線性變換和矩陣(完整版)實用資料

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7．3線性變換和矩陣線性變換和矩陣（完整版）實用資料(可以直接使用，可編輯完整版實用資料，歡迎下載）教學(xué)目的：熟練地求出線性變換關(guān)于給定基的矩陣A，以及n階矩陣A和基，求出關(guān)于這個基的矩陣為A的線性變換。由向量關(guān)于給定基的坐標，求出關(guān)于這個基的坐標。已知線性變換關(guān)于某個基的矩陣，熟練地求出關(guān)于另一個基的矩陣。教學(xué)內(nèi)容：線性變換的矩陣現(xiàn)在設(shè)V是數(shù)域F上一個n維向量空間.令是V的一個線性變換.取定一個基,,,.考慮V中任意一個向量仍是V的一個向量.設(shè)自然要問,如何計算的坐標.令(2)……………這里,i,j=1,…,n,就是關(guān)于基的坐標.令……A=………n階矩陣A叫做線性變換關(guān)于基的矩陣.矩陣A的第j列元素就是這樣,取定F上n維向量空間V的一個基之后,對于V的每一個線性變換,有唯一確定的F上n階矩陣與它對應(yīng).為了計算關(guān)于基的坐標,我們把等式(2)寫成矩陣形式的等式(3)=.設(shè)=因為是線性變換,所以(4)=將(3)代入(4)得A最后等式表明,關(guān)于的坐標所組成的列是A比較等式(1),我們得到定理7.3.1令V是數(shù)域F上一個n維向量空間,是V的一個線性變換,而關(guān)于V的一個基的矩陣是.如果V中向量關(guān)于這個基的坐標是,而的坐標是,那么(5)在空間內(nèi)取從原點引出的兩個彼此正交的單位向量作為的基.令是將的每一向量旋轉(zhuǎn)角的一個旋轉(zhuǎn).是的一個線性變換.我們有所以關(guān)于基的矩陣是設(shè),它關(guān)于基的坐標是,而的坐標是.那么令V是數(shù)域F上一個n維向量空間。是V的一個位似。那么關(guān)于V的任意基的矩陣是2、線性變換的性質(zhì)：引理7.3.2設(shè)V是數(shù)域F上一個n維向量空間，是V的一個基。那么對于V中任意n個向量，恰有V的一個線性變換，使得證設(shè)是V中任意向量。我們?nèi)缦碌囟xV到自身的一個映射：我們證明，是V的一個線性變換。設(shè)那么于是設(shè)，那么這就證明了是V的一個線性變換。線性變換顯然滿足定理所要求的條件：如果是V的一個線性變換，且那么對于任意，從而定理7.3.3設(shè)V是數(shù)域F上一個n維向量空間，是V的一個基。對于V的每一線性變換，令關(guān)于基的矩陣A與它對應(yīng)。這樣就得到V的全體線性變換所成的集合到F上全體n階矩陣所成的集合的一個雙射。并且如果，而那么（6）（7）證設(shè)線性變換關(guān)于基的矩陣是A。那么是到的一個映射。反過來，設(shè)是F上任意一個n階矩陣。令由引理7.3.2，存在唯一的使顯然關(guān)于基的矩陣就是A。這就證明了如上建立的映射是到的雙射。設(shè)。我們有==由于是線性變換，所以因此=A=所以關(guān)于基的矩陣就是AB。（7）式成立。至于（6）式成立，是顯然的。這個定理說明，作為F上的向量空間與同構(gòu)。由（7），我們說，這個同構(gòu)映射保持乘法。由此進一步得到設(shè)數(shù)域F上

n維向量空間V的一個線性變換關(guān)于V的一個取定的基的矩陣是A。那么可逆必要且只要A可逆，并且關(guān)于這個基的矩陣就是證設(shè)可逆。令關(guān)于所取定的基的矩陣是B。由（7），然而單位變換關(guān)于任意基的矩陣都是單位矩陣I。所以AB=I。同理BA=I。所以B=反過來，設(shè)，而A可逆。由定理7.3.3，有使。于是注意到（5），可看出=l。同理。所以有逆，而=3.一個線性變換關(guān)于兩個基的矩陣的關(guān)系：設(shè)V是數(shù)域F上一個n維向量空間。是的V一個線性變換。假設(shè)關(guān)于V的兩個基和的矩陣分別是A和B。即=，=令T是由基到基的過渡矩陣：=于是====因此（8）等式（8）說明了一個線性變換關(guān)于兩個基的矩陣的關(guān)系。設(shè)A，B是數(shù)域F上兩個n階矩陣。如果存在F上一個n階可逆矩陣T使等式（8）成立，那么就說B和A相似，并且記作A~Bn階矩陣的相似關(guān)系具有下列性質(zhì)：1自反性：每一個n階矩陣A都與它自己相似，因為A=2對稱性：如果A~B，那么B~A因為由得3傳遞性：如果A~B且B~C，那么A~C反過來，設(shè)A和B是數(shù)域F上兩個相似的n階矩陣。那么由定理7.3.3，存在F上n維向量空間V的一個線性變換，它關(guān)于V的一個基的矩陣就是A。于是=因為B與A相似,所以存在一個可逆的矩陣T,使得令=那么由定理6.5.3，也是V的一個基。容易看出，關(guān)于這個基的矩陣就是B。因此，相似的矩陣可以看成一個線性變換關(guān)于兩個基的矩陣。下令等式成立:第三章矩陣的初等變換和線性方程組第一節(jié)矩陣的初等變換一、消元法解線性方程組引例解線性方程組?2x1?x2?x3+x4=2,(1)?x+x?2x+x=4,(2)?1234①??4x1?6x2+2x3?2x4=4,(3)??3x1+6x2?9x3+7x4=9.(4)?x1+x2?2x3+x4=4,(1)?2x?x?x+x=2,(2)?1234(1)?(2)解：①????→?(3)÷2232,(3)x?x+x?x=234?1??3x1+6x2?9x3+7x4=9.(4)?x1+x2?2x3+x4=4,(1)?0x+2x?2x+2x=0,(2)?1234(2)?(3),(3)?2(1)?????→?(4)?3(1)?0x1?5x2+5x3?3x4=?6,(3)??0x1+3x2?3x3+4x4=?3.(4)?x1+x2?2x3+x4=4,(1)?0x+x?x+x=0,(2)?1234(2)÷2,(3)+5(2)?????→?(4)?3(2)?0x1+0x2+0x3+2x4=?6,(3)??0x1+0x2+0x3+x4=?3.(4)?x1+x2?2x3+x4=4,(1)?0x+x?x+x=0,(2)?1234(3)?(4)????→?(4)?2(3)?0x1+0x2+0x3+x4=?3,(3)??0x1+0x2+0x3+0x4=0.(4)?x1+0x2?x3+0x4=4,(1)?0x+x?x+0x=3,(2)?1234(1)?(2)②????→?(2)?(3)+++=?0003,(3)xxxx234?1??0x1+0x2+0x3+0x4=0.(4)方程組②是4個未知量3個有效方程的方程組，應(yīng)有一個自由未知量，由于方程組②呈階梯形，可把每個臺階的第一個未知量（即x1,x2,x4）選為非自由未知量，剩下的x3選為自由未知量。這樣，就只需用“回代”的方法便能求出解：由②中（3）得x4=?3代人（2），得x2=x3+3；以x4=?3，x2=x3+3代人（1），得x1=x3+4。于是解得?x1?x3=4,?x1=x3+4,???x2?x3=3,?x2=x3+3,?x=?3.?x=?3.?4?4?x1??c+4?????x+3c2?，即其中x3可任意取值。或令x3=c，方程組的解可記作x=??=??x3??c?????x?3??4???1??4?????1??3??x=c+，其中c為任意常數(shù)。?1??0??????0???3?注1、在消元過程中，始終把方程組看做一個整體，著眼于整個方程組變成另一個方程組，其中對方程組施行了三種變換：1)交換兩個方程的位置；2）用一個不為零的數(shù)乘某一個方程；3）用一個數(shù)乘某個方程后加到另一個方程上。稱這三種變換為線性方程組的初等變換。由于這三種變換都是可逆的，因此，變換前后的方程組是同解的。2、在上述變化過程中，實際上，只對方程組的系數(shù)與常數(shù)進行運算，未知量并未參加運算。因此，若記?2?1?11?11?21B=(Ab)??4?62?2??36?972??4?4??9?那么上述對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B的變換。把方程組的上述三種初等變換移植到矩陣上，可得矩陣的三種初等變換。二、矩陣的初等變換定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：1）對調(diào)兩行稱為互換（對調(diào)i,j兩行，記作ri?rj）；2)以數(shù)k≠0乘以某一行中的所有元素稱為倍乘（第i行乘k，記作ri×k）；3)把某一行所有元素的k倍加到另一行對應(yīng)的元素上去稱。為倍加（第j行的k倍加到第i行，記作ri+krj）把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義（所用記號是把“r”換成“c”）。矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。注矩陣的初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換。矩陣等價1)定義2若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價，記作A～B。2)等價關(guān)系的性質(zhì)反身性A～A；對稱性若A～B則B～A；傳遞性若A～B,B～C，則A～C。用矩陣的行初等變換解方程組顯然對一個線性方程組施行一個初等變換，相當于對它的增廣矩陣施行一個對應(yīng)的初等行變換。按此觀點可把方程組①用消元法到②的過程翻譯成對①的增廣矩陣施行初等行變換的過程如下：（注：其過程可與消元法過程一一對照）?2?1?11?11?21以上例為例B=??4?62?2??36?972??11?21??4?r1?r2?2?1?11???→r3÷2?2?31?14???9??36?974??2?=B12??9??11?214???02220?r2?r3,r3?2r1?=B????→?2r4?3r1?0?55?3?6???03343?????1?0r2÷2,r3+5r2?????→r4?3r2?0??0?1?0r1?r2????→r2?r3?0??01?214??1??1?110?0r3?r4?=B3???→r4?2r3?0002?6???001?3??01?214??1?110?=B4001?3??0000?0?11?1000004??x1?x3=4,?03??=B5B5對應(yīng)的方程組為?x2?x3=3,1?3??x=?3.??400??x1??c+4??1??4?????????x+c3?，即x=c?1?+?3?，其中取x3為自由變量，并令x3＝c，即得x=?2?=??x3??c??1??0?????????x?3??0???3??4??c為任意常數(shù)。注1）一個矩陣與施行初等變換后所得的矩陣一般不相等，所以不能用等號來連接，而是用箭頭來連接。2）B4,B5稱為行階梯形矩陣，其特點為：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每一個臺階只有一行，臺階數(shù)既是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元，也就是非零行的第一個非零元。3)B5還稱為行最簡形矩陣，其特點是：非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為零。4)用歸納法可證明，任何矩陣A＝(aij)m×n總可經(jīng)過有限次的初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形和行最簡形陣，即若aij不全為零。通過初等行變換能把A化為如下行最簡形：?1??0???0?0???0?00...0c1,r+1...c1n??10...0c2,r+1...c2n???00...1cr,r+1...crn?。從解線性方程組的角度看，這就是說m個00...00...0???00...00...0??線性方程，可化簡為r個線性方程來求解。至此產(chǎn)生這樣一個問題：r這個數(shù)是由原線性方程組所唯一確定，還是隨著不同的初等變換過程而變化的？在下一節(jié)引入一個概念后可解決此問題。其實行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的；行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的。3)對行最簡形矩陣再施以初等列變換，可變?yōu)橐环N形狀如下的標準形：?ErA～??00??，其特點為：左上角是一個單位矩陣，其余元素全全為零。標0?m×n0?11?1000004??10??03?c3?c4,c4+c1+c2?01?????→c5?4c1?3c2+3c3?00?1?3??00??0001000000??0?＝F。?0?0?準形由m，n，r三個數(shù)唯一確定，其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。?1?0例如B5=??0??0這個結(jié)論可由以下定理嚴格證明：定理1任意一個矩陣A=(aij)的矩陣D。經(jīng)過若干次初等變換，可以化為下面形式m×n?1????????Ir1D=??=?0???O(m?r)×r??????0??Or×(n?r)??.O(m?r)×(n?r)?證明如所有的aij都是零，則A已是D的形式（此時r=0）；如果至少有一個元素不等于零，不妨設(shè)a11≠0（如a11=0，可以對矩陣A施以第（1）種初等變換，使左上角元素不等于零）。用?aai1乘第一行加于第i行上（i=2,…,m）,用?1ja11a11乘所得矩陣的第一列加于第j列上（j=2…n），然后以化為?10?'0a22A1=??......?'?0am21乘第一行，于是矩陣Aa11...0?'?...a2?1O?n?=???...OB?1??'...amn?如果B1=O，則A已化為D的形式，如果B1≠O，那么按上面的方法，繼續(xù)下去，最后總可以化為D的形式。定義2D稱為矩陣的標準形。所有與A等價的矩陣組成一個集合，稱為一個等價類，標準形是這個等價類中形最簡單的矩陣。4．用矩陣的行初等變換解線性方程組的步驟：1)寫出增廣矩陣B；2)將B用行初等變換化為行最簡形F；3)寫出F對應(yīng)的方程組；4)寫出解。三、小結(jié)1、行列式與矩陣的初等變換的、階梯形矩陣、行最簡形矩陣、矩陣等價的概念。2、用矩陣的初等變換解線性方程組的步驟。四、作業(yè)P791(3)(4)第二節(jié)初等矩陣一、概念定義3由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。據(jù)此對單位矩陣En施行三種初等變換所對應(yīng)的初等矩陣分別為：?1???????1??0.........1????1??ri?rj→1)互換En??????＝E(i,j)。(或ci?cj)??1??1.........0????1??????1??i列j列?1???????1??kri→2)倍乘En???k??=E(i(k))。(或kci)??1?????1???i列3)倍加?1???????k1??ri+krj→a)i?j時En??????=E(ij(k))，(或cj+kci)??1?????1???i列j列?1???????1??ri+krj→b)ij時En??????=E(ij(k))。(或cj+kci)??k...1?????1???j列i列二、性質(zhì)1、初等矩陣為可逆矩陣，且它們的逆矩陣仍為初等矩陣。具體說：1E(i,j)?1=E(i,j)E(i(k))?1=E(i(E(ij(k))?1=E(ij(?k))。k2、初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣。3、初等行（列）變換可通過左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣而實現(xiàn)定理2設(shè)A是一個m×n矩陣，對A施行一次初等行變換相當于在A的左邊乘一個相應(yīng)的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換相當于在A的右邊乘一個相應(yīng)的n階初等矩陣。證現(xiàn)在證明交換A的第i行與第j行等于用Im(ij)左乘A。?A1??ε1?????A2???ε2?????????Aεi?i???將Am×n與Im分塊為A=,I=????????A?j??εj??????????A??ε??m??m?其中Ak=(ak1ak2...akn)(k=1,2,...,m)εk=(00...1...0)(k=1,2,...,m)k列?ε1A??A1??ε1???????εAε?2??A2??2?????????????εAAj?εjj?????由此可見Im(ij)?A恰好等于矩陣A?A==Im(ij)?A=?????????????εiA??Ai??εi??????????????ε??εA??A??1??m??m?第i行與第j行互相交換得到的矩陣。用類似的方法可以證明其它變換的情況。4、用初等矩陣表示可逆陣定理3方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣P1,P2,...,Pl,使A=PP12...Pl。證明充分性設(shè)A=PP因初等矩陣可逆，有限個可逆矩陣的乘積仍可12...Pl，逆。故A可逆。必有性設(shè)n階方陣A可逆，且A的標準形矩陣為D，由于D～A，知D經(jīng)有限次初等變換可化為A，即有初等矩陣P1,P2,...,Pl,，使A=P1...PsDPs+1...Pl。因?Er為A可逆，P,P,...,P也都可逆，故標準形矩陣D可逆。假設(shè)D=?12l?OO??中O?n×n則D=0，與D可逆矛盾，因此必有r=n，即D＝E，從而A=PP的r?n，12...Pl。上述證明顯示：可逆矩陣的標準形矩陣是單位陣。其實可逆矩陣的行最簡形矩陣也是單位陣，即有推論1方陣A可逆的充分必要條件是A～E。證因A可逆的充分必要條件是A為有限個初等矩陣的乘積，即A=p1p2...pl亦即A=p1p2...plE上式表明E經(jīng)有限次初等變換可變?yōu)锳，即A～E。推論2m×n矩陣A與B等價的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使PAQ=B。三、初等矩陣的應(yīng)用1、利用初等行變換求可逆矩陣的逆陣的方法：設(shè)A≠0,則存在有限個初等矩陣P1,P2,...,Pl使A=p1p2...pl，即有。（1）、(2)兩式pl?1pl??11...p1?1A=E(1)，兩邊右乘A?1得pl?1pl??11...p1?1E=A?1（2）表明：如施行若干個初等行變換將可逆矩陣A化為單位矩陣，則同樣的初等行變換施行于單位矩陣上就得到A的逆矩陣A?1。從而若構(gòu)造一個n×2n的矩陣(AE)就有pl?1pl??11...p1?1(AE)=(EA?1)，此式表明對(AE)施行初等行變換，當左半部矩陣A化為單位矩陣時，它的右半部E就同時化為A?1。即有初等行變換E)????→(EA?1)。(A于是得到一個求逆矩陣的方法如下：初等行變換→(EX)，則有作一個n×2n的矩陣(AE)，若(AE)????1)A可逆；2)X=A?1。?101???1例1設(shè)A=?，求(E?A)。210????32?5????00?1100???解(E?AE)=??200010??3?26001???1??1000?2?3初等行變換????→?010?3??4?001?10???1?0??2?3(E?A)?1=??3??4??10????0??1??。2??0????0??1??=(EA?1)，于是2??0???注：以上方法求逆陣，僅施以初等行變換，不得出現(xiàn)初等列變換。?A??E??初等列變換??同理可推導(dǎo)出?????→?????E??A?1?????2、求矩陣方程Ax=B（A≠0）較為簡便的方法：等式A?1(AB)=(EA?1B)，表明施行若干初等行變換將可逆矩陣A化為單位矩陣，則同樣的初等行變換施行于B就得到A?1B。即(A初等行變換B)????→(EA?1B)。?423???例2設(shè)有矩陣方程AX=A+2X，求X，其中A=?110?。??123???解由AX=A+2X得(A?2E)X=A。?423??100??223??????A?2E=?110?2021=1?10??????。??123??001???121????????223423??1003?8?6?????(A?2E,A)=?1?10110?→?0102?9?6???121?123??001?2129?????可見A?2E～E，因此A～2E可逆，且?3?8?6??X=(A?2E)?1A=?296????。??2129???上面介紹了用初等行變換的方法求X=A?1B，如果要求Y=CA?1，則可對矩陣?A??A??E??1作初等列變換，使～，即可得Y=CA。??????1??C??C??cA?三、目前已學(xué)習(xí)過的求逆陣的方法：伴隨矩陣法；初等變換法。四、小結(jié)1、初等矩陣的概念。2、初等矩陣的性質(zhì)。3、初等矩陣的應(yīng)用特別是用初等矩陣求逆矩陣的方法。五、作業(yè)p793(2),4(1),5第三節(jié)矩陣的秩一、矩陣的秩的概念。定義4在m×n矩陣A中，任取k行k列(k≤m,k≤n)，按原矩陣中的位置組成的k階行列式，稱為A的k階子式。kk注m×n矩陣A的k階子式共有cm個。icn定義5設(shè)在矩陣A中有一個不為零的r階子式D，且所以r+1階子式（若數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A)。有）全為零，那么D稱為A的最高階非零子式，并規(guī)定零矩陣的秩為零。注1)R(A)是A中不為零的子式的最高階數(shù);2)R(AT)=R(A);3)R(Am×n)≤min(n,m)。4)若A有一個r階子式不為零，則R(A)≥r；5)若A的所有r+1階子式全為零，則R(A)≤r。?1230???例3求A=?0121?的秩。?2460???解∵12≠0，且A的所以3階子式都為零，故R(A)＝0。01?1?1566???02?7?253?的秩。例4求A=??00598???00000??1?15?7≠0是矩陣的一個最高階非零子式，5解這是階梯形矩陣，顯然0故R(A)＝3。注用定義求行、列數(shù)很大的矩陣的秩是很不方便的。而階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)。二、利用初等變換求秩的方法定理4若A～B，則R(A)=R(B)。證明先證明：若A經(jīng)一次初等行變換變?yōu)锽，則R(A)≤R(B)。設(shè)R(A)＝r，且A的某個r階子式Dr≠0。ri×kij當A???→B時，在B中總能找到與Dr相對應(yīng)的子式Dr，→B或A???r?r由于Dr=Dr或Dr=?Dr或Dr=kDr，因此Dr≠0，從而R(B)≥r。ij當A???→B時，分三種情況討論：1)Dr中不含第i行；2)Dr中同時含r+kr第i行第j行；3)Dr中含第i行但不含第j行。對1)、2)兩種情形，顯然B中與Dr對應(yīng)的子式Dr=Dr≠0，故R(B)≥r；對情形，Dr=ri+krj=ri+krj=Dr+kDr3)，由≠0，則因D中不含第i行知A中有不含第i行的r階非零子式，從而根若Drr=0，則D=D≠0，也有R(B)≥r。據(jù)情形1)知R(B)≥r；若Drrr以上證明了若A經(jīng)一次初等變換變?yōu)锽，則R(A)≤R(B)。由于B亦可經(jīng)一次初等行變換變?yōu)锳，故也有R(B)≤R(A)。因此R(A)=R(B)。經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變。設(shè)A經(jīng)初等列變換變?yōu)锽，則AT經(jīng)初等行變換變?yōu)锽T，由上段證明R(AT)=R(BT)，又R(A)=R(AT)，R(B)=R(BT)，因此R(A)=R(B)?？傊鬉經(jīng)有限次初等變換變?yōu)锽，則R(A)=R(B)。注現(xiàn)在解答了上節(jié)提出的問題：將一個線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換得到的階梯形矩陣中不全為零的行數(shù)r即為增廣矩陣的秩，從而r是由線性方程組唯一確定的。思考題：在秩為r的矩陣中，有沒有等于零的r-1階子式？有沒有等于零的r階子式？注由上定理，求矩陣的秩，只要把矩陣用初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩。?111?1?2222例5設(shè)A=???1?1?11??1110?1?r2?2r1,r3+r1?0A?????→r4?r1?0??010002??0?,求R(A)及一個最高階非零子式。?1?1?10001?12??01?1?。這個矩陣是行?003?000?解用初等行變換將A化為階梯形矩陣。1?12??1??04?4?r2?4r4?0A???→r2?r4?0003???01?1??0階梯形矩陣，有三個非零行，所以r(A)=3。又∵B=(α3α4α5)?1?12???011??，∴R(B)＝3,即B中有3階非零子式，～??003???000??1?12210≠0，∴它是A的一個最高階非零子式。1∵2?1三、滿秩矩陣定義6設(shè)A=(aij)n×n，則1)R(A)＝n的充要條件為A≠0。2)R(A)<n的充要條件為A=0。稱R(A)＝n的n×n矩陣A為滿秩矩陣。故可逆矩陣為滿秩矩陣，奇異矩陣又稱為降秩矩陣。滿秩矩陣A的標準形為E,即A～E。四、矩陣秩的性質(zhì)的歸納總結(jié)1、0≤R(Am×n)≤min{m,n};2、R(AT)=R(A)；3、若A～B,則R(A)=R(B)；4、若P、Q可逆，則R(PAQ)=R(A)；5、max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)，特別地，當B=b為列向量時，有R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1，證因為A的最高非零子式總是（A,B）的非零子式，所以R(A)≤R(A,B)。同理有R(B)≤R(A,B)。兩式合起來，即為max{R(A),R(B)}≤R(A,B)。，則中設(shè)R(A)=r,R(B)=t。把A和B分別作列變換化為列階梯形A,BA,B,...,=(b,...,b,0,...,0),分別含r個和t個非零列，故可設(shè)A～A=(aar,0,...,0),B～B11t),由于()中只含r+t個非零列，因此R()≤r+t,而從而(A,B)～(A,BA,BA,B)，故R(A,B)≤r+t，即R(A,B)≤R(A)+R(B)。R(A,B)=R(A,B6、R(A+B)≤R(A)+R(B)證不妨設(shè)A、B為m×n矩陣。對矩陣(A+B,B)作列變換ci?cn+i(i=1,...,n),即得(A+B,B)～(A,B)，于是R(A+B)≤R(A+B,B)=R(A,B)≤R(A)+R(B)。7、R(AB)≤min{R(A),R(B)}.8、若Am×nBn×l=O，則R(A)+R(B)≤n（見下章）9、R(AB)≥R(A)+R(B)?n例6設(shè)n階矩陣A滿足A2=E，證明：R(E+A)+R(E?A)=n證明由于(E+A)(E?A)=E?A2=0故R((E+A)(E?A))=0≥R(E+A)+R(E?A)?n，即R(E+A)+R(E?A)≤n又R(E+A+E?A)=R(2E)=n≤R(E+A)+R(E?A)所以R(E+A)+R(E?A)=n。五、小結(jié)1、k階子式、矩陣的秩、滿秩矩陣的概念。2、矩陣秩的性質(zhì)（9條）。3、利用初等變換求矩陣的秩的方法。六、作業(yè)p798,9(3),10,11第三節(jié)線性方程組的解一、判定定理定理5n元齊次線性方程組Am×nx=0有非零解的充要條件為R(A)<n.；只有零解的充要條件R(A)=n。證明：設(shè)R(A)＝r，不妨設(shè)A的左上角一個r階子式不為零，這樣用行初等變換可將A化為如下形式的矩陣T即?1??0??行初等變換A????→?0?0???0?00...0c1,r+1...c1n??10...0c2,r+1...c2n???00...1cr,r+1...crn?＝T，00...00...0???00...00...0??T中只含有r個非零行。?x1+0x2+...+0xr+c1,r+1xr+1+...+c1nxn=0,??0x1+x2+...+0xr+c2,r+1xr+1+...+c2nxn=0,??......?T對應(yīng)的方程組為?0x1+0x2+...+xr+cr,r+1xr+1+...+crnxn=0,（2）??0x1+0x2+...+0xr+0xr+1+...+0xn=0,?......???0x1+0x2+...+0xr+0xr+1+...+0xn=0.1)若r=n方程組中如有恒等式就去掉，成為?x1=0??x2=0即r=n?無自由未知量?只有零解。??......?x=0?n?x1+c1,r+1xr+1+...+c1nxn=0,??x+cx+...+c2nxn=0,若r<n方程組中如有恒等式就去掉，成為?22,r+1r+1移2）?......?x+cx+...+cx=0.r,r+1r+1rnn?r項得?x1=?c1,r+1xr+1?...?c1nxn,??x2=?c2,r+1xr+1?...?c2nxn,這表明xr+1,...,xn可作為自由未知量。因此這時(2)，??......?x=?cx?...?cx.r,r+1r+1rnn?r從而方程組Ax=b有無窮多解。這時解的全體，即通解可表示為?x1=?c1,r+1xr+1?...?c1nxn,??x2=?c2,r+1xr+1?...?c2nxn,??......??xr=?cr,r+1xr+1?...?crnxn,其中c1,c2,..?r為任意常數(shù)。??xr+1=c1,?......???xn=cn?r.注本定理所述條件r<n的必要性是克萊姆定理的推廣（克萊姆定理只適用于m=n的情形），其充分性則包含了克萊姆定理的逆定理。推論當m?n時，Am×nx=0有非零解。證明因為r(A)≤min(m,n)=m?n,由上定理知其有非零解。定理6n元非齊次線性方程組Am×nx=b（3）有解的充要條件為R(A)=R(B)，其中B=(Ab)。證明設(shè)R(A)＝r，不妨設(shè)A的左上角一個r階子式≠0，用行變換將B化為標準形，若R(A)≠R(B)?1c1r+1?...??1crr+1?行變換B???→?0...00????0...00?...c1n0??......?...crn0??...01?=T10???...00??T1對應(yīng)的與（3）同解方程組中，第r+1個方程為0x1+0x2+...+0xn=1是矛盾方程，所以（3）無解，其逆亦真。若R(A)=R(B)?1c1r+1?...??1crr+1?行變換B???→?0...00????0...00?...c1n.........crn...0...0d1???dr??0?=T20???0??1)若R(A)=R(B)＝r=n此時?1???行變換B???→??0?...??0?d1???x1=d1??dn??x2=d2＝（3）有唯一解T??30??......?x=d...?n?n??0?m×(n+1)......100......2)若R(A)=R(B)＝r<n，T2對應(yīng)的與(3)同解的方程組為?x1+c1,r+1xr+1+...+c1nxn=d1,??x2+c2,r+1xr+1+...+c2nxn=d2,??......?x+cx+...+cx=d.r,r+1r+1rnnn?r?x1=d1?c1,r+1xr+1?...?c1nxn,??x2=d2?c2,r+1xr+1?...?c2nxn,??......?(3)的通解為?xr=dr?cr,r+1xr+1?...?crnxn,xr+1,...xn可以作為自由未知量??xr+1=c1,?......???xn=cn?r.所以R(A)=R(B)＝r<n時，(3)有無窮多解，反之亦然。由1)、2)，顯然有，若R(A)=R(B)，則(3)有解，其逆亦真。推論1)R(A)=R(B)＝r=n?Am×nx=b有唯一解。2)R(A)=R(B)＝r<n?Am×nx=b有無窮多解。注從上述證明可看出或R(A)=R(B)，或R(B)=R(A)+1。所以有結(jié)論：矩陣添加一列，則其秩或不變，或增加1。二、求解方程組的方法齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化為行最簡形矩陣，便可寫出其通解。非齊次線性方程組：1)對增廣矩陣B作初等行變換，判斷是否有解。2)若有解，化成行最簡形矩陣，選定n-r個自由未知量移到等號右邊，寫出通解。例7解齊次線性方程組?x1+x3?x4?3x5=0,??x1+2x2?x3?x5=0,??4x1+6x2?2x3?4x4+3x5=0,?2x?2x+4x?7x+4x=0.2345?1解對系數(shù)矩陣A施行初等行變換變?yōu)樾凶詈喰尉仃?1?101?1?3?????0?12?10?1???→??46?2?43??0????0?2?24?74??0?6??5?1?102?。得與原方程同解的方程組001?3??0000??01?x1+x3?6x5=0,?x1=?x3+6x5,??55??。?x2?x3+x5=0,由此即得?x2=x3?x5,（x3,x5可任意取值）22?????x4?3x5=0?x4=3x5,?x1??x?2?令x3=c1,x4=c2，的通解的參數(shù)形式?x3??x4?x?5?=?c1+6c2,5=c1?c2,2=c1,=3c2,=c2.??c+6c2??6?1?x1??1??????5???5???????x2??c1?2c2??1??2???其中c1,c2為任意常數(shù)，或?qū)懗上蛄啃问?x3?=?=+cc1?12??。0c?????1???0?x?4??3c???3?2???x????1??0??5?c????2?x1+x3?x4?3x5=?2?x+2x?x?x=1?1235例8解線性方程組?462437xxxxx+??+=2345?1??2x1?2x2+4x3?7x4+4x5=1解對增廣矩陣施行初等行變換化為階梯形。?1?1(Ab)=??4??2?1?0r3?3r2????→r4+r2?0??0?1?3?2??1?2?r1?2?10?11?rr3?4r1?0???→6?2?437?r4?2r1?0???24?741??001?1?3?2??1??r32?2123?r4?403???→1?00?396??3r3?0??00?4128??001?1?3?2??2?2123?6?601515???22?5105?01?1?3?2??2?2123?=T001?3?2??00000?01這表明r(A)=r(Ab)=3，未知量個數(shù)＝5。故r(A)=r(Ab)?未知量個數(shù)。所以此方程組有無窮多解，且有5-3=2個自由未知量。由于矩陣T的第一，第二，第三行；第一，第二，第四列組成的3階子式不為零，我們對它再施行初等行變換化為行最簡形。?1?r1+r3?0→T???r2?r3?0??0?1010?6?4???1r?2?2055?220→?001?3?2??0??00000??0?0?6?4??55?1?1022?。001?3?2??00000??01?x1+x3?6x5=?4?55?該矩陣所對應(yīng)的線性方程組為?x2?x3+x5=22???x4?3x5=?2?x1=?4?x3+6x5?55?可將x3,x5作為自由未知量，移項得?x2=+x3?x522???x4=?2+3x5?x1=?4?c1+6c2??x2=5+c1?5c222??所以通解可表示為?x3=c1其中c1,c2為任意常數(shù)。?x=?2+3c2?4?x5=c2??特別要指出的是若當r(A)=r(Ab)=r?n時，A中不為零的r階子式未必唯一，如上例中T的第一，第二，第三行；第一，第三，第四列的3階子式也不為零。也可以對它再進行化簡，同樣可得到方程組的通解，此時無非自由未知量是x2,x5而已。雖然這兩個通解表達形式不一樣，但兩者所表示的解集合是相同的，所以都可作為原線性方程組的通解。?x+2y+z=3?例9解線性方程組?2x+5y?z=?4?3x?2y?z=5?解首先化增廣矩陣為行最簡形?12(Ab)=??25?3?2??121???→?01?3?001?13??1???1?4???→?0?0?15???3??10???10???→?01?003???213??1?3?10??8?4?4??02??0?1?13??r(A)=r(Ab)＝3故有唯一解?x=2?x=2??還原為同解方程組?y=?1，唯一解為?y=?1。?z=3?z=3???x1+x2?2x3+3x4=4?例10解線性方程組?2x1+3x2+3x3?x4=3.?5x+7x+4x+x=5234?1解化增廣矩陣為階梯形?11?234??11?234????2331301775???→??(Ab)=??????57415??0000?5?????由上行階梯形矩陣觀察，r(A)≠r(Ab)，故方程組無解。?x1+x3=2?例11設(shè)有線性方程組?x1+2x2?x3=0?2x+x?ax=b3?12（1）確定當a，b分別為何值時，方程組無解，有唯一解，有無窮多解；（2）在有解時求出解。解（1）?1?1(Ab)=??2??10???→?01?01?012??10??→?022?10????011?ab???12??1???1????1→?0?0?a?2b?4???12???2??2?a?2b?4??012???1?1?10?a?1b?3??。由此可知，當a=?1且b≠3時，r(A)=2,r(Ab)=3，故方程組無解；當a≠?1時，r(A)=r(Ab)＝3，方程組有唯一解；當a=?1且b=3時，r(A)=r(Ab)=2?3，方程組有無窮多解。（2）當a≠?1時，有2a+b?1?????100?+a1?101?2?????2?a?b?,(Ab)→?01?1?1?→?010?+a1?3?b???3?b??001??a+1??001??a+1??2a+b?1?=x?1a+1?2?a?b?唯一解為?x2=。a+1?3?b?x=?3a+1??1012???當a=?1且b=3時(Ab)=?01?1?1?,?0000????x1=2?x3得最簡同解方程組?。1xx=?+3?2?x1=2?c?故方程組的解為?x2=?1+c（c為任意常數(shù)）。?x=c?3三、矩陣方程定理7矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是R(A)=R(A,B)。證設(shè)A為m×n矩陣，B為m×l矩陣，則X為n×l矩陣。把X和B按列分塊，記為X=(x1,x2,...,xl)，B=(b1,b2,...,bl),則矩陣方程AX=B等價于l個向量方程Axi=bi(i=1,2,...,l).充分性。設(shè)R(A)=R(A,B)，由于R(A)≤R(A,bi)≤R(A,B),故有R(A)=R(A,bi)，從而l個向量方程Axi=bi(i=1,2,...,l).都有解，于是矩陣方程AX=B有解。必要性設(shè)矩陣方程AX=B有解，從而l個向量方程Axi=bi(i=1,2,...,l).都有解，設(shè)解為?λ1i???λxi=?2i?(i=1,2,...,l).記A=(a1,a2,...,an),即有λ1ia1+λ2ia2+...+λnian=bi.?????λni?對矩陣(A,B)=(a1,a2,...,an,b1,...bl)作初等列變換cn+i?λ1ic1?...?λnicn(i=1,2,...,l)，便把(A,B)的第n+1列、…、n+l列都變?yōu)?，即(A,B)～(A,O)，因此R(A)=R(A,B)。定理8設(shè)AB=C，則R(C)≤min{R(A),R(B)}。證因AB=C，知矩陣方程AX=C有解X=B，由上定理有R(A)=R(A,C)。而R(C)≤R(A,C)，因此R(C)≤R(A)。又BTAT=CT，由上段證明知有R(CT)≤R(BT)，即R(C)≤R(B)。綜合便得R(C)≤min{R(A),R(B)}。上兩定理的應(yīng)用，將在下一章討論。定理9矩陣方程Am×nXn×l=O只有零解的充分必要條件是R(A)=n。這定理闡明了矩陣乘法消去律成立的條件。?x1+2x2+3x3=0??x1+bx2+cx3=0?已知齊次方程組?2x1+3x2+5x3=0（1）和?思考題：2??2x1+bx2+(c+1)x3=0?x+x+ax=03?12同解，求a,b,c的值。四、小結(jié)1、線性方程組的解的判定定理（齊次、非齊次）。2、求線性方程組解的方法。3、矩陣方程有解的充要條件。五、作業(yè)p8012(3),13(2),14,,16,17,19第三章矩陣的初等變換和線性方程組習(xí)題課一、本章知識點結(jié)構(gòu)圖??矩陣乘以非零數(shù)??矩陣的初等變換?把矩陣的某一行（或列）的倍數(shù)加到另一行（列）??互換兩行（或列）的位置?????三種初等矩陣???初等矩陣?初等矩陣的性質(zhì)??利用初等矩陣求逆矩陣????矩陣秩的定義???第三章??四個等價定義（部分內(nèi)容在下一章）矩陣的秩???矩陣秩的性質(zhì)??矩陣秩的求法??????無解???一般線性方程組有解的條件?唯一解???無窮多解?線性方程組的解???????唯一解?齊次方程組的解????無窮多解???二、學(xué)習(xí)要點本章基本要求：了解：矩陣的秩的概念、矩陣等價的概念和初等矩陣的性質(zhì)。理解：線性方程組有解判別定理。掌握：1)矩陣的初等變換、及其標準形、用初等變換化矩陣為階梯形矩陣及求矩陣的秩和逆矩陣的方法。2)用矩陣的初等行變換解線性方程組的消元法。重點是矩陣的秩與矩陣的初等變換、線性方程組解的理論與求解方法。用初等變換化矩陣為階梯形矩陣體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一個基本思想：把討論對象化簡，階梯形矩陣反映很多原矩陣的性質(zhì)，因而用初等變換化矩陣為階梯形矩陣是本課程中用得最多的一種變換，它在其它問題中也有重要的應(yīng)用，所以要熟練掌握初等變換的方法及用初等變換解決其他問題的方法。初等矩陣與初等變換有密切的聯(lián)系，務(wù)必分清對某個矩陣左乘（右乘）初等矩陣與初等變換的關(guān)系。矩陣的秩是本課程的重要概念之一。通過秩把矩陣與行列式、線性方程組及n維向量緊密聯(lián)系起來，它反映了矩陣行（列）向量組中向量之間的關(guān)系，從而矩陣的秩在很多問題上有廣泛的應(yīng)用。所以要深刻理解矩陣的秩的概念及有關(guān)性質(zhì)，掌握用初等變換求矩陣的秩的方法，并逐步掌握用矩陣的秩解決有關(guān)問題的方法。線性方程組理論是本課程的重要內(nèi)容之一，關(guān)于它主要問題是：1)判別非齊次線性方程組是否有解？判別齊次線性方程組是否有非零解？2)有解時，有多少個解？3)有無窮多解時，解的結(jié)構(gòu)是怎樣的？4)如何求出全部解？三、典型例題1、矩陣的初等變換與初等矩陣?a11例12設(shè)矩陣A=??a21?a?31a12a22a32a13??a11?2a13??a23?,B=?a21?2a23?a?2aa33?33??31a13a23a33a12??a22?。求矩陣X，a32??使A=BX。分析由A經(jīng)過兩次初等列變換化成B，故可以通過初等矩陣求出X。解對矩陣A，先將第三列的（－2）倍加到第一列上，再交換第二、三列?100??100?????就得矩陣B，故取兩個初等矩陣PP==010,0011??2??，??201??010??????100????1?1?1?1則有APP=?201?。2P1=BX,所以X=P2P112=B，于是A=BP?010???（1）例13設(shè)n階矩陣A可逆，將A的第i行和j列互換后所得矩陣記為B。證明B可逆；（2）求AB?1。解（1）由題設(shè)條件，B=?A≠0。所以，矩陣B可逆。（2）以P(i,j)表示交換單位矩陣E的第i，j行得到的初等矩陣，則有B=P(i,j)A。因而AB?1=A[P(i,j)A]?1=AA?1P(i,j)?1=P(i,j)。2、求矩陣的秩及有關(guān)證明題?1?0例14設(shè)矩陣A=??2??310解一A=23111?13a511??b?，其中a,b為參數(shù)，求r(A)。?4?7?111?13a511b=(a?1)(4?2b)，47則：當a≠1且b≠2時，A≠0，所以r(A)=4；當a≠1，b=2時，由于?1?0ABA=??2??3111?13a511??1??2??0→??04??7??0111?10a?1001??2?，所以，r(A)=3。?0?0?當a=1，b≠2時，由于?1?0A=??2??3111?131511??1??2??0→??04??7??0111??1?1b?，所以，r(A)=3。?002?b?000?當a=1，b=2時，由于?1?0A=??2??3111?131511??1??2??0→??04??7??0111?100001??2?，所以r(A)=2。?0?0?解二用矩陣的初等行變換將A化為階梯形，即?1?0A→??0??0111??1?1b?。?0a?12?b?002?b?故有當a≠1且b≠2時，r(A)=4；當a≠1，b=2時，r(A)=3；當a=1，b≠2時，r(A)=3；當a=1，b=2時，r(A)=2。?102???例15（填空題）（1）設(shè)A為4×3矩陣，且r(A)=2,B=??，則r(AB)??103????a1b1?ab＝（）。（2）設(shè)A=?21???anb1a1b2a2b2anb2...a1bn??...a2bn?，其中ai≠0,bi≠0(i=1,2,...,n),則??...anbn?r(A)=（）。因為B=10，所以B為可逆矩陣，由秩的性質(zhì)，r(AB)=r(A)=2。解（1）?a1???a（2）顯然A=?2?(b1,b2,...,bn)。?????an?記α=(a1,a2,...,an),β=(b1,b2,...,bn)，則A=αβT。TT由于α,β均為非零列向量，故r(α)=r(β)=1,所以r(A)≤min{r(α),r(β)}=1。又A為非零矩陣，故r(A)≥1。這樣r(A)=1。例16設(shè)A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，證明當mn時，必有AB=0。解一由題設(shè)AB為m階矩陣，且r(A)≤n?m，所以AB是降秩矩陣，即有AB=0。這是一個n個方程m個未知量的方程組。解二看齊次線性方程組BX=0，當n?m時，BX=0有非零解，從而方程組ABX=0也有非零解。由于AB是m階方陣，則必有AB=0?；蜃C明該方陣是注本題給出了證明某個方陣的行列式等于零的兩個方法，降秩的，或證明相應(yīng)的齊次線性方程組有非零解。3、關(guān)于線性方程組的解的判定與消元法例17A是m×n矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組Ax=b對應(yīng)的導(dǎo)出方程組，則下列結(jié)論正確的是（）（A）若Ax=0僅有零解，則Ax=b有唯一解；（B）若Ax=b有唯一解，則Ax=0僅有零解；（C）若Ax=0有非零解，則Ax=b有無窮多解；（D）若Ax=b無解，則Ax=0僅有零解。解由于A為m×n矩陣，故Ax=0與Ax=b均為n元線性方程組。對于（A），由于Ax=0僅有零解?r(A)=n。當A是n階方陣時，也就有r(A,b)=n，這時Ax=b有唯一解。但對于一般?12??0?x??????的m×n矩陣A，就不一定保證r(A,b)=n。例如，方程組?03??1?=?0?僅有?00??x2??0??????12??4?x??????零解。但方程組?03??1?=?5?無解。故（A）不正確。?00??x2??6?????對于（C），與（A）類似，由Ax=0有非零解?r(A)=r?n。但不能保證r(A,b)=r，即當若Ax=0有非零解，Ax=b可能無解。例如，方程組?12??x1??0??12??x1??3????x?=??有非零解，但方程組???x?=??無解。故（C）不正確。240245???2??????2???對于（B），由于Ax=b有唯一解?r(A,b)=r(A)=n，所以也就由r(A)=n可知，Ax=0僅有零解。故（B）正確。對于（D），由于Ax=b無解?r(A,b)≠r(A)。因而無法確定r(A)與n的關(guān)系，即由Ax=b無解，對應(yīng)的Ax=0可能僅有零解，也可能有非零解。在上面對（A），（C）的分析中已舉出了例題。故（D）不正確。例18設(shè)A為m×n實矩陣，n?m。證明：當非齊次線性方程組Ax=b有唯一解時，矩陣ATA是可逆矩陣。分析由ATA是n階矩陣，為證ATA可逆，只需證明ATA的秩為n，即需證明方程組(ATA)x=0只有零解。證由題設(shè)Ax=b有唯一解可知，與其對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0只有零解。若ATA?n，那么方程組(ATA)x=0有非零解，即存在非零向量x0，使(ATA)x0=0。從而x0T(ATAx0)=(x0TAT)(Ax0)=0,即有Ax0=0。這說明方程組Ax=0有非零解，與題設(shè)矛盾。所以ATA的秩為n，即ATA是可逆矩陣。4、含有參數(shù)的線性方程組的討論與求解1??x1??1??12?????例19（填空題）（1）已知方程組?則a=（）。a+232???x2?=?3?無解，?1a?2??x??0????3???解一利用矩陣的初等變換。方程組的增廣矩陣11??1211??12????=?23a+23?→?0?1a1??1a?20??00(a+1)(a?3)a?3?????可知a=?1時，R(=3,r(A)=2，r()≠R(A)，方程組無解。121解二利用克來姆法則。系數(shù)行列式A=23a+2=?(a?3)(a+1)，可知1a?2?1211??1211????當a=?1時，由于=?→??23130111????，r()≠R(A)，無解。?1?1?20??000?4??????1211??1211????當a=3時，由于=?→?23530131????，r(=R(A)=2?n=3，?13?20??0000?????有無窮多解。?a11??x1??1??????。（2）設(shè)方程組?a11???x2?=?1?有無窮多解，則a＝（）?11a??x???2????3???1a?2??a111??1???解=?→??aaa1110113?????？芍?11a?1??00(a+2)(1?a)4+2a?????當a=?2時，r(=R(A)=2?n=3，方程組有無窮多解。?ax1+x2+x3=4,?例20當a,b為何值時，方程組?x1+bx2+x3=3,有解？并在有解時，求出?x+2bx+x=423?1方程組的解。分析本題中參數(shù)出現(xiàn)在未知量x1,x2的系數(shù)中，則對其增廣矩陣施行行初等變換較為麻煩。再由本方程組適合克來姆法則使用的條件，故從計算方程組的系數(shù)行列式入手。解由計算方程組的系數(shù)行列式aA=111b當a≠1且b≠0A≠0，方程組有唯一解，1=b(1?a)可知，12b1利用克來姆法則，可求出唯一解為x1=2b?111?4b+2ab,x2=,x3=.b(a?1)bb(a?1)?a114??a114?????當b=0時，由A=?1013?→?1013?，則r()=3,r(A)=2，方?1014??0001?????程組無解。4??1114??111????當a=1時，由=?1b13?→?0102?。?12b14??0001?2b?????1時，r(≠R(A)，方程組無解；21當a=1且b=時，r(=R(A)=2，方程組有無窮多解。此時，可容易求2當a=1且b≠?x1=2?x3,出方程組的一般解為?x3為自由未知量。2,x=?2第一章

矩陣與線性方程組1-1矩陣的意義定義：數(shù)學(xué)上，一個m×n矩陣乃一m列n行的矩形陣列。矩陣由數(shù)組成，或更一般的，由某環(huán)中元素組成。【例】以下是一個4×3矩陣：某矩陣A的第i列第j行，或i,j位，通常記為A[i,j]或Ai,j。在上述例子中A[2,3]=7。

1-2矩陣之基本運算定義：矩陣相加減

【例】

及

【解】

定義：矩陣相乘矩陣及，，為一個階數(shù)等於之矩陣，且

【例】

，

，

若與，則

定義：轉(zhuǎn)置矩陣MT中第i行第j列的元素即為原矩陣M中之第i列第j行的元素【例】，使得。1-3逆方陣定義：若，，使得時，則稱B為A的逆方陣或反方陣。此時，A稱為可逆方陣或非奇異方陣，通常以表示A的逆方陣。反之，若不存在B，則稱A為奇異方陣?！纠俊窘狻?-4線性方程組的解法定義：1、若n>m，則n個未知數(shù)及m個線性方程式的齊次方程組有一組非必然解。2、若A為n階方陣，，則齊次方程組AX=0，有一組非必然解的充要條件是A

為奇異方陣。3、若，則下列的敘述為同義。(1)A為可逆方陣。(2)AX=0僅有必然解。(3)A是列同義於。4、令A(yù)X=B為具有n個變數(shù)及n個一次方程式的方程組。若存在，則此方程組之解為唯一，且?！纠俊窘狻康诙孪蛄靠臻g與線性變換2-1三維空間中向量之性質(zhì)定義：單位向量就是長度為1的向量。單位向量的符號通常有個「帽子」，如：?。一個非零向量u的正規(guī)化向量?就是平行於u的單位向量：定義：空間中向量之性質(zhì)若u，v及w為空間中的向量，而為實數(shù)，則下列性質(zhì)成立(1)u+v=v+u(2)(u+v)+w=

u+(v+w)(3)u+0=0+u=u，0為零向量(4)存在-u使得u+(-u)=(-u)+u=0(5)(6)(7)(8)1u=u2-2三維空間中向量的內(nèi)積定義：兩向量A和B的內(nèi)積寫成A×B，讀作"AdotB"，定義為A和B兩向量的大小與其夾角的餘弦函數(shù)的乘積，如下圖所示，其方程式之形式為A×B=ABcosq

其中0°￡q￡180°。向量內(nèi)積的結(jié)果為一純量，故也常稱之為向量的純量積。運算法則1.交換律：A×B=B×A2.與一純量相乘：a(A×B)=(aA)×B=A×(aB)=(A×B)a3.分配律：A×(B+D)=(A×B)+(A×D)【例】【解】2-3向量空間與子空間定義：向量空間給出域F，一個向量空間是個集合V加上兩個運算：向量加法：V×V→V記作v+w,?v,w∈V，標量乘法：F×V→V記作av,?a∈F及v∈V。都符合下列公理(?a,b∈F及u,v,w∈V)：向量加法符合結(jié)合律：u+(v+w)=(u+v)+w.向量加法符合交換律:v+w=w+v.向量加法有單位元:V裡有一個叫做零向量的0，?v∈V,v+0=v.向量加法有逆元素:?v∈V,?w∈V,導(dǎo)致v+w=0.標量乘法分配於向量加法上:a(v+w)=av+aw.標量乘法分配於域加法上:(a+b)v=av+bv.標量乘法一致於純量的域乘法:a(bv)=(ab)v。標量乘法有單位元:1v=v,這裡1指示域F的乘法單位元.注意第七個公理涉及兩種運算不稱其為符合結(jié)合律。有些文獻包括兩個閉包公理：V閉合在向量加法下：v+w∈V.V閉合在標量乘法下:av∈V.簡而言之，向量空間是一個F-模。V的成員叫作向量而F的成員叫作標量若F是實數(shù)域R，V稱為實數(shù)向量空間.若F是複數(shù)域C，V稱為複數(shù)向量空間.若F是有限域，V稱為有限域向量空間對一般域F，V稱為F-向量空間

定義：子空間一個向量空間V的一個非空子集合W在加法及標量乘法中表現(xiàn)密閉性，被稱為V的線性子空間。給出一個向量集合B，載著它的最小子空間，稱為它的擴張，紀作span(B)。姶出一個向量集合B，若它的擴張就是向量空間V，稱B為V的生成集。一個向量空間V最大的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V=0，唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V最小的生成集。向量空間的所有基擁有相同基數(shù)，稱為該空間的維度。例如,實數(shù)向量空間：R0,R1,R2,R3,…,R∞,…中，Rn的維度就是n?？臻g內(nèi)的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。把基中元素排列，向量便可以座標系統(tǒng)來呈現(xiàn)。2-4線性獨立與基底定義：線性獨立

函數(shù)集合{u1(x),u2(x),…un(x)}在x屬於[a,b]中為線性相依，若且存在一組非全為零的實常數(shù)(純量)c1,c2,…cn使得c1u1(x)+c2u2(x)+…cnun(x)=0x屬於[a,b]若函數(shù)集合{u1(x),u2(x),…un(x)}在x屬於[a,b]中不為線性相依的集合,則為線性獨立的集合【例】所示的區(qū)間內(nèi)線性相依或線性獨立?

x+1;x-1(0<x<1)

【解】

利用wronkian解

x+1微分為1

x-1為分為1

1*(x+1)-1*(x-1)取絕對值為2=/=0

故x+1;x-1在(0<x<1)為線性獨立

定義：基底若V為一向量空間，為V中一組向量，

若

(1)是線性獨立，且

(2)

則稱為V的一組基底(basis)。所以要判斷一組向量能否為V的一組基底，第一就是要檢驗它們是否線性獨立，然後還必須檢驗它們所衍生出來的空間是否為V，也就是V中的每一個向量都可以表示成它們的線性組合?！纠咳绻鸘是V的一個子空間，若為U中一組向量而且滿足下面二個條件(1)是線性獨立，且(2)則也是U的一組基底?！窘狻?1)若x(1,1,0)+y(1,0,1)+z(0,1,1)=(0,0,0)，則

解得x=y=z=0，故題中所給的一組向量為線性獨立。

(2)R3中的任意向量(a,b,c)可否表成(1,1,0)、(1,0,1)及(0,1,1)

之線性組合設(shè)(a,b,c)=x(1,1,0)+y(1,0,1)+z(0,1,1)，如果

(a,b,c)可以表成(1,1,0)、(1,0,1)及(0,1,1)之線性組合，則上

式x,y,z必有解。由解得

因此有解，故

即2-5矩陣的特徵值與特徵向量定義：假設(shè)為一線性算子，在許多的應(yīng)用問題，一個相當重要的問題就是:我們?nèi)绾卧谥星蟮靡幌蛄渴沟门c平行，即，求得一向量與一純量使得若且滿足式，則稱為線性變換的特徵值且稱為對應(yīng)於特徵值的特微向量?！纠苛顬橐痪€性變換，定義為試求的特徵值及對應(yīng)於這些特徵值的特徵向量。【解】令為特徵值，而為對應(yīng)於的特徵向量，可得或……….①因，故聯(lián)立方程組①有非必然解之充要條件為係數(shù)矩陣之行列式值為零。因此，或，得或，故求得的特徵值為或。將代入①中得解上面聯(lián)立方程式可得。因此，對應(yīng)於特徵值的特徵向量為形如，r為任意實數(shù)。再將代入①中得解上面聯(lián)立方程式可得。因此，對應(yīng)於特徵值的特徵向量為形如，r為任意實數(shù)。在此例題中，我們不難發(fā)現(xiàn)矩陣恰為線性變換的矩陣表示式。2-6相似矩陣定義：已知二個階方陣與，若存在一可逆的階方陣使得，我們稱相似於?！纠吭O(shè)，，;試證相似於。【解】且則。由於，故為可逆方陣:又因為，我們得或，故證得相似於。2-7二次型定義：每一項變數(shù)皆為平方或二變數(shù)之乘積，一般我們稱之為二次型。例如，一含二變數(shù)及之二次型可表示如下【例】在之條件限制下，求二次型的最大值及最小值，並求產(chǎn)生最大值及最小值時的與【解】令，則A的特徵方程式為=è特徵向量正規(guī)化得最大值為發(fā)生在，最小值為發(fā)生在第三章最佳化方法3-1高階偏導(dǎo)數(shù)定義：若與在閉區(qū)域IR皆為連續(xù)，則對IR中的每一點，或【例】若，試驗證【解】故3-2函數(shù)極值定義：若且則c為f圖形的反曲點。【例】試求圖形之反曲點。【解】

因但故為圖形之反曲點。第四章機率概論4-1隨機實驗、樣本空間與事件定義：一隨機試驗之各種可能結(jié)果的集合，稱為此實驗的樣本空間，通常以S表示。樣本空間內(nèi)的每一元素，亦即每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果，稱為樣本點?！纠客度队矌?，求其樣本空間及出現(xiàn)二正面的事件?！窘狻竣贅颖究臻g

S=②而出現(xiàn)二正面的事件為E=4-2機率的定義與基本定理定義：機率是衡量某一事件可能發(fā)生的程度(機會大小)，並針對此一不確定事件發(fā)生之可能性賦予一量化的數(shù)值。【例】設(shè)S為樣本空間【解】因所以，4-3條件機率與獨立事件定義：若A和B為二獨立事件，則【例】一個小鎮(zhèn)有一輛消防車和一輛救護車可供發(fā)生緊急事件使用。需要消防車的時候其可用機率為0.98，需救護車時其可用機率是0.92，假設(shè)大樓火災(zāi)裡有一人受傷，試求救護車和消防車都立即可用的機率?！窘狻吭O(shè)A與B分別代表消防車和救護車立即可以用的事件，則4-4貝士定理定義：設(shè)為樣本空間S的一個分割，B為S中的任意事件，若，則對每一自然數(shù)k，，我們有【例】某人欲從三家租車公司租借車:60%從租車公A，30%從租車公司B，10%從租車公司C。但從租車公司A租借的車有9%需做引擎調(diào)整，從租車公司B租借的車有20%需做調(diào)整，從租車公司C租借的車有6%需做引擎調(diào)整。試問此人租借的車需做引擎調(diào)整的機率有多少?【解】4-5白努利試驗定義：如果在白努利試驗中，事件A發(fā)生的機率為，則在n次試驗中，事件A恰巧發(fā)生k次的機率是，其中p+q=1，這個機率通常記為b(k，n，p)。【例】某次考試，共有選擇題十題，某生決定不唸書，單憑猜測去答問題，他自信對每題的猜測有的把握，問他猜中最少七題的機率是多少?【解】4-6數(shù)學(xué)期望值定義：設(shè)一實驗的樣本空間為S，為S的一個分割，若事件發(fā)生，可得元，，則稱為此實驗的數(shù)學(xué)期望值，簡稱為期望值。【例】擲一顆公正骰子，出現(xiàn)么點可得300元，出現(xiàn)偶數(shù)點可得200元，出現(xiàn)其它各點可得60元，求擲一次骰子所得金額的期望值?！窘狻繑S一顆骰子，出現(xiàn)么點的機率為，出現(xiàn)偶數(shù)點的機率為，出現(xiàn)3點、5點的機率為，故所求的期望值為元第五章隨機變數(shù)與機率分配5-1隨機變數(shù)、機率密度函數(shù)、累積分配函數(shù)定義：設(shè)X為離散隨機變數(shù)，若對每一個x的可能結(jié)果均滿足則稱為機率函數(shù)或機率質(zhì)量函數(shù)，有序數(shù)對的集合為X的機率分配?！纠苛钸B續(xù)隨機變數(shù)X的機率密度函數(shù)為計算?！窘狻?-2數(shù)學(xué)期望值定義：若a與b均為常數(shù)，則【例】設(shè)隨機變數(shù)X的機率密度函數(shù)為求【解】所以，5-3常用離散機率分配定義：離散均勻分配的平均值為變異數(shù)為【例】從一個裝有5瓩、40瓩、60瓩，和100瓩各一個燈泡的盒子中，隨機選取一燈泡，因而樣本空間中每一元素發(fā)生的機率均為。所以，均勻分配為。【解】5-4常用連續(xù)機率分配定義：若連續(xù)隨機變數(shù)X的機率密度函數(shù)為其中與為參數(shù)，分別代表平均值與標準差，則稱X的分配為常態(tài)分配，簡記為X~N，而X被稱為常態(tài)隨機變數(shù)。【例】設(shè)X～Ｎ，求【解】第六章差分與差分方程6-1差分的意義定義：若為x之函數(shù)，則【例】若，試求?！窘狻?-2階乘函數(shù)定義：若x為任一實數(shù)，n為一正整數(shù)，則【例】試將多項式以階乘函數(shù)表示之，並求其差分函數(shù)?！窘狻吭O(shè)解A=1，B=1，C=0，D=6故=所以，6.3平移運算子定義：設(shè)y為定義於集合A的函數(shù)，h為一定常數(shù)使時，也成立，則定義函數(shù)Ey如下並稱