中學英語課件Lecture-1 for Chapter 2

基本實驗定律（庫侖定律）基本物理量（電場強度）EE的旋度E的散度基本方程唯一性定理分界面銜接條件電位（

）數(shù)值法有限差分法直接積分法分離變量法鏡像法，電軸法靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力圖2.0靜電場知識結(jié)構(gòu)圖第2章電磁場中的基本物理量和基本實驗定律第2章電磁場中的基本物理量和基本實驗定律為了分析電磁場，本章在宏觀理論的假設(shè)和實驗的基礎(chǔ)上，介紹電磁場中的基本物理量和實驗定律。重要內(nèi)容有：在靜止和穩(wěn)定的情況下，確立分布電荷與分布電流的概念和物理量；在電荷守恒的假定前提下，確立電流連續(xù)性規(guī)律。在庫侖實驗定律和安培力實驗定律的基礎(chǔ)上建立代表電場和磁場的基本物理量E和B。在電荷分布和電流分布已知的條件下，提出計算電場與磁場的矢量積分公式。22.1電荷與電荷分布

眾所周知，自然界中最小的帶電離子之一是電子，它的靜止質(zhì)量，電荷量；另一種是質(zhì)子，其靜止質(zhì)量，電荷量。精確地說，任何帶電體的電荷量都是以電子電荷量的正或負整數(shù)倍的數(shù)值量出現(xiàn)的。電荷量是一個代數(shù)量。

微觀上看，與物體的質(zhì)量一樣，電荷是以離散的方式出現(xiàn)在空間的。但從工程或宏觀電磁學的觀點上看，大量的帶電粒子密集地出現(xiàn)在某空間體積內(nèi)時，可以假定電荷以連續(xù)分布的形式充滿于該體積中。3

基于這種假設(shè)，我們用電荷體密度（即體積電荷密度）來描述電荷在空間的分布，體積電荷密度定義為(2.1.1)

的單位為。顯然一般應(yīng)是一個空間位置的連續(xù)函數(shù)，它是一個標量場。若在電荷分布的空間內(nèi)任取一個微小體積，并稱為體積元，則該體積元的電荷量為。要計算某一體積內(nèi)的電荷總量，可應(yīng)用體積分的方法求得(2.1.2)4

在處理工程電磁場問題時，有些情況下可以認為電荷分布在某一幾何曲面或幾何曲線上，稱為面電荷或線電荷。相應(yīng)地，我們定義電荷面密度為其單位為。(2.1.3)定義電荷線密度為(2.1.4)其單位為。當已知和的分布后，任意曲面或曲線上的電荷總量就可以用相應(yīng)的面積分或線積分表示成和。5理論分析電磁場時，“點電荷”這一概念具有十分重要的意義。當某一電荷量q被想象地集中在一個幾何點上時，這樣的電荷稱為點電荷q。用電荷體積分布的概念來衡量，電荷體密度，即體密度函數(shù)值在時無限大，表示該點有一個點電荷q。62.2電流與電流密度

若空間分布的電荷是流動的,則該體積空間內(nèi)就有電流存在，我們?nèi)稳∫粋€面積S，如果時間內(nèi)穿過S的電荷量為，則定義電流的大小為(2.2.1)電流的單位為A(安[培])，若電荷流動的速度不隨時間改變，則有（恒定值）(2.2.2)這種情況下的電流稱為恒定電流。電流是一個代數(shù)量。7

為了描述體積分布電荷在空間各處流動的狀態(tài)，即電流在空間分布的狀態(tài)，如圖2.2.1所示，我們在垂直于電荷流動的方向取一個面積元，若流過的電流為，則定義一個矢量，其大小為圖2.2.1電流分布圖8

(2.2.3)

的方向定為正電荷運動的方向，并稱為電流密度矢量，單位為A/㎡（安/米2）。因為它是用來描寫電流在空間體積中流動情況的，一般稱為體積電流密度，簡稱電流密度。體積空間中某點的電流密度同該點的電荷密度、電荷運動速度之間的關(guān)系可按如下方法求出：垂直于取面積元，設(shè)時間內(nèi)流動的距離為，則如圖2.2.1中所表示的柱性體積元的電荷在時間內(nèi)全部通過面積元，故電流為9其中為電荷運動的速度（m/s），而面積元處的電流密度為或

(2.2.4)其中是該處運動電荷的體密度。

如果某空間內(nèi)含有幾種不同類型的運動電荷，其電荷密度為，運動速度為，則空間某一處的電流密度應(yīng)為各類電流密度的矢量和

(2.2.5)10

顯然，電荷流動的空間是一個電流密度矢量場，場中任意面積上通過的電流量為或(2.2.6)所以電流I(或i)的另一定義是電荷流動場中電流密度矢量在某一面積上的通量。11

實際問題中，我們還常遇到一種電荷在一薄層內(nèi)流動的現(xiàn)象，它可抽象地認為是在某一幾何面積上流動的電流，即表面電荷在面積上流動形成的電流，成為表面電流或面電流。如圖2.2.2所示，在表面電流場中，取一線元垂直于面電荷運動的方向，如果穿過此線元的電流為，則可定義表面電流線密度為(2.2.7)其中的單位為A/m。用與式(2.2.4)相似的推導方法，求面電荷密度與面電流線密度之間的關(guān)系為(2.2.8)12圖2.2.2體電流密度矢量和面電流密度矢量13

必須把以上介紹面電流和體電流的概念區(qū)分開，有的讀者可能會誤以為空間體積中有電流時，該空間內(nèi)表面上便有面電流，這樣理解是不對的。因為面電流是在厚度為零的表面上流過的電流，其所占體積為零，它實際上是一種抽象的概念。一般體電流密度是有限值，在體積為零的表面上流過的電流當然只能為零，否則將會得到體電流密度為無窮大的后果。14

除體電流和面電流之外，還有一種常用的電流概念，稱為線電流。實際中，當電荷在一根很細的導線中流過或電荷通過的橫切面很小時，可以把電流看作在一根無限細的線上流過，理想化成線電流，線電流I與電荷線密度間的關(guān)系為(2.2.12)

以上我們討論了體電流、面電流和線電流等概念，它們都正比于相應(yīng)電荷的運動速度。如何使電荷獲得速度或動能呢？從物理學看，這是一個能量轉(zhuǎn)換問題。電荷的動能可來自機械能、熱能、光能、化學能甚至電磁能本身。152.3電流連續(xù)性方程

如果我們在體電流空間中任取一個閉合面，所包圍的體積為，從閉合面流出的電流表示每秒內(nèi)從體積內(nèi)穿過流到外面去的電荷量。因為電荷是守恒的，所以它應(yīng)等于體積內(nèi)電荷的減少率，即(2.3.1)其中等式右邊的q應(yīng)為閉合面S內(nèi)的電荷量，它等于電荷密度的體積分，再對上式左邊應(yīng)用散度定理，得(2.3.2)16式(2.3.1)或(2.3.2)是電流的基本方程，它是電荷守恒的必然結(jié)果。由于式(2.3.1)中的閉合面是任取的，它包圍的體積可以任意小，因此我們有(2.3.3)這是電流基本方程的微分形式，式(2.3.2)為積分形式。

當我們研究恒定電流場時，要維持電流不隨時間改變，就要求電荷在空間的分布也不隨時間改變，即及不是時間的函數(shù)，因此對于恒定電流場必然有(2.3.4)17式(2.3.4)表示從任意閉合面穿出的恒定電流為零，或恒定電流場是一個無散度場。事實上，電荷的運動是這樣的：對于任取的閉合面，總有部分表面上，電荷是從閉合面內(nèi)向外流出，同時另外部分表面上電荷則從外向內(nèi)流進，這兩部分電流大小相等，符號相反。因而從閉合面內(nèi)流出的凈電流恒為零。同時閉合面包圍的體積內(nèi)電荷分布也就不隨時間改變，電荷分布必定呈一種穩(wěn)定狀態(tài)。18

同理，對于表面電流場，場中任何閉合路徑上，由面電荷守恒的結(jié)果，應(yīng)有對于時變的面電流（2.3.5)對于恒定的面電流（2.3.6)而對于線電流所形成的電路中的任何節(jié)點，就可得到電路理論的基爾霍夫電流方程。19

注意：對恒定電流場來說，式(2.3.4)和式(2.3.6)通稱為電流連續(xù)性方程。對于時變的電流場，建立了位移電流概念后，式(2.3.2)或式(2.3.3)以及式(2.3.5)也可稱為電流連續(xù)性方程。202.4.1庫侖定律N(牛頓)適用條件

兩個可視為點電荷的帶電體之間相互作用力;

無限大真空情況(式中可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中F/m)N(牛頓)結(jié)論：電場力符合矢量疊加原理圖2.4.1兩點電荷間的作用力

庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實驗定律。大量試驗表明:真空中兩個靜止的點電荷與之間的相互作用力:

當真空中引入第三個點電荷時，試問與相互間的作用力改變嗎?為什么？2.4電場強度庫侖定律21b)n個點電荷產(chǎn)生的電場強度

(注意:矢量疊加)c)連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強度V/m體電荷分布面電荷分布線電荷分布圖2.4.2體電荷的電場22例2.4.1

真空中有長為L的均勻帶電直導線,電荷線密度為,試求P點的電場.解:采用直角坐標系,令y軸經(jīng)過場點p,導線與x軸重合。(直角坐標)(圓柱坐標)圖2.4.3帶電長直導線的電場23

無限長直均勻帶電導線產(chǎn)生的電場為平行平面場。

電場強度的矢量積分一般先轉(zhuǎn)化為標量積分,然后再合成,即

點電荷的數(shù)學模型

積分是對源點進行的,計算結(jié)果是場點的函數(shù)。

點電荷是電荷體分布的極限情況,可以把它看成是一個體積很小,電荷密度很大，總電量不變的帶電小球體。當時，電荷密度趨近于無窮大，通常用沖擊函數(shù)表示點電荷的密度分布。圖2.4.4單位點電荷的密度分布點電荷的密度24

設(shè)在靜止的源電荷周圍空間內(nèi)某點處一個靜止的試驗電荷q受到的靜電力為F，則該點的電場強度定義為(2.4.1)其中F的單位為N牛[頓]），q的單位為C（庫）,電場強度的單位為V/m（伏/米）。取極限是為了使引入靜止試驗電荷時不致影響電荷的狀態(tài)。25庫侖定律：

庫侖早已從實驗上總結(jié)了真空中兩點電荷間作用力的規(guī)律，這規(guī)律稱為庫侖定律。如圖2.4.1所示，兩點電荷和相隔距離為R

時，受到的作用力為其中為源電荷所在點的位置矢量，為試驗電荷所在點的位置矢量，為從指向的單位矢量；稱為真空介電常數(shù)。(2.4.2)26o圖2.4.1點電荷間的作用力27

由庫侖定律可以得出在離源電荷q，即式(2.4.2)中的，距離為R的點處的電場強度為(2.4.3)由于故式(2.4.3)可用算符改寫成如下形式(2.4.4)式中28(2.4.3)式也可寫成如下形式(2.4.5)

為了方便，我們把觀察點稱為“場點”，把源電荷所在點稱作“源點”。場點的位置用不帶撇號的坐標表示，或用位置矢量表示；源點的位置用帶撇號的坐標，或位置矢量表示，如圖2.4.1所示。29庫侖定律的重要結(jié)論：點電荷周圍的電場，其強度（或大小）與距離平方成反比，靜電場的許多性質(zhì)都與此有關(guān)；其次，電場強度與源點電荷的電荷量成正比，為線性關(guān)系。這樣可以利用疊加方法來計算幾個點電荷共同形成的電場。當有n個點電荷時，場點的場強可由各點電荷獨自在該點形成的場強的矢量和來計算(2.4.6)其中是到場點的距離，是沿方向的單位矢量。30

例2.4.1

真空中有一電偶極子，如圖