內(nèi)蒙古烏蘭察布高三下學(xué)期3月模擬調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)（文科）試卷

2021年內(nèi)蒙古烏蘭察布高考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷（文科）（一模）一、選擇題（共12小題）.1．已知集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{x|x（x﹣6）＜0}，則A∩B＝（）A．（﹣2，6） B．（0，4） C．（0，6） D．（﹣2，4）2．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足：z（1+i）＝i+2i2+3i3，則z＝（）A．2 B．2i C．﹣2 D．﹣2i3．某小區(qū)人數(shù)約30000人，創(chuàng)城期間，需對(duì)小區(qū)居民進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，樣本中有幼齡120人，青壯齡330人，老齡150人，則該小區(qū)老齡人數(shù)的估計(jì)值為（）A．3300 B．4500 C．6000 D．75004．已知α∈（o，），sinα＝，則cos（）＝（）A． B． C．﹣ D．﹣5．函數(shù)f（x）＝|x2﹣2x|，x1、x2、x3、x4滿足：f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝m，x1＜x2＜x3＜x4且x2﹣x1＝x3﹣x2＝x4﹣x3，則m＝（）A． B． C．1 D．6．直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，O為△ABC的外心，＝（）A．1 B．﹣1 C． D．﹣7．某四面體的三視圖如圖，則該多面體棱長(zhǎng)的最大值為（）A．2 B．2 C．3 D．8．已知F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在此拋物線上，且它的縱坐標(biāo)為6，以M為圓心，|MF|為半徑作圓，過(guò)Q（﹣1，﹣4）引圓M切線QA、QB，則∠AQB＝（）A．60° B．90° C．120° D．150°9．f（x）＝2sin（2x+），x1、x2滿足x1、x2∈（0，π），且f（x1）＝f（x2），則f（x1+x2）＝（）A． B．﹣ C．或﹣ D．1或﹣110．已知a＞b，c＞d，則以下命題：①2a?2c＞2b?2d；②2a+2c＞2b+2d；③（2a）c＞（2b）d．正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．311．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1且對(duì)任意k∈N*，a2k+1＝a2k+1，a2k＝a2k﹣1+2，則a2020＝（）A．3027 B．3030 C．2018 D．202012．四棱錐P﹣ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，M為PC中點(diǎn)，平面ADM交PB于Q，則＝（）A．1 B． C．2 D．二、填空題（共4小題）.13．已知x、y滿足，則z＝x+2y的最小值為．14．高二11班共有男生30人，女生20人，按男女性別分層抽取一個(gè)容量為10人的樣本，參加一個(gè)與兄弟班級(jí)的知識(shí)競(jìng)賽，抽取到的女生的數(shù)量是．15．雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，以線段F1F2為直徑作圓O，與雙曲線交于x軸上方的兩點(diǎn)為A、B，cos∠AOB＝，則雙曲線的離心率為．16．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2＝10，S10≤40，則滿足Sn＞0的n的最大值為．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和解題步驟，第1721題為必考題,第22，23題為選考題。17．銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，cos（A﹣C）+cosB＝，．（1）求∠B；（2）若a+c＝4，求△ABC的面積．18．三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2A1B1＝2A1C1．（1）證明：AB1⊥BC1；（2）求AC1與平面A1C1B所成角的正弦值．19．如表是S市某中學(xué)高二三班2020年第一學(xué)期期中考試16名學(xué)生的數(shù)學(xué)名次和年級(jí)總分名次數(shù)學(xué)年級(jí)名次x262667101247411192121總分年級(jí)名次y2103152567879119數(shù)學(xué)年級(jí)名次x147101155231393294192192總分年級(jí)名次y122133138152163174188206（1）用線性回歸方程擬合y與x的關(guān)系，計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，說(shuō)出相關(guān)性的強(qiáng)弱（|r|＞0.75叫做強(qiáng)相關(guān)，|r|＜0.75叫做弱相關(guān)）（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)填充以下表格，并計(jì)算有沒(méi)有85%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與總成績(jī)相關(guān)數(shù)學(xué)前120名數(shù)學(xué)120名以后合計(jì)總分前120名總分120名以后合計(jì)參考公式與數(shù)據(jù)：r＝，＝308243，＝237454.62．K2＝．P（K2≥k0）k020．橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為B，△BF1F2為等邊三角形，且橢圓C過(guò)點(diǎn)（1，）．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在圓O：x2+y2＝r2的切線l交橢圓C于M、N，且∠MON＝90°，若存在，求出r；若不存在，說(shuō)明理由．21．已知函數(shù)f（x）＝﹣（x+1）ln（x+1）．（1）證明：（0，+∞）上，f（x）有唯一的極小值點(diǎn)x0，且2＜x0＜3；（2）討論函數(shù)f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)．選考題：共10分。請(qǐng)考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．已知曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為：ρcos（）＝．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|．[選修45：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣2|+|x+2|．（圖中的每個(gè)方格是邊長(zhǎng)1個(gè)單位的正方形）（1）畫出函數(shù)f（x）的圖象；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若不等式f（x）＜f（x﹣a）的解集為{x|x＜3}，求a的取值范圍．參考答案一、選擇題（共12小題）.1．已知集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{x|x（x﹣6）＜0}，則A∩B＝（）A．（﹣2，6） B．（0，4） C．（0，6） D．（﹣2，4）解：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|0＜x＜6}，∴A∩B＝（0，4）．故選：B．2．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足：z（1+i）＝i+2i2+3i3，則z＝（）A．2 B．2i C．﹣2 D．﹣2i解：由z（1+i）＝i+2i2+3i3＝i﹣2﹣3i＝﹣2﹣2i，∴z＝．故選：C．3．某小區(qū)人數(shù)約30000人，創(chuàng)城期間，需對(duì)小區(qū)居民進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，樣本中有幼齡120人，青壯齡330人，老齡150人，則該小區(qū)老齡人數(shù)的估計(jì)值為（）A．3300 B．4500 C．6000 D．7500解：根據(jù)分層抽樣的定義可得抽取的老齡人數(shù)為：30000×＝7500，故選：D．4．已知α∈（o，），sinα＝，則cos（）＝（）A． B． C．﹣ D．﹣解：∵α∈（o，），sinα＝，∴cosα＝＝，則cos（）＝coscosα﹣sinαsin＝×﹣×＝，故選：A．5．函數(shù)f（x）＝|x2﹣2x|，x1、x2、x3、x4滿足：f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝m，x1＜x2＜x3＜x4且x2﹣x1＝x3﹣x2＝x4﹣x3，則m＝（）A． B． C．1 D．解：由函數(shù)的解析式可知函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝1，不妨設(shè)x1＝1﹣3a，x2＝1﹣a，x3＝1+a，x4＝1+3a（a＞0），由f（x4）＝f（x3）可得：|（1+3a）（3a﹣1）|＝|（1+a）（a﹣1）|，解得：（a＝0舍去）．則．故選：B．6．直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，O為△ABC的外心，＝（）A．1 B．﹣1 C． D．﹣解：∵直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，O為△ABC的外心，∴+＝且＝||?||?cos180°＝﹣1，∴＝﹣1+?（）＝﹣1+0＝﹣1，故選：B．7．某四面體的三視圖如圖，則該多面體棱長(zhǎng)的最大值為（）A．2 B．2 C．3 D．解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體由正方體切成的四面體ABCD；如圖所示：所以AB＝，，AD＝CD＝AC＝，所以最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為AB＝3．故選：C．8．已知F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在此拋物線上，且它的縱坐標(biāo)為6，以M為圓心，|MF|為半徑作圓，過(guò)Q（﹣1，﹣4）引圓M切線QA、QB，則∠AQB＝（）A．60° B．90° C．120° D．150°解：如圖，拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，由yM＝6，求得xM＝9，|MF|＝xM+1＝10，即圓的半徑為10，又Q點(diǎn)在準(zhǔn)線上，圓M與準(zhǔn)線切于（﹣1，6），可知|QA|＝10＝r，故四邊形AQBM為正方形，∠AQB＝90°．故選：B．9．f（x）＝2sin（2x+），x1、x2滿足x1、x2∈（0，π），且f（x1）＝f（x2），則f（x1+x2）＝（）A． B．﹣ C．或﹣ D．1或﹣1解：因?yàn)閤1、x2∈（0，π），且f（x1）＝f（x2），所以＜2x1+＜，＜2x2+＜，所以＝，或＝，解得x1+x2＝或x1+x2＝，所以f（x1+x2）＝2sin（2×+）＝或f（x1+x2）＝2sin（2×+）＝，所以f（x1+x2）＝．故選：A．10．已知a＞b，c＞d，則以下命題：①2a?2c＞2b?2d；②2a+2c＞2b+2d；③（2a）c＞（2b）d．正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：因?yàn)閍＞b，c＞d，所以2a＞2b＞0，2c＞2d＞0，所以2a?2c＞2b?2d，故①正確；所以2a+2c＞2b+2d，故②正確；取a＝0，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣2，則ac＜bd，則2ac＜2bd，即（2a）c＞（2b）d，故③錯(cuò)誤，故命題正確的個(gè)數(shù)是2．故選：C．11．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1且對(duì)任意k∈N*，a2k+1＝a2k+1，a2k＝a2k﹣1+2，則a2020＝（）A．3027 B．3030 C．2018 D．2020解：數(shù)列{an}滿足a1＝1且對(duì)任意k∈N*，a2k+1＝a2k+1，a2k＝a2k﹣1+2，當(dāng)n＝1時(shí)，a2k＝a2k﹣1+2，解得a2＝3，則：a2k+2＝a2k+1+2＝a2k+3，所以a2020＝（a2020﹣a2018）+（a2018﹣a2016）+…+（a4﹣a2）+a2＝1009×3+3＝3030．故選：B．12．四棱錐P﹣ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，M為PC中點(diǎn)，平面ADM交PB于Q，則＝（）A．1 B． C．2 D．解：延長(zhǎng)CB、DA交于S，連SM與PB交點(diǎn)為Q，AB∥CD?，故B為SC中點(diǎn)，又M為PC中點(diǎn)，故Q為△PSC的重心，故PQ：QB＝2：1．故選：C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知x、y滿足，則z＝x+2y的最小值為﹣．解：作出x，y滿足表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（0，2），B（﹣，﹣1），C（3，﹣1），設(shè)z＝F（x，y）＝x+2y，將直線l：z＝x+2y進(jìn)行平移，當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值∴z最小值＝F（﹣，﹣1）＝﹣．故答案為：﹣．14．高二11班共有男生30人，女生20人，按男女性別分層抽取一個(gè)容量為10人的樣本，參加一個(gè)與兄弟班級(jí)的知識(shí)競(jìng)賽，抽取到的女生的數(shù)量是4．解：∵11班共有學(xué)生50人，其中男生30人，女生20人，抽出一個(gè)容量為10的樣本，∴抽出的女生有×20＝4人，故答案為：4．15．雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，以線段F1F2為直徑作圓O，與雙曲線交于x軸上方的兩點(diǎn)為A、B，cos∠AOB＝，則雙曲線的離心率為．解：設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），以線段F1F2為直徑的圓O的方程為x2+y2＝c2，①又b2x2﹣a2y2＝a2b2，②由①②可得x＝±，由于A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，可得|AB|＝＝，在三角形ABO中，cos∠AOB＝＝＝，化為9e4﹣50e2+25＝0，解得e2＝5（舍去），所以e＝．故答案為：．16．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2＝10，S10≤40，則滿足Sn＞0的n的最大值為14．解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a2＝10，S10≤40，∴a1＝10﹣d，10a1+d≤40，可得：d≤﹣．∴Sn＝n（10﹣d）+d，由Sn＞0，可得：20+（n﹣3）d＞0，∴n＜﹣+3，∵d≤﹣，∴﹣+3≤14+，則滿足Sn＞0的n的最大值為14．故答案為：14．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和解題步驟，第1721題為必考題,第22，23題為選考題。17．銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，cos（A﹣C）+cosB＝，．（1）求∠B；（2）若a+c＝4，求△ABC的面積．解：（1）因?yàn)閏os（A﹣C）+cosB＝，所以cos（A﹣C）+cos[π﹣（A+C）]＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝，可得cosAcosC+sinAsinC﹣cosAcosC+sinAsinC＝2sinAsinC＝，可得sinAsinC＝，又，所以+＝＝＝＝，解得sinB＝，又B為銳角，所以B＝．（2）因?yàn)锽＝，所以由cos（A﹣C）+cosB＝cos（A﹣C）+＝，所以cos（A﹣C）＝1，由A，C為銳角，可得A﹣C＝0，可得A＝C＝B＝，可得a＝b＝c，又a+c＝4，可得a＝c＝2，所以S△ABC＝acsinB＝＝．18．三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2A1B1＝2A1C1．（1）證明：AB1⊥BC1；（2）求AC1與平面A1C1B所成角的正弦值．【解答】（1）證明：因?yàn)锳A1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB、AA1⊥AC，又因?yàn)椤螧AC＝90°，所以AB、AC、AA1兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)A1B1＝1，因?yàn)锳B＝AA1＝2A1B1＝2A1C1，所以AB＝AC＝2，AA1＝，A1C1＝1，＝（1，0，），＝（﹣2，1，），所以?＝（1，0，）?（﹣2，1，）＝﹣2+2＝0，所以AB1⊥BC1；（2）解：由（1）知＝（﹣2，1，），＝（0，1，0），＝（0，1，），設(shè)平面A1C1B的法向量為＝（x，y，z），，令x＝1，＝（1，0，），所以AC1與平面A1C1B所成角的正弦值為＝＝．19．如表是S市某中學(xué)高二三班2020年第一學(xué)期期中考試16名學(xué)生的數(shù)學(xué)名次和年級(jí)總分名次數(shù)學(xué)年級(jí)名次x262667101247411192121總分年級(jí)名次y2103152567879119數(shù)學(xué)年級(jí)名次x147101155231393294192192總分年級(jí)名次y122133138152163174188206（1）用線性回歸方程擬合y與x的關(guān)系，計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，說(shuō)出相關(guān)性的強(qiáng)弱（|r|＞0.75叫做強(qiáng)相關(guān)，|r|＜0.75叫做弱相關(guān)）（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)填充以下表格，并計(jì)算有沒(méi)有85%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與總成績(jī)相關(guān)數(shù)學(xué)前120名數(shù)學(xué)120名以后合計(jì)總分前120名總分120名以后合計(jì)參考公式與數(shù)據(jù)：r＝，＝308243，＝237454.62．K2＝．P（K2≥k0）k0解：（1）r＝＝≈0.23＜0.75，故用線性回歸方程擬合y與x的關(guān)系，相關(guān)性弱；（2）表格填充如下：數(shù)學(xué)前120名數(shù)學(xué)120名以后合計(jì)總分前120名448總分120名以后178合計(jì)51116≈2.618＞2.072．故有85%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與總成績(jī)相關(guān)．20．橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為B，△BF1F2為等邊三角形，且橢圓C過(guò)點(diǎn)（1，）．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在圓O：x2+y2＝r2的切線l交橢圓C于M、N，且∠MON＝90°，若存在，求出r；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）由題意知，b＝c，a＝2c，所以橢圓的方程為+＝1，將（1，）代入橢圓的方程，解得c2＝1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+＝1．（2）直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝±r，代入橢圓C的方程得+＝1，所以y2＝3﹣，由對(duì)稱性可得3﹣＝r2，解得r2＝，若直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx+t，因?yàn)橹本€l與圓O相切得＝r，（*）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立，得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，因?yàn)椤螹ON＝90°，所以x1x2+y1y2＝0，所以（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2＝0，所以（1+k2）?+kt?（﹣）+t2＝0，化簡(jiǎn)得t2＝（k2+1），由（*）得r2＝與t2＝（k2+1），得r2＝，此時(shí)r2＜4，直線l與橢圓交于兩點(diǎn)，所以r＝．21．已知函數(shù)f（x）＝﹣（x+1）ln（x+1）．（1）證明：（0，+∞）上，f（x）有唯一的極小值點(diǎn)x0，且2＜x0＜3；（2）討論函數(shù)f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：（1）證明：令h（x）＝f′（x）＝x﹣1﹣ln（x+1），則h′（x）＝1﹣＝，當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，h（2）＝1﹣ln3＜0，h（3）＝2﹣ln4＞0，所以在（0，+∞）上，f（x）有唯一的極小值點(diǎn)x0，且2＜x0＜3．（2）在（﹣1，0）上，h′（x）＝＜0，f′（x）為減函數(shù)，且f′（﹣1）＝＞0，f′（0）＝﹣1＜0，所以存在x1∈（﹣1，0），f′（x1）＝0，所以在（﹣1，x1）上，f′（x）＞0，在（x1，0）上，f′（x）＜0，在（0，+∞）上，h′（x）＞0，f′（x）為增函數(shù)，由（1）知，存在x2＝x0∈（0，+∞）上，f′（x2）＝0，所以在（0，x2）上，f′（x）＜0，在（x2，+∞）上，f′（x）＞0，所以（﹣1，x1）上，f（x）＞0，f（x）無(wú)零點(diǎn)，在（x1，x2）上，f′（x）＜0，f（x）為