X平衡（如圖2.6（a）所示），然后再用砝碼替代X再稱一次。對(duì)比這兩次的測(cè)量，便可消除由天平不等臂引起的固定系統(tǒng)誤差。（2）固定系統(tǒng)誤差消除或減弱的方法（A）交換抵消法以天平39′圖2.6交換抵消法示意圖

X＝·P

X＝·P

′上面兩式相乘，得X＝當(dāng)l1≈l2時(shí)′圖2.6交換抵消法示意圖X＝·PX＝40（3）變化系統(tǒng)誤差的消除方法a.對(duì)稱測(cè)量法對(duì)呈線性變化的累進(jìn)系統(tǒng)誤差，用對(duì)稱測(cè)量來(lái)消除。如圖2.6.1所示：b.半周期偶數(shù)測(cè)量法對(duì)于周期性變化的系統(tǒng)誤差，可用半周期偶數(shù)測(cè)量法消除。方法為對(duì)于周期性變化的系統(tǒng)誤差，可以每隔半個(gè)周期進(jìn)行一次測(cè)量，取兩次讀數(shù)的平均值，即可消除周期性的系統(tǒng)誤差。如圖2.6.2所示：（3）變化系統(tǒng)誤差的消除方法a.對(duì)稱測(cè)量法對(duì)呈線性變化的累41圖2.6.1對(duì)稱測(cè)量法測(cè)量電阻的原理圖Rx為被測(cè)電阻，R0是已知電阻（標(biāo)準(zhǔn)值），用電位計(jì)分別測(cè)Rx和R0兩端的電壓降以求Rx。

t1時(shí)，測(cè)Ux.1=I1Rx

t2時(shí)，測(cè)U0.2=I2R0

t3時(shí)，測(cè)Ux.3=I3Rxt1、

t3時(shí)所測(cè)結(jié)果算術(shù)平均，得：因?yàn)殡娏鞒示€性變化，時(shí)間間隔相等，故，把此結(jié)果與t2時(shí)的測(cè)量結(jié)果相除便得：圖2.6.1對(duì)稱測(cè)量法測(cè)量電阻的原理圖42圖2.6.2周期性系統(tǒng)誤差的消除如圖所示的秒表。由于制造或裝配上的偏差，秒表中心有一偏心，從而引起了周期性的系統(tǒng)誤差。按半周期偶數(shù)測(cè)量法的原理，可在表盤的外圈按相差半個(gè)周期再刻一圈指示數(shù)，同時(shí)在指針的反方向再裝一指針，這時(shí)把內(nèi)外圈指示數(shù)取平均值即消除了周期系統(tǒng)誤差。如圖所示，短指針?biāo)x的內(nèi)圈指示值為61，長(zhǎng)指針?biāo)x外圈指示值為59，兩者平均值為60，這就消除了偏心引起的誤差圖2.6.2周期性系統(tǒng)誤差的消除如圖所43（4）修正值在試驗(yàn)中不能用測(cè)量方法的改變來(lái)消除已定系統(tǒng)誤差，只能通過(guò)儀器的標(biāo)定引入修正值來(lái)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的測(cè)量。（4）修正值在試驗(yàn)中不能用測(cè)量方法的改變來(lái)消44在試驗(yàn)過(guò)程中，常常會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)誤差、固定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差，且它們的絕對(duì)值和符號(hào)又常是未知的。(1)、已定系統(tǒng)誤差的合成方法——代數(shù)合成設(shè)有m個(gè)已定系統(tǒng)誤差，其絕對(duì)值和符號(hào)均已知，則：（2—24）(2)、隨機(jī)不確定度的合成方法——方差合成設(shè)有n個(gè)隨機(jī)誤差，隨機(jī)不確定度為

i，用3來(lái)估計(jì)，誤差范圍為i，則：（2—25）(3)、系統(tǒng)不確定度e的合成方法設(shè)有p個(gè)系統(tǒng)誤差，系統(tǒng)誤差限為（不確定度）為ei(i=1,2,….p)，所對(duì)應(yīng)的誤差范圍為

ei，則可有如下兩種合成方法。（a）絕對(duì)值求和法2.1.5試驗(yàn)誤差的合成方法在試驗(yàn)過(guò)程中，常常會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)誤差、固定系統(tǒng)誤45（2—26）（b）方差合成法：（2—27）(4)、總不確定度E（隨機(jī)不確定度與系統(tǒng)不確定度e）的合成（a）絕對(duì)值求和法：（2—28）（b）方差求和法：（2—29）（c）廣義方差求和法：（2—30）式中：K為n個(gè)隨機(jī)誤差與p個(gè)未定系統(tǒng)誤差之和分布的置信系數(shù)，ki為對(duì)（2—26）（b）方差合成法：（2—27）(4)、總不確定度46應(yīng)于p個(gè)未定系統(tǒng)誤差概率分布的置信系數(shù)，對(duì)正態(tài)分布

k=2.58~3.0。在只需估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差時(shí)，式（2—29）可變?yōu)椋海?—31）代表（n+p）個(gè)誤差引起的總標(biāo)準(zhǔn)誤差。(5)、準(zhǔn)確度A（2—32）當(dāng)用已定系統(tǒng)誤差的反號(hào)值（即－）來(lái)修正測(cè)量值后，該項(xiàng)誤差即可消除，此時(shí)的總不確定度就是測(cè)量的準(zhǔn)確度。應(yīng)于p個(gè)未定系統(tǒng)誤差概率分布的置信系數(shù)，對(duì)正472.2直接測(cè)量中誤差評(píng)價(jià)2.2.1等精度測(cè)量中的誤差評(píng)價(jià)（1）最可信賴值（算術(shù)平均值）在一組測(cè)量中，如果測(cè)量的全部條件都相同，那末各個(gè)觀測(cè)值都是同樣可信、可取的，各個(gè)值相互之間是等價(jià)的，也就是說(shuō)，它們的權(quán)是相同的，稱這樣的測(cè)量為等精度測(cè)量?；蛘哒f(shuō)，凡標(biāo)準(zhǔn)誤差s相同的測(cè)量都稱為等精度測(cè)量。設(shè)a為某測(cè)量的最佳值，而各個(gè)量值為x1，x2…，xn，為各測(cè)量值的算術(shù)平均值，則測(cè)量中各值與最佳值間和算術(shù)平均值的誤差為：2.2直接測(cè)量中誤差評(píng)價(jià)2.2.1等精度測(cè)量中的誤差48取n個(gè)誤差的和：根據(jù)誤差的抵償性，當(dāng)n的次數(shù)很大時(shí)，（2-33）取n個(gè)誤差的和：根據(jù)誤差的抵償性，當(dāng)n的次數(shù)很大時(shí)，（2-49（2）有限觀測(cè)次數(shù)中，標(biāo)準(zhǔn)誤差s的計(jì)算所以，就是最可信賴的最佳值，而正是算術(shù)平均值。由此可得出結(jié)論：在等精度測(cè)量中，算術(shù)平均值為最能近似代表真值的最佳值。設(shè)真值為a，算術(shù)平均值為，各觀測(cè)值為xi，則有（2-34）（2）有限觀測(cè)次數(shù)中，標(biāo)準(zhǔn)誤差s的計(jì)算所以50將（2-34）式求和得：（2-35）將(2-34)式平方后求和得：將（2-34）式求和得：（2-35）將(2-34)式平方后求51將（2-35）平方后得：當(dāng)n的次數(shù)很大時(shí)，可認(rèn)為將（2-35）平方后得：當(dāng)n的次數(shù)很大時(shí)，可認(rèn)為52則所以（2-36）則所以（2-36）53即（2-37）這說(shuō)明在有限次觀測(cè)中，各觀測(cè)值與算術(shù)平均值之差的平方和除以測(cè)量次數(shù)減1（即n－1）的方根為均方差（標(biāo)準(zhǔn)差s）。這首先由貝塞爾導(dǎo)出，故又稱貝塞爾方程。σ表示了測(cè)量中約有68.3%的點(diǎn)落在（－σ，＋σ）范圍內(nèi)，σ反映了測(cè)量的精密性。當(dāng)n很大時(shí)，可以認(rèn)為算術(shù)平均值等于真值，這個(gè)結(jié)論與前面的結(jié)論完全一致。即（2-37）這說(shuō)明在有限次觀測(cè)中，各觀測(cè)54用上述方法可以證明，在一組等精度觀測(cè)中，測(cè)量值的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為：（2-38）由此可得到啟示：對(duì)測(cè)量對(duì)象進(jìn)行多次重復(fù)觀測(cè)，所得結(jié)果的平均值（子樣平均值）比單次測(cè)量結(jié)果要精確得多。用上述方法可以證明，在一組等精度觀測(cè)中，測(cè)量55例2.8對(duì)某零件的長(zhǎng)度進(jìn)行9次重復(fù)測(cè)量，數(shù)據(jù)如下表，計(jì)算出測(cè)量結(jié)果。例2.8對(duì)某零件的長(zhǎng)度進(jìn)行9次重復(fù)測(cè)量，數(shù)據(jù)如下表562.2.2不等精度測(cè)量中的誤差的評(píng)價(jià)（1）不等精度測(cè)量中的權(quán)試驗(yàn)中常常對(duì)同一物理量a作很多組的平行測(cè)量，以提高準(zhǔn)確度。而每一組均有足夠的測(cè)量次數(shù)，ni越大，測(cè)量的準(zhǔn)確度越大，對(duì)結(jié)果占更重要的地位。

用來(lái)表示測(cè)量值可信賴程度的數(shù)值稱為權(quán)。因此求真值的最可信賴值，必須加上權(quán)的影響。既然權(quán)是用來(lái)表示測(cè)量值可信賴程度的一個(gè)量，而測(cè)量值可信賴程度又與標(biāo)準(zhǔn)誤差有關(guān)，標(biāo)準(zhǔn)誤差愈小，測(cè)量值可信賴程度愈大，因而其權(quán)也應(yīng)該大。2.2.2不等精度測(cè)量中的誤差的評(píng)價(jià)（1）不等精度測(cè)量中57對(duì)于一組不等精度的測(cè)量值x1，x2……xn，對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為s1，s2……sn，對(duì)應(yīng)的權(quán)數(shù)為m1，m2，……mn，每單位權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)差為s，則有（2-39）得出：（2-40）式（2-40）是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算權(quán)的公式。為了計(jì)算方便這里s通常取1。對(duì)于一組不等精度的測(cè)量值x1，x2……xn58（2）最佳估計(jì)值按上節(jié)同樣的原理，可得出在不等精度直接測(cè)量中，xi的最佳估計(jì)值為各測(cè)量值的加權(quán)算術(shù)平均值：（2-41）（2）最佳估計(jì)值按上節(jié)同樣的原理，可得出在不59（3）不等精度測(cè)量中的標(biāo)準(zhǔn)誤差s及算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差（2-42）（2-43）（3）不等精度測(cè)量中的標(biāo)準(zhǔn)誤差s及算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差（2-60例2.9利用四臺(tái)測(cè)角儀測(cè)量同一工件的角度，所得數(shù)據(jù)及其標(biāo)準(zhǔn)差如下：

x1＝38°47′06″，s1＝0.2″

x2＝38°47′11″，s2＝0.5″

x3＝38°47′09″，s3＝0.4″

x4＝38°47′08″，s4＝0.4″求測(cè)量結(jié)果。解：計(jì)算測(cè)量值xi的權(quán)mi：利用Excel進(jìn)行計(jì)算：例2.9利用四臺(tái)測(cè)角儀測(cè)量同一工件的612.3間接測(cè)量中誤差的數(shù)學(xué)處理設(shè)間接測(cè)量量y與直接測(cè)量量u、v、w存在如下的函數(shù)關(guān)系式：（2-44）直接測(cè)量量的最可信賴值（平均值）及其誤差而利用直接測(cè)量值求間接測(cè)量的最可信賴值及誤差2.3.1的求法根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系及式（2-44）有：如果誤差較小，那么上式可按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)為：（2-46）（2-45）2.3間接測(cè)量中誤差的數(shù)學(xué)處理設(shè)間接測(cè)量量62略去高階無(wú)窮小量，則：所以或（2-47）（2-48）略去高階無(wú)窮小量，則：所以或（2-47）（2-48）63（2-49）（2-50）式中稱為誤差的傳遞系數(shù)。式（2-47）就是已定系統(tǒng)誤差的傳遞公式，即總系統(tǒng)誤差為各部分系統(tǒng)誤差的代數(shù)和。用絕對(duì)值表示時(shí)，式（2-47）和式（248）可寫成由引起的：最大絕對(duì)誤差界最大相對(duì)誤差界如果重復(fù)測(cè)量了n次，則每次測(cè)量值可分別表示為：間接測(cè)量量y的算術(shù)平均值為：（2-49）（2-50）式中64將式（2-47）所表示的各個(gè)

yi代入上式，則：（2-50a）式中：代表各獨(dú)立物理量u，v，w的算術(shù)平均誤差。將式（2-47）所表示的各個(gè)yi代入上式，則：（2-565結(jié)論：2.3.2間接測(cè)量中標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞的普遍公式設(shè)有間接測(cè)量函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行n次觀測(cè)，由式（2-47）有：上式兩端平方n次測(cè)量中所引起的誤差

y

的平方總和為：結(jié)論：2.3.2間接測(cè)量中標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞的普遍公式66根據(jù)隨機(jī)誤差的四大分配率（對(duì)稱性和抵償性），當(dāng)n時(shí)，上式中的非平方項(xiàng)零。把上式兩瑞除以n后再開(kāi)方，即得到：（2-51）式中：Du、Dv、Dw稱為間接測(cè)量中各個(gè)物理量的部分絕對(duì)誤差。結(jié)論：間接測(cè)量中，函數(shù)的絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)誤差是各獨(dú)立物理量部分絕對(duì)誤差平方和的平方根。?誤差傳遞的基本規(guī)律。注意！

u、

v、

w有量綱與u、v、w相同。而Du、Dv、Dw與

y單位相同。相對(duì)誤差：把式（2-51)兩端分別除以函數(shù)y的平均值，此時(shí)的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)誤差

0y為：（2-52）無(wú)量綱根據(jù)隨機(jī)誤差的四大分配率（對(duì)稱性和抵償性），67在等精度測(cè)量中，同理可得出：（2-51a）（2-52a）式中：分別為n次測(cè)量中，u、v、w子樣平均值的絕對(duì)及相對(duì)誤差。在等精度測(cè)量中，同68例2.10已知某空心圓柱體的外徑Ｄ＝（3.600±0.004）mm，內(nèi)徑d＝（2.880±0.004）mm，高h(yuǎn)＝（2.575±0.004）mm，求體積V及其誤差，并寫出結(jié)果的表達(dá)式。解：其體積為：采用電子表格計(jì)算

例2.10已知某空心圓柱體的外徑Ｄ＝（3.600±0.0692.4組合測(cè)量中的誤差的評(píng)價(jià)組合測(cè)量方法是一種比較復(fù)雜的常用測(cè)量方法，該方法的數(shù)據(jù)處理和誤差的評(píng)價(jià)是根據(jù)最小二乘法進(jìn)行的。最小二乘法在數(shù)據(jù)處理中有著非常重要的地位。2.4.1最小二乘法原理最小二乘法的分類有以下幾種：（1）按計(jì)算方法分為：一般計(jì)算法、高斯約化法、矩陣解法，這是本節(jié)講解的重點(diǎn)。（2）按數(shù)據(jù)的相關(guān)性可分為：相關(guān)性最小二乘法和非相關(guān)性最小二乘法，這是第5章講解的重點(diǎn)。最小二乘法的原理：設(shè)l1，l2，……ln為被測(cè)物的測(cè)量值，v1，v2，……vn是測(cè)量值l1，l2，……ln的殘差（其中），m1，m2，……mn是測(cè)量值l1，l2，……ln的權(quán)。2.4組合測(cè)量中的誤差的評(píng)價(jià)組合測(cè)量方法是70若l1，l2，……ln符合正態(tài)分布，則（2-53）一般算法是將求導(dǎo)數(shù)并將其導(dǎo)數(shù)等于零，列出方程組，解方程組即可。矩陣解法為將用矩陣表示為：若l1，l2，……ln符合正態(tài)分布，則（2-53）一般算法71VTPV＝min式中：V——?dú)埐罹嚓?，P——全距陣。即當(dāng)為等精度測(cè)量時(shí)，m1＝m2＝……＝mn=1，P為單位矩陣。（2-54）VTPV＝min式中：V——?dú)埐罹嚓?，P——全距陣。即當(dāng)為72還可以證明，測(cè)量值l1，l2，……ln符合正態(tài)分布，的值最小。2.4.2組合測(cè)量中的數(shù)據(jù)處理及評(píng)價(jià)在測(cè)量中，采用組合測(cè)量方法的目的是為了避免產(chǎn)生過(guò)多的測(cè)量次數(shù)和測(cè)量方程，利用誤差的抵償性以提高測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性。(1)組合測(cè)量量的最佳值設(shè)y1，y2，……yn是測(cè)量值l1，l2,……ln的最佳估計(jì)值，x1，x2,……xt是未知量的最佳估計(jì)值，即是待求量。根據(jù)第1章中的組合測(cè)量定義知，xi與yi有下列關(guān)系：還可以證明，測(cè)量值l1，l2，……ln符合正態(tài)分布，的值最小73（2-55）若v1,v2,……vn是測(cè)量值l1,l2,……ln的殘差，m1，m2，……mn是測(cè)量值l1,l2,……ln的權(quán)，則殘差的方程為：（2-56）（2-55）若v1,v2,……vn是測(cè)量值l74根據(jù)最小二乘法原理得：，則上式對(duì)x1，x2，……xt求偏導(dǎo)數(shù)并且偏導(dǎo)數(shù)等于零，即得出正規(guī)方程組：根據(jù)最小二乘法原理得：，則上式對(duì)x1，x2，……xt求偏導(dǎo)數(shù)75（2-57）式中：[maiaj]——正規(guī)方程未知數(shù)前的系數(shù)，[majl]——正規(guī)方程的常數(shù)項(xiàng)。殘差方程中各殘差xi前的系數(shù)、和其對(duì)應(yīng)的權(quán)mk三項(xiàng)乘積之和，其公式為：（2-58）式中相對(duì)應(yīng)的殘差方程中各殘差xi前的系數(shù)。并且又（2-57）式中：[maiaj]——正規(guī)方程未知數(shù)前的系數(shù)，76的值為殘差方程中各殘差xi前的系數(shù)、其對(duì)應(yīng)的測(cè)量值lk和權(quán)mk三項(xiàng)乘積之和，其公式為：（2-59）解出正規(guī)方程組，求出未知量的最佳估計(jì)值。解線性方程組的方法很多，如代入消元法、加減消元法等。下面介紹矩陣解法，分別計(jì)算出D，D1，D2，……Dt的值。的值為殘差方程中各殘差xi前的系數(shù)77隨機(jī)誤差分布符合正態(tài)分布因此課件78未知量的最佳估計(jì)值的計(jì)算公式為：（2-60）（2）組合測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差設(shè)y1，,y2，……yn是測(cè)量值l1，l2，……ln的最佳估計(jì)值，x1，x2，……xt是未知量的最佳估計(jì)值，s1，s2，……st是測(cè)量值x1，x2,……xt的標(biāo)準(zhǔn)誤差，σ是測(cè)量值x1，x2,……xt單位權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，它的計(jì)算為測(cè)量值l1，l2，……ln總的殘差平方和除以自由度n－t。即：tnvmniii-鍈=12＝s（2-61）未知量的最佳估計(jì)值的計(jì)算公式為：（2-60）（2）組合測(cè)量的79下面采用矩陣法來(lái)推導(dǎo)各測(cè)量值x1，x2,……xt的標(biāo)準(zhǔn)誤差s1，s2，……st。方程（2-56）寫為矩陣的形式：

V＝L－AX式中：寫為矩陣的形式：VTPV，其中，由最小二乘法原理得：下面采用矩陣法來(lái)推導(dǎo)各測(cè)量值x1，x2,…80要使VTPV＝min，則，即得：

(L－AX)TPA＝0（2-62）由矩陣的法則化簡(jiǎn)為：

ＡＴＰＡＸ－ＡＴＰＬ＝０（2-63）令Ｎ＝ＡＴＰＡ，Ｕ＝ＡＴＰＬ并代入上式得：

ＮＸ＝Ｕ

（2-64）要使VTPV＝min，則，即得：(L－AX)TPA81（2-64）式就是正規(guī)方程的矩陣形式。該式的解為：

Ｘ＝Ｎ-１Ｕ

（2-65）下面根據(jù)權(quán)的定義構(gòu)造權(quán)逆陣，現(xiàn)構(gòu)造xi的方差矩陣D(X)。（2-66）（2-64）式就是正規(guī)方程的矩陣形式。該式的解為：Ｘ＝Ｎ82==83

Q叫做xi的權(quán)逆陣，根據(jù)xi的權(quán)逆陣中的Q1，Q2，……，Qt可以計(jì)算出xi的標(biāo)準(zhǔn)誤差，公式為：（2-68）由矩陣的知識(shí)可以證明：Q=N-1，利用這個(gè)式子可以求出Q1，Q2，……，Qt。計(jì)算公式如下：Q叫做xi的權(quán)逆陣，根據(jù)xi的權(quán)逆陣中的Q184對(duì)Q＝N–1

式子的兩邊同乘以矩陣N

，則

NQ＝N-1N＝E

（2-69）即對(duì)Q＝N–1式子的兩邊同乘以矩陣N，則85將上式寫成方程組的形式：將上式寫成方程組的形式：86用行列式法解上述方程組：用行列式法解上述方程組：87例2.11已知某測(cè)量量x1和x2是組合測(cè)量量，測(cè)量方程為：測(cè)量數(shù)據(jù)為l1＝3.0mm，l2＝5.1mm，l3＝4.6mm，求（1）測(cè)量量x1和x2的測(cè)量結(jié)果，（2）測(cè)量量x1和x2標(biāo)準(zhǔn)誤差。方程組行列式解為：（2-70）所以，各測(cè)量值x1，x2，……xt的標(biāo)準(zhǔn)誤差s1，s2，……st為：（2-71）例2.11已知某測(cè)量量x1和x2是組合測(cè)量量，測(cè)量方程為：測(cè)88解：①列出誤差方程：②組建正規(guī)方程：測(cè)量個(gè)數(shù)為3，未知數(shù)為2，正規(guī)方程的形式為計(jì)算正規(guī)方程的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)：[a1a1]＝a11a11＋a21a21＋a31a31＝2×2+3×3+4×4＝29同理可計(jì)算出：[a1a2]＝12，[a2a2]＝6，[a2a1]＝12相當(dāng)于解：①列出誤差方程：②組建正規(guī)方程：測(cè)量個(gè)數(shù)為3，未知數(shù)89li是等精度測(cè)量計(jì)算出：[a1l]＝39.7，[a2l]＝17.8正規(guī)方程為：解方程組得：③計(jì)算xi的標(biāo)準(zhǔn)誤差先計(jì)算出單位權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，將和代入誤差方程求得：v1＝0.03，v2＝－0.02，v3＝－0.01，li是等精度測(cè)量計(jì)算出：[a1l]＝39.7，[a2l]＝190則x1的權(quán)倒數(shù)Q1的計(jì)算：由方程計(jì)算出：Q1＝0.2x2的權(quán)倒數(shù)Q2的計(jì)算：由方程計(jì)算出：Q2＝0.97則x1的權(quán)倒數(shù)Q1的計(jì)算：由方程計(jì)算出：Q1＝0.2x2的權(quán)91x1的標(biāo)準(zhǔn)誤差：x2的標(biāo)準(zhǔn)誤差：所以，測(cè)量結(jié)果表示為：用Excel計(jì)算x1的標(biāo)準(zhǔn)誤差：x2的標(biāo)準(zhǔn)誤差：所以，測(cè)量結(jié)果表示為：用Ex922.5統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)2.5.1預(yù)備知識(shí)（1）t分布在小子樣測(cè)量中，由于試驗(yàn)數(shù)據(jù)有限，因而母體標(biāo)準(zhǔn)誤差σ是不能求得的。在σ未知情況下，欲根據(jù)子樣平均值估計(jì)母體的參數(shù)a，必須引入一個(gè)統(tǒng)計(jì)量t，而它只決定于子樣容量n，與其標(biāo)準(zhǔn)誤差σ無(wú)關(guān)。此時(shí)的統(tǒng)計(jì)量t有其獨(dú)特的分布規(guī)律——t分布或?qū)W生分布（這是由英國(guó)化學(xué)家W.S.Gosset用student的筆名發(fā)表的，學(xué)生分布的名稱由此而來(lái)）Gosset提出的新統(tǒng)計(jì)量t定義為：（2-72）2.5統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)2.5.1預(yù)備知識(shí)（2-72）93t分布的概率分布密度為：（－∞＜t＜+∞）式中Γ是伽瑪函數(shù)：叫做自由度，當(dāng)子樣容量為n時(shí)，在n個(gè)重復(fù)觀測(cè)的數(shù)據(jù)之間，它們要受到子樣均值的約束，所以n個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)是不獨(dú)立的，其余n-1個(gè)可以獨(dú)立變化，因此自由度。

t分布的概率分布密度為：（－∞＜t＜+∞）式中Γ是伽瑪函94t分布的概率積分為：（2-73）此式表明，在n次測(cè)量中，值的概率為α，具體數(shù)值可查附表2。t分布的概率分布圖形如圖2.11所示。當(dāng)給定一個(gè)自由度f(wàn)

和顯著性水平α?xí)r，查附表2求t

分布的置信區(qū)間半長(zhǎng)，如，

。用Excel進(jìn)行計(jì)算t分布的概率積分為：（2-73）此式表明，在n次測(cè)量中，值的95圖2.12t分布曲線與正態(tài)分布曲線從圖2.12可知，當(dāng)自由度f(wàn)

很小時(shí)，t分布的中心值較小，分散度大，如果用正態(tài)分布對(duì)小子樣進(jìn)行估計(jì)，則結(jié)果可能有存?zhèn)蔚腻e(cuò)誤，故t分布主要用于小子樣測(cè)量中的估計(jì)和推斷。當(dāng)子樣容量大于30后，t分布趨近于正態(tài)分布。圖2.12t分布曲線與正態(tài)分布曲線從圖96otf(t)顯著性水平a/2顯著性水平a/2-ta/2ta/2圖2.11t分布示意圖otf(t)顯著性水平a/2顯著性水平a/2-ta/2ta97對(duì)正態(tài)分布，用3σ作為根限誤差范圍的半長(zhǎng)，其置信概率1－α＝0.9973。但是對(duì)小子樣測(cè)量，其實(shí)際置信概率1－α將隨自由度f(wàn)=n-1的減小而減小，列表對(duì)照如下：表2-6正態(tài)分布與t分布對(duì)照表用Excel說(shuō)明對(duì)正態(tài)分布，用3σ作為根限誤差范圍的半長(zhǎng)，其98（2）F分布若與分別遵從正態(tài)分布

與

且兩樣本相互獨(dú)立，它們的方差分別為S12與S22，則統(tǒng)計(jì)量：（2-74）遵從第一自由度為f1＝n1－1與第二自由度f(wàn)2＝n2－1的F分布。F分布的概率密度函數(shù)為（2）F分布若99式中為Γ(f)伽瑪函數(shù)。F分布只取決于計(jì)算方差S12與S22的自由度f(wàn)1與f2。F分布的一個(gè)重要的性質(zhì)為：（2-75）公式（2-75）的F分布的概率密度函數(shù)示意如圖2.13查表法求值：F0.05（6，10）＝3.22,F0.01（24，14）＝3.43,F0.10（14，24）＝1.80.用Excel計(jì)算式中為Γ(f)伽瑪函數(shù)。F分布只取決于計(jì)算方差S12100圖2.13F分布的概率密度函數(shù)示意圖圖2.13F分布的概率密度函數(shù)示意圖1012.5.2統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的原理用子樣觀測(cè)值推論母體的參數(shù)特征屬于統(tǒng)計(jì)推斷的范疇，它包括兩方面的內(nèi)容：①參數(shù)的估計(jì)，②統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。由于試驗(yàn)研究工作的需要，往往先要對(duì)母體的某一統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行假定，之后利用反復(fù)觀測(cè)的子樣數(shù)據(jù)，根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)原理，用參數(shù)估計(jì)的方法進(jìn)行計(jì)算，以判斷假設(shè)是否成立，這就是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)或假設(shè)檢驗(yàn)。（1）統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的原理和基本思想2.5.2統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的原理用子樣觀測(cè)值推論102生產(chǎn)和試驗(yàn)中，反復(fù)觀測(cè)同一個(gè)物理量時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，量值總是存在著差異和波動(dòng)，而其性質(zhì)不外乎兩種：①隨機(jī)（偶然）誤差引起的差異和波動(dòng)；②生產(chǎn)或試驗(yàn)條件發(fā)生變化而引起的差異——條件誤差。這兩種誤差常常交叉、混雜在一起，一般用直觀的方法很難分辨出來(lái)，而統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)正是科學(xué)地處理和分辨這兩種不同性質(zhì)差異的方法。為說(shuō)明統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的原理和基本思想，舉例說(shuō)明如下。生產(chǎn)和試驗(yàn)中，反復(fù)觀測(cè)同一個(gè)物理量時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，103例2.12某建筑陶瓷廠生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，其抗壓力X服從正態(tài)分布，根據(jù)歷史資料記錄可知：X～N（20，12），即抗壓力X0＝20MPa，標(biāo)準(zhǔn)誤差σ0＝±1MPa，今為增加新產(chǎn)量，改變了工藝，抽子樣n＝100個(gè)進(jìn)行估計(jì)后，得子樣平均值＝19.78MPa。試判斷與X0之間的差異是什么性質(zhì)？解：用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的方法進(jìn)行分析和判斷。先假設(shè)工藝的改變對(duì)產(chǎn)品的抗壓力沒(méi)有影響，就是說(shuō)，與X0之間不存在條件差異，即與X0之間差異純粹是隨機(jī)誤差，或者說(shuō)子樣仍可看作是從原來(lái)的母體中取出來(lái)的。既然如此，也應(yīng)遵守正態(tài)分布。若

＝19.78MPa落在區(qū)間的置信概率為1－α，即例2.12某建筑陶瓷廠生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，104如果取α＝0.05，則k＝1.96（查正態(tài)分布表），同樣取α＝0.01，則k＝2.58。列表如下：如果取α＝0.05，則k＝1.96（查正態(tài)分105（a）當(dāng)顯著性水平α＝0.05時(shí)，子樣平均值與標(biāo)準(zhǔn)值X0之間存在著很大的差異。否定原假設(shè)。即認(rèn)為工藝的改變對(duì)產(chǎn)品的抗壓力顯著地減小了。這就是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的基本思想。（b）上面的結(jié)論是在α＝0.05下得出的。反之，當(dāng)α＝0.01時(shí)卻得出另一個(gè)完全相反的結(jié)論。說(shuō)明在顯著性水平α＝0.01下，與X0之間無(wú)顯著性差異，接受原假設(shè)。（a）當(dāng)顯著性水平α＝0.05時(shí)，子樣平均值與標(biāo)準(zhǔn)值X0之間106這兩個(gè)結(jié)論雖然不同，但并不矛盾。這是因?yàn)樗鼈兪窃诓煌娘@著性水平α下做出的。第一種情況是以顯著性水平α＝0.05來(lái)判定原假設(shè)不成立；而在α＝0.01下，不能拒絕（否定）原假設(shè)。由此可知，α的大小是很重要的。在某一確定的子樣容量下，選擇的α太大，則置信區(qū)間太小。此時(shí)，完全有可能把本來(lái)無(wú)顯著性差異的事件錯(cuò)判為有顯著性差異，從而犯了拒絕原假設(shè)的“棄真”錯(cuò)誤，這稱為第一類錯(cuò)誤。反過(guò)來(lái)，如果α選得太小，則置信區(qū)間很大，此時(shí)犯“棄真”錯(cuò)誤的可能性減少，但可能把本來(lái)有顯著性差異的事件錯(cuò)判為正常的、無(wú)顯著性差異，從而犯接受原假設(shè)的“存?zhèn)巍卞e(cuò)誤，這稱為第二類錯(cuò)誤。顯然，犯兩類錯(cuò)誤的概率不可能同時(shí)減少，如果減少其中的一個(gè)，則必然增大犯另一個(gè)錯(cuò)誤的可能性。要使它們同時(shí)減少，只有增大重復(fù)觀測(cè)的次數(shù)n。這兩個(gè)結(jié)論雖然不同，但并不矛盾。這是因?yàn)樗鼈?07在顯著性水平

下，檢驗(yàn)假設(shè)H0：=0，如果，則接受假設(shè)H0（即認(rèn)為未產(chǎn)生條件差異）；如果，則拒絕（否定）原假設(shè)H0（即認(rèn)為已產(chǎn)生了條件差異）。歸納：在實(shí)際工作中，

的大小應(yīng)視具體情況而定。如工藝改變比較容易，而采用新工藝的優(yōu)越性較大時(shí)，

應(yīng)取得大一些；相反，如果檢驗(yàn)藥品等關(guān)系重大的事件時(shí)，

可取得小一些。在顯著性水平下，檢驗(yàn)假設(shè)H0：=1082.5.3正態(tài)性檢驗(yàn)正態(tài)概率紙檢驗(yàn)①頻率直方圖檢驗(yàn)計(jì)算出各組數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率

f，作出

f~（x±

xi

）圖——頻率直方圖。見(jiàn)圖2.14a所示。與正態(tài)曲線偏離很大，否定正態(tài)性。②用正態(tài)概率紙來(lái)檢驗(yàn)對(duì)正態(tài)分布，平均值，標(biāo)準(zhǔn)誤差，則其概率積分為：2.5.3正態(tài)性檢驗(yàn)正態(tài)概率紙檢驗(yàn)①頻率109正態(tài)頻率分布圖圖2.14a頻率分布直方圖正態(tài)頻率分布圖圖2.14a頻率分布直方圖110三、u檢驗(yàn)法當(dāng)給定一個(gè)值后，就有相應(yīng)的F(x)=1－Q(u)與之對(duì)應(yīng)。根據(jù)正態(tài)概率積分可列表如下：

2.5.4u檢驗(yàn)法1)、母體均值一致性檢驗(yàn)設(shè)母體遵守正態(tài)分布N（

0，02），取子樣數(shù)據(jù)xi

，方差

02已知，檢驗(yàn)：（1）給出假設(shè)H0：=

0，對(duì)立假設(shè)H1：

≠

0

（2）在H0：=

0成立的條件下，選統(tǒng)計(jì)量：例2.13（a）雙邊檢驗(yàn)三、u檢驗(yàn)法當(dāng)給定一個(gè)值后111（3）對(duì)給定的顯著性水平

，根據(jù)對(duì)立假設(shè)H1和統(tǒng)計(jì)量u

的分布，如圖2.15-1所示：（4）從正態(tài)概率積分表中查得u/2，當(dāng)∣u∣>u/2時(shí)否定假設(shè)。（5）判斷∣u∣>u/2是否出現(xiàn)，若∣u∣>u/2，就拒絕H0；若∣u∣<u/2，就接受H0。在實(shí)際檢驗(yàn)中，人們往往更感興趣的是在采用了某種新的工藝或新的參數(shù)配比之后總體均值是否有顯著的增大。例如產(chǎn)品質(zhì)量、產(chǎn)量、材料的強(qiáng)度、產(chǎn)品的使用壽命、熱工設(shè)備的熱效率等質(zhì)量指標(biāo)無(wú)疑是越高越好，而成本、原材料消耗等指標(biāo)應(yīng)盡可能地小一些，對(duì)這一類問(wèn)題的處理涉及到單邊檢驗(yàn)。（3）對(duì)給定的顯著性水平，根據(jù)對(duì)立假設(shè)H1和統(tǒng)計(jì)量u112小概率事件為∣u∣>它的概率表達(dá)式為圖2.15-1u檢驗(yàn)法圖示圖2—6-1小概率事件為∣u∣>它的概率表達(dá)式為圖2.15-1113(b)右邊檢驗(yàn)在這種情況下，將檢驗(yàn)新的總體均值μ是否比原總體均值μ0大，即在顯著性水平α下，(b)右邊檢驗(yàn)在這種情況下，將檢驗(yàn)新的總114（c）左邊檢驗(yàn)同樣，在顯著性水平α下，將檢驗(yàn)新的總體均值μ是否比原總體均值μ0小，檢驗(yàn)原假設(shè)H：μ≤μ0，當(dāng)u＜－uα?xí)r接受原假設(shè)，反之否定原假設(shè)。例2.14已知水泥廠生產(chǎn)的普通硅酸鹽水泥，此水泥水化后，28天的抗壓強(qiáng)度（MPa）在正常情況下遵守正態(tài)分布N（45.5，1.082）。取5個(gè)樣品測(cè)試，其值為44.81，47.00，47.21，46.46，48.72。結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差不變，試問(wèn)總體均值有無(wú)顯著性變化?（c）左邊檢驗(yàn)同樣，在顯著性水平α下，將檢驗(yàn)115解：采用u檢驗(yàn)法，進(jìn)行雙邊檢驗(yàn)：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：子樣均值＝（44.81+47.00+47.21+46.46+48.72）＝46.84統(tǒng)計(jì)量解：采用u檢驗(yàn)法，進(jìn)行雙邊檢驗(yàn)：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：子樣均值＝（44116假設(shè)總體均值無(wú)變化，即μ＝μ0，則應(yīng)遵守正態(tài)分布N（45.5，0.1082），這樣u應(yīng)遵守N（0，1）。取顯著性水平α＝0.05，查附錄中的正態(tài)分布概率積分表，有＝1.96，比較得。所以否定假設(shè)。水泥的抗壓強(qiáng)度（MPa）發(fā)生了顯著性變化。下面再進(jìn)行單邊檢驗(yàn)：用右邊檢驗(yàn)：假設(shè)抗壓強(qiáng)度（MPa）比原來(lái)顯著地增大μ≥μ0，同樣在顯著性水平α＝0.05下，單邊臨界點(diǎn)uα＝1.64，因?yàn)閡＝2.774＞1.64，故接受假設(shè)，抗壓強(qiáng)度（MPa）比原來(lái)顯著地增加了。假設(shè)總體均值無(wú)變化，即μ＝μ0，則應(yīng)遵守正態(tài)117(2)兩個(gè)母體均值一致性檢驗(yàn)設(shè)兩個(gè)母體N1(

1，2)和N2(

2，2)1）給出假設(shè)H：

1=2（1容量n1，

2容量n2）2）在H：

1=2

成立的條件下，選統(tǒng)計(jì)量：~N（0，1）分布3）在顯著性水平下，從正態(tài)概率積分表查得u/2；4）判斷∣u∣>u/2是否出現(xiàn)，若∣u∣>u/2，就拒絕H；若∣u∣<u/2，就接受H。注！當(dāng)子樣容量n≥30時(shí)，可以認(rèn)為服從正態(tài)分布，可以用u檢驗(yàn)法。(2)兩個(gè)母體均值一致性檢驗(yàn)設(shè)兩個(gè)母體N118例2.15現(xiàn)有兩批產(chǎn)品，從第一批中抽取9次進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)的其平均值為＝1532，從第二批中抽取18次進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)的其平均值為＝1412，已知σ1＝423，σ2＝380，抽取的兩批樣品均符合正態(tài)分布，試問(wèn)這兩批產(chǎn)品是否相同（α＝0.05）？解：采用u檢驗(yàn)法，進(jìn)行雙邊檢驗(yàn)：假設(shè)這兩批產(chǎn)品是相同的，即μ1＝μ2，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量:例2.15現(xiàn)有兩批產(chǎn)品，從第一批中抽取9次進(jìn)行檢119取顯著性水平α＝0.05，查附錄中的正態(tài)分布概率積分表，有＝1.96，比較得｜u｜＝0.718＜＝1.96。所以接受原假設(shè)，認(rèn)為這兩批產(chǎn)品是相同的。取顯著性水平α＝0.05，查附錄中的正態(tài)分布1202.5.5t檢驗(yàn)法

未知，用t分布進(jìn)行總體均值的檢驗(yàn)。用s代替

。（1）給出假設(shè)H：

=

0；（2）在H：

=

0

成立的條件下，選統(tǒng)計(jì)量：~

t（f）分布，f為自由度。（3）在顯著性水平

下，按自由度f(wàn)=n－1及

查t分布附表得t/2，如

t檢驗(yàn)示意圖所示。（4）由樣本值計(jì)算出、s和統(tǒng)計(jì)量t。（5）判斷：若∣t∣＞t/2，拒絕H；若∣t∣＜t/2，接受H。單邊檢驗(yàn)，同u檢驗(yàn)法。1）與母體均值一致性檢驗(yàn)例2.162.5.5t檢驗(yàn)法未知，用t分布121t檢驗(yàn)法圖示t檢驗(yàn)法圖示1222）兩個(gè)母體均值一致性檢驗(yàn)設(shè)兩個(gè)母體X和Y，容量為

n1、n2。（1）給出假設(shè)H：

1=2（1容量n1，

2容量n2）（2）計(jì)算，和加權(quán)平均標(biāo)準(zhǔn)偏差s和統(tǒng)計(jì)量t：其標(biāo)準(zhǔn)偏差為：用加權(quán)平均值求出一個(gè)共同的平均標(biāo)準(zhǔn)偏差

s

：2）兩個(gè)母體均值一致性檢驗(yàn)設(shè)兩個(gè)母體X和123（3）在顯著性水平

下，按f=n1+n2－2查t分布表，查得t/2(n1+n2－2）。（4）判斷：若∣t∣>t/2，拒絕H；若∣t∣<t/2，接受H。2.5.6F檢驗(yàn)法設(shè)兩個(gè)正態(tài)總體X、Y相互獨(dú)立，X~

N1(

1，s12)，Y~

N2(

2，s22)，在某

下檢驗(yàn)s1

和s2的一致性。

（1）給出假設(shè)H：s1

=s2，（2）分別計(jì)算s12

和s22，設(shè)s12>

s22；（3）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量~

F（f1，f2）分布；（4）對(duì)給定的顯著性水平

和f1，f2查附表得F

（f1，f2）值；例2.17例2.18（3）在顯著性水平下，按f=n1+n2－2查t分布124F分布圖F分布圖125（5）判斷：當(dāng)F>F

（f1，f2）時(shí)，否定假設(shè)。反之接受假設(shè)。例2.19（5）判斷：當(dāng)F>F（f1，f2）時(shí)，否定假設(shè)。反1262.6方差分析方法2.6.1概述對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行多次測(cè)量所得到的一組數(shù)據(jù)x1，x2，……xn，由于受到各種因素的影響，各個(gè)測(cè)量值通常都是參差不齊的，它們之間的差異稱為誤差。由于試驗(yàn)條件的改變?cè)囼?yàn)誤差反映了測(cè)試結(jié)果的精密度

隨機(jī)因素引起系統(tǒng)誤差反映測(cè)試條件對(duì)測(cè)試結(jié)果的影響誤差大小的表示方法,誤差平方和：2.6方差分析方法2.6.1概述對(duì)試127數(shù)值越大，表示測(cè)量值之間的差異越大。誤差平方和隨著測(cè)量數(shù)目的增多而增大。為了克服這一缺點(diǎn)，用方差來(lái)表征誤差的大小，公式為：方差表征了誤差大小的統(tǒng)計(jì)平均值，其優(yōu)點(diǎn)是既能充分利用測(cè)試數(shù)據(jù)所提供的信息，又能避免對(duì)測(cè)量數(shù)目的依賴性。2.6.2方差分析的原理(1)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型水平——同一參數(shù)，數(shù)值的變化（水平變化）誤差——每一水平重復(fù)測(cè)量時(shí)產(chǎn)生的變化數(shù)值越大，表示測(cè)量值之間的差異越大。誤差平方128

表2—7是溫度對(duì)產(chǎn)品轉(zhuǎn)化率影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。溫度為5水平，每一水平重復(fù)試驗(yàn)3次。

每一溫度水平條件下的三次試驗(yàn)數(shù)據(jù)都可以認(rèn)為是某個(gè)總體的一個(gè)樣本。假設(shè)Ai水平條件下的總體真值為

i，則Ai水平條件下的全部數(shù)據(jù)可以表示為：

j為重復(fù)次數(shù)，

ij為隨機(jī)誤差。假設(shè)各個(gè)樣本之間沒(méi)有明顯差異，則在這種條件下，p個(gè)樣本的平均值也可以認(rèn)為是一個(gè)隨機(jī)樣本，其平均值的真值：表2—7是溫度對(duì)產(chǎn)品轉(zhuǎn)化率影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。129稱

為一般平均。把Ai

水平條件下的總體真值

i與p個(gè)總體真值的平均值

之差，定義為效應(yīng)

i

：

i

為因素水平第i水平時(shí)的效應(yīng)，它表示因素取第

i水平時(shí)試驗(yàn)結(jié)果與“中等”水平比，好多少或差多少的一個(gè)量。