陜西省西安交大附中高三上學(xué)期第五次診斷考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷

交大附中2020~2021學(xué)年第一學(xué)期高三第五次診斷考試數(shù)學(xué)(理科)試題一?選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知集合，，則（）A. B. C. D.————C分析：解絕對(duì)值不等式求集合B，利用集合的交運(yùn)算，求.解答：由題意，，而，∴.故選：C.2.若，則（）A.5 B.5 C.3 D.3————B分析：首先算出，然后可得答案.解答：因?yàn)?，所以所以故選：B3.若一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是正方形，則該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.6————D分析：由三視圖還原直觀圖，得正方體，進(jìn)而求其表面積即可.解答：由題設(shè)，三視圖得如下直觀圖：棱長(zhǎng)為1的正方體，∴正方體的表面積.故選：D.4.若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.————B分析：利用冪函數(shù)的單調(diào)性，直接求解即可解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以解得.故選：B5.角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸，點(diǎn)是角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則（）A. B. C.3 D.3————B分析：根據(jù)終邊上的點(diǎn)寫(xiě)出，結(jié)合二倍角余弦公式即可求值.解答：由題意知：，由二倍角余弦公式，有.故選：B.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出k的值為（）A.10 B.11 C.12 D.13————C分析：根據(jù)給出的程序框圖，執(zhí)行程序框圖，利用程序框圖的計(jì)算規(guī)律，結(jié)合判斷條件，即可求解.解答：由題意，執(zhí)行程序框圖，可得：第1次循環(huán)：滿足判斷條件，；第2次循環(huán)：滿足判斷條件，；第3次循環(huán)：滿足判斷條件，；第11次循環(huán)：滿足判斷條件，，此時(shí)不滿足判斷條件，輸出故選：C.7.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1 B.3 C.0 D.2————D分析：利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)得到函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出函數(shù)的圖象，觀察圖象可得答案.解答：當(dāng)時(shí)，為遞減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，為，且，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以函數(shù)的圖象如圖：由圖可知，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選：D點(diǎn)撥：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作出函數(shù)的圖象，利用圖象求解是解題關(guān)鍵.8.已知在三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且，，則三角形ABC的面積為（）A. B. C. D.————A分析：根據(jù)三角形內(nèi)角的性質(zhì)，結(jié)合已知求，，應(yīng)用余弦定理求，再由三角形面積公式求面積即可.解答：三角形ABC中，由知：，，而，∴由余弦公式，，得，∴.故選：A.9.設(shè)隨機(jī)變量，且，，則（）A. B. C. D.————C分析：利用二項(xiàng)分布的概率公式，結(jié)合已知求n、p，由即可求方差.解答：由題意知：且，可得，∴.故選：C.10.先將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像，且，，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.————B分析：由題意知的周期為且，由、即可求，寫(xiě)出解析式，又可得解析式，進(jìn)而求上的范圍.解答：由，是函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)，，知：的最小正周期為，∴，，即，又且，則，∴，而由圖象平移知：，∴，故時(shí)，.故選：B.點(diǎn)撥：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件確定的最小正周期，求參數(shù)值并寫(xiě)出解析式，根據(jù)函數(shù)的平移關(guān)系寫(xiě)出解析式.11.已知函數(shù)，則函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值分別是（）A.和 B.和C.和 D.和————A分析：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)極值和極值點(diǎn)的概念可求得結(jié)果.解答：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，,所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)在時(shí)取得極小值，為，在時(shí)取得極大值.所以函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值為.故選：A12.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，，與拋物線分別交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)M，N，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的面積的倒數(shù)的平方和為（）A.1 B.2或 C. D.2或————C分析：由題意設(shè)的方程為，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及焦點(diǎn)弦公式，可求得弦長(zhǎng)，又可求出原點(diǎn)到直線的距離，則可表示出的面積，利用，可表示出的面積，結(jié)合題意，即可得答案.解答：由題意知，直線，的斜率均存在，且焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，得，顯然設(shè)，則，故.又原點(diǎn)到直線的距離，所以，因?yàn)?，同理可得：，所?故選：C點(diǎn)撥：方法點(diǎn)睛：本題考查拋物線幾何性質(zhì)，拋物線焦點(diǎn)弦問(wèn)題，有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．考查分析理解，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬中檔題.二?填空題(共4小題，每小題5分，共20分)13.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)______________.————分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可得結(jié)果.解答：因?yàn)?，所以，所以函?shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為，由點(diǎn)斜式可得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：，即.故答案為：14.腰長(zhǎng)為3的等腰直角三角形ABC中，，，，則_______________.————4分析：首先用、表示、，然后可算出答案.解答：因?yàn)?，，所以因?yàn)?，所以故答案為?15.已知焦距為4的雙曲線的左，右頂點(diǎn)恰在圓上，則該雙曲線兩條漸近線的夾角為_(kāi)______________.————分析：由已知得，，結(jié)合，求出b，進(jìn)而求出漸近線方程，觀察兩條漸近線斜率之積為，可知兩條漸近線垂直，即可得到答案.解答：雙曲線的焦距，雙曲線的左，右頂點(diǎn)恰在圓上，，所以雙曲線兩條漸近線方程分別為：與兩漸近線斜率之積為，故兩條漸近線互相垂直，所以?xún)蓷l漸近線的夾角為故答案為：16.在四面體ABCD中，，，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_(kāi)______________.————分析：根據(jù)已知條件的邊角關(guān)系，有△、△都為等腰直角三角形，即上的中點(diǎn)O為外接球的球心，進(jìn)而求各棱長(zhǎng)，根據(jù)線面垂直的判定證面，則四面體ABCD的體積，可求體積.解答：由題意知：△、△都為等邊三角形，又，即，∴△、△都為等腰直角三角形，即可知上的中點(diǎn)O為外接球的球心，∴若外接球半徑為R，則，即，所以，，，∴，即，而，，故面，即四面體ABCD：以△為底，OA為高有.故答案：.點(diǎn)撥：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理確定△、△、△、△的形狀，確定外接球球心，進(jìn)而求棱長(zhǎng)，根據(jù)線面垂直確定四面體的高與底面，最后求體積.三?解答題(共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟)17.已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，若滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.————（1）；（2）.分析：（1）由已知得，可得出數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案.（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得答案.解答：（1）正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2）因?yàn)?，所以，上面兩式作差得所?點(diǎn)撥：方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和.（2）錯(cuò)位相減法：若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求.（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，相消剩下首尾的若干項(xiàng).常見(jiàn)的裂頂有，，等.（4）分組求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和.（5）倒序相加法.18.將三顆大小和質(zhì)地完全相同的骰子各擲一次，記向上的數(shù)字作為投擲的結(jié)果.（1）記事件A為“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”，事件B為“沒(méi)有出現(xiàn)3點(diǎn)”，計(jì)算；（2）記各擲一次大小和質(zhì)地完全相同的三顆骰子，向上出現(xiàn)的不同數(shù)字的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.————（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，分析：（1）利用古典概型求出，，再由條件概率公式即可求得結(jié)果；（2）各擲一次大小和質(zhì)地完全相同的三顆骰子，向上出現(xiàn)的不同數(shù)字的個(gè)數(shù)X可能取值為0,2,3，分別利用古典概型計(jì)算概率，列出分布列，再計(jì)算期望.解答：（1）三顆骰子各擲一次共有種情況，事件A為“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”有種情況，故事件B為“沒(méi)有出現(xiàn)3點(diǎn)”有種情況，故，.（2）各擲一次大小和質(zhì)地完全相同的三顆骰子，向上出現(xiàn)的不同數(shù)字的個(gè)數(shù)X可能取值為0,2,3，，，故隨機(jī)變量X的分布列：X023數(shù)學(xué)期望點(diǎn)撥：方法點(diǎn)睛：本題考查古典概型，離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列，組合，概率知識(shí)求出取各個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，對(duì)應(yīng)服從某種特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，考查學(xué)生邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.19.在正方體中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.————（1）證明見(jiàn)解析；（2）.分析：（1）由正方體的性質(zhì)，結(jié)合三垂線定理可證，，根據(jù)線面垂直的判定即可證平面；（2）構(gòu)建以D為原點(diǎn)，為x軸、y軸、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，確定的坐標(biāo)，求面的一個(gè)法向量，應(yīng)用向量法求與夾角的余弦值，由線面角與該角互余，即可得直線與平面所成角的正弦值.解答：（1）連接、，即為在面上的射影，為在面上的射影，∵正方體中，有，，∴，，而，∴面.（2）構(gòu)建以D為原點(diǎn)，為x軸、y軸、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，若正方體的棱長(zhǎng)為2，∴，即，若面的一個(gè)法向量為，則，令有，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.點(diǎn)撥：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）根據(jù)正方體性質(zhì)、三垂線定理以及線面垂直的判定證明線面垂直；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法，由線面角、直線方向向量與平面法向量夾角的關(guān)系，求線面角的正弦值.20.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為B，且.（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交C于M，N兩點(diǎn)，若△的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為，求直線的方程.————（1）；（2）.分析：（1）由題設(shè)知△和△均為等腰直角三角形，即有，求，寫(xiě)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）由題意直線的斜率不為0，可設(shè)直線為，代入橢圓方程整理，根據(jù)韋達(dá)定理、點(diǎn)線距離公式求、到直線的距離d，即可得△面積與t的關(guān)系，又△的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為求半徑，又由其周長(zhǎng)為4a，即可知面積，進(jìn)而列方程求參數(shù)t，寫(xiě)出直線方程.解答：（1）由題設(shè)知：由左?右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為B，且，∴△和△均為等腰直角三角形，且，∴，即C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知：，，直線的斜率不為0，可設(shè)直線為，∴代入橢圓方程整理得：，若，∴則，∴，而到直線的距離，故，又△的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為，若內(nèi)切圓半徑為r，則，而△的周長(zhǎng)為，∴，即，解得，∴直線的方程為.點(diǎn)撥：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）根據(jù)題設(shè)確定等腰直角三角形，即得，進(jìn)而求參數(shù)a，寫(xiě)出橢圓方程；（2）由直線與橢圓關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理、點(diǎn)線距離公式寫(xiě)出面積關(guān)于參數(shù)的函數(shù)式，以及三角形內(nèi)切圓半徑與面積的關(guān)系求面積，進(jìn)而列方程求參數(shù).21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）存在極大值點(diǎn).證明：的最大值不大于.————（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.分析：（1）由解析式得且定義域?yàn)?，討論、?dǎo)函數(shù)的符號(hào)研究函數(shù)的單調(diào)性及其對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）知要證結(jié)論只需證在恒成立，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)研究最值，即可證明不等式是否成立.解答：（1）由題設(shè)，且定義域?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，恒成立，即上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減；∴綜上：時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知：存在極大值點(diǎn)，則有且極大值為，∴要證的最大值不大于，只需證，即，令，則，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減；∴，即在上，恒成立，結(jié)論得證.點(diǎn)撥：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）根據(jù)解析式確定導(dǎo)函數(shù)及其定義域，應(yīng)用分類(lèi)討論的方法，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在恒成立，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值，進(jìn)而判斷不等式是否成立.22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最小值.————（1）曲線C：，直線l為；（2）.分析：（1）利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系消參，寫(xiě)出曲線C的普通方程，由直線極坐標(biāo)方程直接寫(xiě)出其直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，即得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，進(jìn)而確定的最小值即可.解答：（1）由已知，曲線C有，即曲線C的普通方程為；由坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為，∴直線l的直角坐標(biāo)方程