2019-2021年高考數(shù)學（理）真題匯編-13 不等式、推理與證明

專題13不等式、推理與證明

x+l>0

1.【2021?浙江高考真題】若實數(shù)x,y滿足約束條件卜一y?0,貝l]z=x—

-y的最

2x+3y-l<0

小值是（）

3人11

A.—2B.C.D.—

2210

【答案】B

【分析】畫出滿足條件的可行域，目標函數(shù)化為y=2x-2z,求出過可行域點，且斜率為

2的直線在y軸上截距的最大值即可.

x+120

【詳解】畫出滿足約束條件的可行域，

2jc+3y-1<0

如下圖所示：

目標函數(shù)z=x_]y化為y=2x-2z,

尤=一1

解得彳設4—1,1),

2x+3y-l=0y=i

當直線y=2x—2z過A點時,

13

z=x--y取得最小值為一-.

故選：B.

2.【2020年新高考全國I】已知a>0,b>0,且4+3=1,則

A.a2+b2>-B.2a-b>-

22

C.log2a+log2b>-2D.>[a+\[b<0

【答案】ABD

【解析】對于A,a2+b2=a2+(\-a)2=2a2-2a+l=2(a-^}

'，[2)22

當且僅當a=b時，等號成立，故A正確；

2

對于B,a-b=2a-l>-l,所以2""〉2T='，故B正確;

2

'a+b,1c

對于C,log,+log=loglog=log24=-2，

a2b2ab<2、亍

當且僅當a=b=，時，等號成立，故C不正確；

2

對于D,因為+=1+2旅41+。+匕=2,

所以&+揚4起，當且僅當a=b=g時，等號成立，故D正確；

故選：ABD.

【點評】本題主要考查不等式的性質，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調

性，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

[x-3y+1<0

3.【2020年高考浙江】若實數(shù)x,y滿足約束條件'.,則z=x+2y的取值范圍是

[x+y-3>0n

A.(F4]B.f4,+oo)

C.L5,-KO)D.y,”)

【答案】B

【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

其中Z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大,

z取得最小值時，其幾何意義表示直線系在），軸上的截距最小，

據(jù)此結合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最小值，

聯(lián)立直線方程：\.c八，可得點4的坐標為：A（2』），

據(jù)此可知目標函數(shù)的最小值為：ZmM=2+2xl=4

且目標函數(shù)沒有最大值.

故目標函數(shù)的取值范圍是［4,+8）.

故選：B

【點評】求線性目標函數(shù)Z=or+勿（4厚0）的最值，當。＞0時，直線過可行域且在y軸上

截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最?。划敃r，直線過可行域且在y

軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.

4.【2020年高考全國I卷理數(shù)】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為

一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積,

則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為

由題意P02=J_a/,,即廿一三='0/,,化簡得4（2>—2.2—1=0,

242aa

解得2=匕亞（負值舍去）.

a4

故選：C.

【點晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關計算，考查學生的數(shù)學計算能力，是一道

容易題.

5.【2020年高考浙江】設集合5,T,SUN*,TUN*,S,7中至少有2個元素，且S,7滿

足：①對于任意的X,ywS,若存y,則外道?。虎趯τ谌我獾腦,yeT，若了勺，則上wS.

下列命題正確的是

A.若S有4個元素，則SU7有7個元素

B.若S有4個元素，則SU7有6個元素

C.若S有3個元素，則SUT有5個元素

D.若S有3個元素，則SUT有4個元素

【答案】A

【解析】首先利用排除法：

若取S={1,2,4},則T={2,4,8},此時SUT={L2,4,8},包含4個元素，排除選項

D；

若取S={2,4,8},則7={8,16,32},此時SUT={2,4,8,16,32},包含5個元素，排除

選項C；

若取S={2,4,8,16},則T={8,16,32,64,128},此時SUT={2,4,8,16,32,64,128},

包含7個元素，排除選項8；

下面來說明選項A的正確性：

設集合5={口，。2，，3，。4}，且Pl<P2Vp3Vp4，Pl，P2，P3，P4CN*,

則P|P2<P2P4，且P|P2,P2P4G7，則&GS,

Pl

同理賁^S,5,&GS,

PIPi

若Pi=l,則p,N2,則上<小，吟=1%即P3=P；，

Pi

又"嚕噴”故資=華=。2,所以〃4=H，

故5={1,「2，夕；,<},此時p；eT,P2eT,故矛盾，舍.

運4…久

若Pi22,則-Pi^~-P\即Pi=p；,p?=p；,

P\P\PiP\

又P4>△>%■>區(qū)>1,故更￡=々=〃],所以“4=〃：，

PiP2P3P3Pl

故s=｛p,Pt，Pi，Pl｝，此時｛p：,Pi，Pi，pf,p：｝￡T.

nq

若qeT,則"GS,故"=p；,i=l,2,3,4,故夕=p｝」=12,3,4,

PiPi

即qw{p；,p：,p：,p：,p：},故{P^,pt，P',pf,p；}=7，

此時SuT={〃|,p；,p：,〃:,〃：,戶,〃；,〃:}即SUT中有7個元素.

故A正確.

故選：A.

【點評】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然

后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新

定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不

一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.

6.[2020年高考全國II卷理數(shù)】0-1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列a。

滿足q€{0,l}(i=l,2「.)，且存在正整數(shù)機，使得/?,=4"=1,2廣.)成立，則稱其為0-1周

期序列，并稱滿足4+?,=4?=1，2,…)的最小正整數(shù)由為這個序列的周期.對于周期為機的

1

0-1序列qo,…a〃…，。⑹=—之4%(左=1,2,%-1)是描述其性質的重要指標，下列周

期為5的0-1序列中，滿足C(A)4%A;=1,2,3,4)的序列是

A.11010---B.11011---

C.10001---D.11001...

【答案】C

【解析】由4+,“=4知，序列對的周期為辦由已知，機=5,

15

C(k)=￡E生%,k=1,2,3,4

5/=1

對于選項A,

[5]111

C(l)二一)：4〃川二一+3+。3“4+”405+”5。6)=—(1+。+。+。+。)=———

5,?=]5555

[5]]2

C(2)=--一(4。3+。2。4+。3。5+。4。6+)=-(。+1+。+1+。)=一，不滿

5：=]555

足；

對于選項B,

[5]j3

C(l)——〉:=一+。2。3++“4a5+。5。6)=—(1+0+。+1+1)=一,不滿

5y_1555

足；

對于選項D,

[51]2

C(l)=—)：44+i=—(q2+出生+。3〃4+%的+a5a6)=—(1+0+0+0+1)=—,不滿

5j=]555

足；

故選：C

【點晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學生對新定義的理解能力以

及數(shù)學運算能力，是一道中檔題.

7.【2019年高考全國I卷理數(shù)】古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚

臍至足底的長度之比是正二!■（縣口漢）.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”

22

便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是避二1.若某

2

人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其

身高可能是

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

【答案】B

【解析】方法一：如下圖所示.

依題意可知：

AC_V5-1AB_V5-1

~CD~2'~BC~2

①腿長為105cm得，即CD>105,

AC=CD>64.89,

2

A￡>=AC+CD>64.89+105=169.89,

所以169.89.

②頭頂至脖子下端長度為26cm,

即4B<26,

AD

BC=-1=—<42.07,

V5-1

2

AC=AB+BC<6S.O7，

AC

CD=<110.15,

V5-1

2

AC+CZX68.07+110.15=178.22,

所以AO<178.22.

綜上，169.89<AD<178.22.

Ar頭頂

B-咽喉

DL足底

故選B.

方法二：設人體脖子下端至肚臍的長為xcm,肚臍至腿根的長為ycm,則

生=型二=1二1,得%=42.07cm,ya5.15cm.又其腿長為105cm,頭頂至脖子下端

xy+1052

的長度為26cm,所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故選B.

【名師點睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).采取類比法，

利用轉化思想解題.

8.【2019年高考全國II卷理數(shù)】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次

月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關

鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲

橋沿著圍繞地月拉格朗日4點的軌道運行點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設地

球質量為月球質量為M?,地月距離為R,4點到月球的距離為「，根據(jù)牛頓運動定律

MMMr

和萬有引力定律，，滿足方科—？+言=必「)言.設"亂,由于0的值很小，

3cc+3a"+CL

因此在近似計算中23a3,則r的近似值為

0+a)2

A尚

B膈R

3M,"

C.3-ZRD.

\陷

3-----K

\3M,

【答案】D

【解析】由a=/,得「=。7?

R

M.M,f、M

因為而r+^二力+^^'

MM,〃

所以+-=(l+a

/?2(l+a)2a2H2

即絲1=?2[(1+?)------~~]=優(yōu)+3a4+3a3

??3a3,

(1++)2

M](1+a)

【名師點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意;

易錯點之二是復雜式子的變形出錯.

9.【2019年高考全國H卷理數(shù)】若則

A.ln(a-Z>)>0B.3"<3〃

Cd-加>0D.|a|>|fe|

【答案】C

【解析】取。=2*=1,滿足a>。，ln3-0)=0,知A錯，排除A；因為9=3“>34=3,

知B錯，排除B；取。=1,。=一2,滿足1=同<網(wǎng)=2,知D錯，排除D,因為哥

函數(shù)y=》3是增函數(shù)，a>b,所以/>廿，故選C.

【名師點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質、指數(shù)函數(shù)性質、基函數(shù)性質及絕對值意義，滲透

了邏輯推理和運算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷.

10.【2019年高考北京卷理數(shù)】若x,y滿足|x|Vl-y,且正-1,則3x+y的最大值為

A.-7B.1

C.5D.7

【答案】C

-1WV

【解析】由題意〈/I，作出可行域如圖陰影部分所示.

y-[<x<\-y

設z=3尤+y,y=z-3x,

當直線％：y=z-3x經(jīng)過點(2,-1)時，z取最大值5.故選C.

【名師點睛】本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解.題目難

度不大，注重了基礎知識、基本技能的考查.

11.【2019年高考北京卷理數(shù)】在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆

5E,

星的星等與亮度滿足牝-如二；1g寸，其中星等為儂的星的亮度為反(61,2).已知太陽的

2J

星等是-26.7,天狼星的星等是T.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為

A.IO10-1B.

10.1

C.IglO.lD.10」°」

【答案】A

5.E

【解析】兩顆星的星等與亮度滿足，々一叫=7lgU，令啊=T45,g=-26.7,

Ll()l

=|(m2-/M1)=|(-l.45+26.7)=l0.l,^=l0.

故選：A.

【名師點睛】本題以天文學問題為背景，考查考生的數(shù)學應用意識、信息處理能力、閱讀理

解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.

x+y-2<0,

x—y+2>0,

12.【2019年高考天津卷理數(shù)】設變量x,y滿足約束條件〈，，則目標函數(shù)

,1,

z=-4x+y的最大值為

A.2B.3

C.5D.6

【答案】C

【解析】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分.

目標函數(shù)的幾何意義是直線y=4x+z在y軸上的截距,

故目標函數(shù)在點A處取得最大值.

x-y+2=0,

由彳，'，得

x=-l

所以Zmax=-4X(-1)+1=5.

故選C.

【名師點睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域對應的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域，分界線是

實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直

線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結合圖形確定目標函數(shù)最值或范圍.即：一畫，

二移，三求.

13.【2019年高考天津卷理數(shù)】設xeR,則“爐_5%<0”是的

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】化簡不等式，可知0<x<5推不出忖―1|<1,

由忖一1|<1能推出0<x<5,

故-5%<0”是“Ix-l|<1"的必要不充分條件，

故選B.

【名師點睛】本題考查充分必要條件，解題關鍵是化簡不等式，由集合的關系來判斷條件.

x-3y+4>0

14.【2019年高考浙江卷】若實數(shù)滿足約束條件<3x-y-4?0,則z=3x+2y的最大

x+yNO

值是

A.-1B.1

C.10D.12

【答案】C

【解析】畫出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示。

31

因為z=3x+2y,所以了二一^元+己%.

31

平移直線丁二—-x+—z可知，當該直線經(jīng)過點A時，z取得最大值.

22

x-3y+4=0x=2

聯(lián)立兩直線方程可得<，解得〈c

3x-y-4=0[y=2

即點A坐標為A(2,2),

所以Zmax=3x2+2x2=10.故選C-

【名師點睛】解答此類問題，要求作圖要準確，觀察要仔細.往往由于由于作圖欠準確而影

響答案的準確程度，也有可能在解方程組的過程中出錯.

15.【2019年高考浙江卷】若a>0,b>0,則“a+6W4”是“必W4”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當a>0,人>0時，a+0225/茄當且僅當a=Z?時取等號，則當a+》W4時，

有+解得曲W4,充分性成立；

當a=l,反4時，滿足"W4,但此時a+〃=5>4,必要性不成立，綜上所述，

^a+b<4”是"必<4”的充分不必要條件.

【名師點睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是基本不等式掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能靈活

的應用“賦值法”，通過特取a力的值，從假設情況下推出合理結果或矛盾結果.

2x+y-2<0,

16.[2020年高考全國I卷理數(shù)】若x,y滿足約束條件,x-y-l>0,則z=x+ly的最大值

>'+1>0,

為.

【答案】1

【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,

其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，

據(jù)此結合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最大值，

2x+y-2=0/、

聯(lián)立直線方程：，八，可得點A的坐標為：A（l,0）,

x-y-l=0

據(jù)此可知目標函數(shù)的最大值為：Zmax=1+7x0=1.

故答案為：1.

【點評】求線性目標函數(shù)Z="x+切（“以0）的最值，當〃>0時，直線過可行域且在y軸上

截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最?。划攂<0時，直線過可行域且在y

軸上截距最大時，z值最小，在），軸上截距最小時，z值最大.

x+y>0,

17.【2020年高考全國III卷理數(shù)】若x,y滿足約束條件1x-yNO,則z=3x+2y的最大值為

x<1,

【答案】7

【解析】不等式組所表示的可行域如圖

3Yzz

因為z=3x+2y,所以y=-一+—，易知截距一越大，則z越大,

-222

3Y3尤7

平移直線y=-二，當＞=-二+—經(jīng)過A點時截距最大，此時z最大,

222

y=2xX=]

由,x=r得'C，41,2),

[y=2

所以Zmax=3xl+2x2=7.

故答案為：7.

【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃的應用，涉及到求線性目標函數(shù)的最大值，考查學生

數(shù)形結合的思想，是一道容易題.

18.【2020年高考江蘇】已知5/〉2+寸=心,｝，€即，則"+12的最小值是_上

4

【答案】y

【解析】V5x2/+/=1

二"0且x?=二^

5y

1-/14y2￡?=%當且僅當9=茅，即丁磊丫送

/.x2+y2=2

—5y^2-+‘y=5-y2542,

時取等號.

f+y的最小值為

,4

故答案為：二

【點評】本題考查了基本不等式在求最值中的應用.利用基本不等式求最值時，一定要正確

理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，

其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗證等號

能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內，二是多次用之或4時等號能否同

時成立）.

11Q

19.【2020年高考天津】已知a>0,b>0,且"=1,則——十丁+—的最小值為

2a2ba+h

【答案】4

118abab8

【解析】>0,Z?>0,/.4?+Z?>0,ab=l,一十一+-------一十一+-------

2a2b。+b2a2ha+b

-+-^—>2.p^-x-^—=4,當且僅當a+Z?=4時取等號,

2a+bv2a+b

結合ab=l,解得a=2—=2+，或a=2+J^,。=2—時,，等號成、7..

故答案為：4

【點評】本題考查應用基本不等式求最值，"1”合理變換是解題的關鍵，屬于基礎題.

20.[2020年高考江蘇】已知5/丁+V=l（x,yeR）,則x2+y2的最小值是▲.

4

【答案】y

［解析】V5x2/+/=1

.1_v4

“。且…可

.201-丁4214y2.警《當且僅當學=若

5/5y25

時取等號.

/.f+y2的最小值為：

4

故答案為：].

【點評】本題考查了基本不等式在求最值中的應用.利用基本不等式求最值時，一定要正確

理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，

其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗證等號

能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內，二是多次用之或《時等號能否同

時成立）.

21.【2021?全國高考真題】某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條

對稱軸把紙對折，規(guī)格為20dmx12dm的長方形紙，對折1次共可以得到

10dmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和=240dm2,對折2次

共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和

2

S2=180dm,以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對

折〃次，那么、＞*=dm2.

A=1

__._15（3+〃）

【答案】5720——匚一

2"-4

【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得S“，再根據(jù)錯位相減法得結果.

【詳解】（1）由對折2次共可以得至ij5dmx12dm,lOdmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的

圖形，所以對著三次的結果有：一xl2,5x6,10x3；20x±,共4種不同規(guī)格（單位dn?）；

22

5533

故對折4次可得到如下規(guī)格：-X12,4x6,5x3,10x-,20x4,共5種不同規(guī)

4224

格；

（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如

何，其面積成公比為g的等比數(shù)列，首項為120（dn?）,第〃次對折后的圖形面積為

120x1,對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結論，猜想為

〃+1種（證明從略），故得猜想S,=l2；二+”,

J120x2120x3120x4,120（?+1）

則為=120x2120x3120?120(/?+1)

—n-----H

2c2+…+-^rr+~—

兩式作差得:

入=240+12()3+…+上]-^^

2(22?T-')2"

.24oHH]20(〃+1)

112"

2

120120(〃+1)120(〃+3)

=30U---：---------=3OU---------,

2"''2"2"

240(/2+3)15(n+3)

因此,5=720---------=720——

2"2'1

故答案為：5；720」5(“：3)

2，i

【點評】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：

(1)對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；

(2)對于｛。也｝結構，其中｛%｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；

(3)對于｛an+b?｝結構，利用分組求和法；

(4)對于‘一｝結構，其中｛%｝是等差數(shù)列，公差為則

」一==11———\利用裂項相消法求和.

4"，用八%a/J

22.【2019年高考全國II卷理數(shù)】中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一上|]

信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多

面體''(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)

學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面

上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個面，其棱長為.(本題

第一空2分，第二空3分.)

圖1

【答案】26,V2-1

【解析】由圖可知第一層（包括上底面）與第三層（包括下底面）各有9個面，計18個面，第

二層共有8個面，所以該半正多面體共有18+8=26個面.

如圖，設該半正多面體的棱長為X,則AB=BE=X,延長CB與EE交于點G,延長

BC交正方體棱于H，由半正多面體對稱性可知，△BGE為等腰直角三角形，

BG=GE=CH=—x,,-.=2x走x+x=(