矩陣運(yùn)算與方程組求解

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項(xiàng)目五矩陣運(yùn)算與方程組求解矩陣運(yùn)算與方程組求解（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）實(shí)驗(yàn)1行列式與矩陣實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆站仃嚨妮斎敕椒?掌握利用Mathematica(4.0以上版本)對矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)置、加、減、數(shù)乘、相乘、乘方等運(yùn)算,并能求矩陣的逆矩陣和計(jì)算方陣的行列式.基本命令在Mathematica中,向量和矩陣是以表的形式給出的.1.表在形式上是用花括號括起來的若干表達(dá)式,表達(dá)式之間用逗號隔開.如輸入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}則輸入了兩個(gè)向量.2.表的生成函數(shù)最簡單的數(shù)值表生成函數(shù)Range,其命令格式如下:Range[正整數(shù)n]—生成表{1,2,3,4,…,n};Range[m,n]—生成表{m,…,n};Range[m,n,dx]—生成表{m,…,n},步長為dx.(2)通用表的生成函數(shù)Table.例如,輸入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]則輸出{1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}輸入Table[x*y,{x,3},{y,3}]則輸出{{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3.表作為向量和矩陣一層表在線性代數(shù)中表示向量,二層表表示矩陣.例如,矩陣可以用數(shù)表{{2,3},{4,5}}表示.輸入A={{2,3},{4,5}}則輸出{{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩陣A顯示成通常的矩陣形式.例如,輸入命令:MatrixForm[A]則輸出但要注意,一般地,MatrixForm[A]代表的矩陣A不能參與運(yùn)算.輸入B={1,3,5,7}輸出為{1,3,5,7}輸入MatrixForm[B]輸出為雖然從這個(gè)形式看向量的矩陣形式是列向量,但實(shí)質(zhì)上Mathematica不區(qū)分行向量與列向量.或者說在運(yùn)算時(shí)按照需要,Mathematica自動(dòng)地把向量當(dāng)作行向量或列向量.下面是一個(gè)生成抽象矩陣的例子.輸入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}]MatrixForm[%]則輸出注:這個(gè)矩陣也可以用命令A(yù)rray生成,如輸入Array[a,{4,3}]//MatrixForm則輸出與上一命令相同.4.命令I(lǐng)dentityMatrix[n]生成n階單位矩陣.例如,輸入IdentityMatrix[5]則輸出一個(gè)5階單位矩陣(輸出略).5.命令DiagonalMatrix[…]生成n階對角矩陣.例如,輸入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]則輸出{{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一個(gè)以b[1],b[2],b[3]為主對角線元素的3階對角矩陣.6.矩陣的線性運(yùn)算:A+B表示矩陣A與B的加法;k*A表示數(shù)k與矩陣A的乘法;A.B或Dot[A,B]表示矩陣A與矩陣B的乘法.7.求矩陣A的轉(zhuǎn)置的命令:Transpose[A].8.求方陣A的n次冪的命令:MatrixPower[A,n].9.求方陣A的逆的命令:Inverse[A].10.求向量a與b的內(nèi)積的命令:Dot[a,b].實(shí)驗(yàn)舉例矩陣A的轉(zhuǎn)置函數(shù)Transpose[A]例1.1求矩陣的轉(zhuǎn)置.輸入ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}};Transpose[ma]//MatrixForm輸出為如果輸入Transpose[{1,2,3}]輸出中提示命令有錯(cuò)誤.由此可見,向量不區(qū)分行向量或列向量.矩陣線性運(yùn)算例1.2設(shè)求輸入A={{3,4,5},{4,2,6}};B={{4,2,7},{1,9,2}};A+B//MatrixForm4B-2A//MatrixForm輸出為如果矩陣A的行數(shù)等于矩陣B的列數(shù),則可進(jìn)行求AB的運(yùn)算.系統(tǒng)中乘法運(yùn)算符為“.”,即用A.B求A與B的乘積,也可以用命令Dot[A,B]實(shí)現(xiàn).對方陣A,可用MatrixPower[A,n]求其n次冪.例1.3設(shè)求矩陣ma與mb的乘積.輸入Clear[ma,mb];ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}};mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}};ma.mb//MatrixForm輸出為矩陣的乘法運(yùn)算例1.4設(shè)求AB與并求輸入Clear[A,B];A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}};B={1,0,1};A.B輸出為{11,3,5}這是列向量B右乘矩陣A的結(jié)果.如果輸入B.A輸出為{4,5,12}這是行向量B左乘矩陣A的結(jié)果這里不需要先求B的轉(zhuǎn)置.求方陣A的三次方,輸入MatrixPower[A,3]//MatrixForm輸出為例1.5(教材例1.1)設(shè)求及輸入A={{1,1,1},{1,1,1},{1,2,3}}MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{1,2,4}}MatrixForm[B]3A.B2A//MatrixFormTranspose[A].B//MatrixForm則輸出及的運(yùn)算結(jié)果分別為求方陣的逆例1.6(教材例1.2)設(shè)求輸入Clear[ma]ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}};Inverse[ma]//MatrixForm則輸出注:如果輸入Inverse[ma//MatrixForm]則得不到所要的結(jié)果,即求矩陣的逆時(shí)必須輸入矩陣的數(shù)表形式例1.7求矩陣的逆矩陣.解A={{7,12,8,24},{5,34,6,-8},{32,4,30,24},{-26,9,27,0}}MatrixForm[A]Inverse[A]//MatrixForm例1.8設(shè)求輸入Clear[A,B];A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}};B={{0,3,2},{7,1,3},{1,3,3},{1,2,2}};Inverse[ma].B//MatrixForm輸出為對于線性方程組如果A是可逆矩陣,X,b是列向量,則其解向量為例1.9解方程組輸入Clear[A,b];A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}};b={7,6,-2};Inverse[A].b輸出為{1,1,2}求方陣的行列式例1.10求行列式輸入Clear[A];A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}};Det[A]輸出為40例1.11(教材例1.3)求輸入Clear[A,a,b,c,d];A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1},{c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1/d,1}};Det[A]//Simplify則輸出例1.12計(jì)算范德蒙行列式輸入Clear[x];Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]//MatrixForm輸出為再輸入Det[van]則輸出結(jié)果比較復(fù)雜(項(xiàng)很多)若改為輸入Det[van]//Simplify或Factor[Det[van]]則有輸出(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4])(x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5])(x[3]-x[5])(x[4]-x[5])例1.13(教材例1.4)設(shè)矩陣求輸入A={{3,7,2,6,4},{7,9,4,2,0},{11,5,6,9,3},{2,7,8,3,7},{5,7,9,0,6}}MatrixForm[A]Det[A]Tr[A]MatrixPower[A,3]//MatrixForm則輸出分別為115923向量的內(nèi)積向量內(nèi)積的運(yùn)算仍用“.”表示,也可以用命令Dot實(shí)現(xiàn)例1.14求向量與的內(nèi)積.輸入u={1,2,3};v={1,-1,0};u.v輸出為-1或者輸入Dot[u,v]所得結(jié)果相同.實(shí)驗(yàn)習(xí)題1.設(shè)求及2.設(shè)求一般地(k是正整數(shù)).3.求的逆.4.設(shè)且求5.利用逆矩陣解線性方程組實(shí)驗(yàn)4：矩陣的分塊求逆及解線性方程組一、問題化已知矩陣為上三角矩陣，構(gòu)造范德蒙矩陣，高階非奇異矩陣的分塊求逆，非齊次線性方程組的通解二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?.學(xué)會使用MATLAB編程，實(shí)施初等變換將矩陣化為上三角矩陣2.掌握用循環(huán)語句由已知向量構(gòu)造范德蒙矩陣3.了解高階非奇異矩陣用不同分塊法求逆矩陣的誤差分析4.能根據(jù)由MATLAB所求得的非齊次線性方程組增廣矩陣的階梯形的行最簡形式寫出線性方程組的通解三、預(yù)備知識（一）線性代數(shù)知識（二）相關(guān)命令提示：1.輸入語句：變量名=input（‘提示信息’）2.for循環(huán)3.if結(jié)構(gòu)4.矩陣與向量的范數(shù):norm(A5.求矩陣A的秩:rank(A6.求矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)階梯形：rref(A四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求1.在建立的sy31.m文件中編程將任意給定的n階方陣B1，化為上三角陣B1;調(diào)用時(shí)輸入B1=A,n=6;其中A為實(shí)驗(yàn)：矩陣的基本運(yùn)算中的矩陣A2.在建立的sy32.m文件中編程用1—6單位增量的行向量產(chǎn)生一個(gè)范德蒙矩陣B23.在建立的sy33.m文件中編程對任意輸入的高階分塊可逆矩陣B3實(shí)現(xiàn)分塊法求逆：（1）調(diào)用sy33.m文件時(shí)輸入B3=A^2，輸入n1=2,求出B3的逆C2；（2）調(diào)用sy33.m文件時(shí)輸入同上的B3，輸入n1=4,求出B3的逆C4；（3）調(diào)用sy33.m文件時(shí)輸入同上的B3，輸入n1=6,求出B3的逆C6；（4）調(diào)用norm函數(shù)對上面三種方法所求的逆做誤差分析（即做（B3×Ci-E）的范數(shù)）4.建立sy34.m文件，求下列非齊次方程組的通解。五、思考與練習(xí)1.求解下列齊次方程組的基礎(chǔ)解系2.用任意輸入的8維行向量產(chǎn)生一個(gè)8解范德蒙矩陣項(xiàng)目五矩陣運(yùn)算與方程組求解實(shí)驗(yàn)1行列式與矩陣實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆站仃嚨妮斎敕椒?掌握利用Mathematica(4.0以上版本)對矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)置、加、減、數(shù)乘、相乘、乘方等運(yùn)算,并能求矩陣的逆矩陣和計(jì)算方陣的行列式.基本命令在Mathematica中,向量和矩陣是以表的形式給出的.1.表在形式上是用花括號括起來的若干表達(dá)式,表達(dá)式之間用逗號隔開.如輸入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}則輸入了兩個(gè)向量.2.表的生成函數(shù)最簡單的數(shù)值表生成函數(shù)Range,其命令格式如下:Range[正整數(shù)n]—生成表{1,2,3,4,…,n};Range[m,n]—生成表{m,…,n};Range[m,n,dx]—生成表{m,…,n},步長為dx.(2)通用表的生成函數(shù)Table.例如,輸入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]則輸出{1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}輸入Table[x*y,{x,3},{y,3}]則輸出{{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3.表作為向量和矩陣一層表在線性代數(shù)中表示向量,二層表表示矩陣.例如,矩陣可以用數(shù)表{{2,3},{4,5}}表示.輸入A={{2,3},{4,5}}則輸出{{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩陣A顯示成通常的矩陣形式.例如,輸入命令:MatrixForm[A]則輸出但要注意,一般地,MatrixForm[A]代表的矩陣A不能參與運(yùn)算.輸入B={1,3,5,7}輸出為{1,3,5,7}輸入MatrixForm[B]輸出為雖然從這個(gè)形式看向量的矩陣形式是列向量,但實(shí)質(zhì)上Mathematica不區(qū)分行向量與列向量.或者說在運(yùn)算時(shí)按照需要,Mathematica自動(dòng)地把向量當(dāng)作行向量或列向量.下面是一個(gè)生成抽象矩陣的例子.輸入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}]MatrixForm[%]則輸出注:這個(gè)矩陣也可以用命令A(yù)rray生成,如輸入Array[a,{4,3}]//MatrixForm則輸出與上一命令相同.4.命令I(lǐng)dentityMatrix[n]生成n階單位矩陣.例如,輸入IdentityMatrix[5]則輸出一個(gè)5階單位矩陣(輸出略).5.命令DiagonalMatrix[…]生成n階對角矩陣.例如,輸入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]則輸出{{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一個(gè)以b[1],b[2],b[3]為主對角線元素的3階對角矩陣.6.矩陣的線性運(yùn)算:A+B表示矩陣A與B的加法;k*A表示數(shù)k與矩陣A的乘法;A.B或Dot[A,B]表示矩陣A與矩陣B的乘法.7.求矩陣A的轉(zhuǎn)置的命令:Transpose[A].8.求方陣A的n次冪的命令:MatrixPower[A,n].9.求方陣A的逆的命令:Inverse[A].10.求向量a與b的內(nèi)積的命令:Dot[a,b].實(shí)驗(yàn)舉例矩陣A的轉(zhuǎn)置函數(shù)Transpose[A]例1.1求矩陣的轉(zhuǎn)置.輸入ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}};Transpose[ma]//MatrixForm輸出為如果輸入Transpose[{1,2,3}]輸出中提示命令有錯(cuò)誤.由此可見,向量不區(qū)分行向量或列向量.矩陣線性運(yùn)算例1.2設(shè)求輸入A={{3,4,5},{4,2,6}};B={{4,2,7},{1,9,2}};A+B//MatrixForm4B-2A//MatrixForm輸出為如果矩陣A的行數(shù)等于矩陣B的列數(shù),則可進(jìn)行求AB的運(yùn)算.系統(tǒng)中乘法運(yùn)算符為“.”,即用A.B求A與B的乘積,也可以用命令Dot[A,B]實(shí)現(xiàn).對方陣A,可用MatrixPower[A,n]求其n次冪.例1.3設(shè)求矩陣ma與mb的乘積.輸入Clear[ma,mb];ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}};mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}};ma.mb//MatrixForm輸出為矩陣的乘法運(yùn)算例1.4設(shè)求AB與并求輸入Clear[A,B];A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}};B={1,0,1};A.B輸出為{11,3,5}這是列向量B右乘矩陣A的結(jié)果.如果輸入B.A輸出為{4,5,12}這是行向量B左乘矩陣A的結(jié)果這里不需要先求B的轉(zhuǎn)置.求方陣A的三次方,輸入MatrixPower[A,3]//MatrixForm輸出為例1.5(教材例1.1)設(shè)求及輸入A={{1,1,1},{1,1,1},{1,2,3}}MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{1,2,4}}MatrixForm[B]3A.B2A//MatrixFormTranspose[A].B//MatrixForm則輸出及的運(yùn)算結(jié)果分別為求方陣的逆例1.6(教材例1.2)設(shè)求輸入Clear[ma]ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}};Inverse[ma]//MatrixForm則輸出注:如果輸入Inverse[ma//MatrixForm]則得不到所要的結(jié)果,即求矩陣的逆時(shí)必須輸入矩陣的數(shù)表形式例1.7求矩陣的逆矩陣.解A={{7,12,8,24},{5,34,6,-8},{32,4,30,24},{-26,9,27,0}}MatrixForm[A]Inverse[A]//MatrixForm例1.8設(shè)求輸入Clear[A,B];A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}};B={{0,3,2},{7,1,3},{1,3,3},{1,2,2}};Inverse[ma].B//MatrixForm輸出為對于線性方程組如果A是可逆矩陣,X,b是列向量,則其解向量為例1.9解方程組輸入Clear[A,b];A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}};b={7,6,-2};Inverse[A].b輸出為{1,1,2}求方陣的行列式例1.10求行列式輸入Clear[A];A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}};Det[A]輸出為40例1.11(教材例1.3)求輸入Clear[A,a,b,c,d];A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1},{c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1/d,1}};Det[A]//Simplify則輸出例1.12計(jì)算范德蒙行列式輸入Clear[x];Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]//MatrixForm輸出為再輸入Det[van]則輸出結(jié)果比較復(fù)雜(項(xiàng)很多)若改為輸入Det[van]//Simplify或Factor[Det[van]]則有輸出(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4])(x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5])(x[3]-x[5])(x[4]-x[5])例1.13(教材例1.4)設(shè)矩陣求輸入A={{3,7,2,6,4},{7,9,4,2,0},{11,5,6,9,3},{2,7,8,3,7},{5,7,9,0,6}}MatrixForm[A]Det[A]Tr[A]MatrixPower[A,3]//MatrixForm則輸出分別為115923向量的內(nèi)積向量內(nèi)積的運(yùn)算仍用“.”表示,也可以用命令Dot實(shí)現(xiàn)例1.14求向量與的內(nèi)積.輸入u={1,2,3};v={1,-1,0};u.v輸出為-1或者輸入Dot[u,v]所得結(jié)果相同.實(shí)驗(yàn)習(xí)題1.設(shè)求及2.設(shè)求一般地(k是正整數(shù)).3.求的逆.4.設(shè)且求5.利用逆矩陣解線性方程組第三章矩陣的初等變換與線性方程組知識點(diǎn)：矩陣的初等變換、矩陣的秩初等矩陣線性方程組的解學(xué)習(xí)目標(biāo):1.掌握矩陣的初等變換.2.理解矩陣秩的概念及求法.3.理解齊次線性方程組有非零解的充要條件，理解非齊次線性方程組有解的充要條件.4.掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法.一、填空題1.設(shè)矩陣，且，為的一個(gè)階子式，則__0___.2.設(shè)3階方陣的秩為2，矩陣，，若矩陣，則.3.已知，且其秩為2，則___3___4.設(shè)，且非齊次方程組有唯一解向量，則增廣矩陣的秩___n____.5.已知的逆矩陣，那么方程組的解二、選擇題1.已知有一個(gè)階子式不等于零，則(DA.B.C.D.2.設(shè)為34矩陣，若矩陣的秩為2，則矩陣的秩等于（B）A．1B．2C．3D．43.設(shè)是階陣，且，則由(A可得出.A.B.C.D.為任意階矩陣4．若方程組有非零解，則方程組必（B）A.有唯一解B.不是唯一解C.有無窮多解D.無無窮多解5．線性方程組只有零解，則（B）A.有唯一解B.可能無解C.有無窮多解D.無解6.設(shè)線性方程組有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組（C）A．無解B．有非零解C．只有零解D．解不能確定7．非齊次線性方程有無窮多解的充要條件是（D）A．B．C．D．8.設(shè)線性方程組中，若，，則該線性方程組（B）A．有唯一解B．無解C．有非零解D．有無窮多解9.設(shè)矩陣的秩為2，則（B）A.2B.1C.0D.-110.設(shè)均為3階矩陣，若可逆，，那么（C）A．0B．1C．2D．311.設(shè)3階方陣A的秩為2，則與A等價(jià)的矩陣為（B）A．B．C．D．三、將下列矩陣化成最簡形矩陣：1.2.（練習(xí)）四、設(shè)，且，求。解：所以五、試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q求方陣的逆矩陣。解：~~~~故逆矩陣為六、設(shè)求X使AXB解因?yàn)樗云?、求矩陣的秩并求一個(gè)最高階非零子式解(下一步r1r2r22r1r37r1~(下一步r33r2~矩陣的秩是2是一個(gè)最高階非零子式八、取什么值時(shí)，線性方程組有解？有解時(shí)，何時(shí)有唯一解？何時(shí)有無窮個(gè)解？解：當(dāng)時(shí)，=，有唯一解；當(dāng)時(shí)，，無解；當(dāng)時(shí)，，有無窮多個(gè)解；當(dāng)時(shí)，，無解.第一章

矩陣與線性方程組1-1矩陣的意義定義：數(shù)學(xué)上，一個(gè)m×n矩陣乃一m列n行的矩形陣列。矩陣由數(shù)組成，或更一般的，由某環(huán)中元素組成?！纠恳韵率且粋€(gè)4×3矩陣：某矩陣A的第i列第j行，或i,j位，通常記為A[i,j]或Ai,j。在上述例子中A[2,3]=7。

1-2矩陣之基本運(yùn)算定義：矩陣相加減

【例】

及

【解】

定義：矩陣相乘矩陣及，，為一個(gè)階數(shù)等於之矩陣，且

【例】

，

，

若與，則

定義：轉(zhuǎn)置矩陣MT中第i行第j列的元素即為原矩陣M中之第i列第j行的元素【例】，使得。1-3逆方陣定義：若，，使得時(shí)，則稱B為A的逆方陣或反方陣。此時(shí)，A稱為可逆方陣或非奇異方陣，通常以表示A的逆方陣。反之，若不存在B，則稱A為奇異方陣?！纠俊窘狻?-4線性方程組的解法定義：1、若n>m，則n個(gè)未知數(shù)及m個(gè)線性方程式的齊次方程組有一組非必然解。2、若A為n階方陣，，則齊次方程組AX=0，有一組非必然解的充要條件是A

為奇異方陣。3、若，則下列的敘述為同義。(1)A為可逆方陣。(2)AX=0僅有必然解。(3)A是列同義於。4、令A(yù)X=B為具有n個(gè)變數(shù)及n個(gè)一次方程式的方程組。若存在，則此方程組之解為唯一，且?！纠俊窘狻康诙孪蛄靠臻g與線性變換2-1三維空間中向量之性質(zhì)定義：單位向量就是長度為1的向量。單位向量的符號通常有個(gè)「帽子」，如：?。一個(gè)非零向量u的正規(guī)化向量?就是平行於u的單位向量：定義：空間中向量之性質(zhì)若u，v及w為空間中的向量，而為實(shí)數(shù)，則下列性質(zhì)成立(1)u+v=v+u(2)(u+v)+w=

u+(v+w)(3)u+0=0+u=u，0為零向量(4)存在-u使得u+(-u)=(-u)+u=0(5)(6)(7)(8)1u=u2-2三維空間中向量的內(nèi)積定義：兩向量A和B的內(nèi)積寫成A×B，讀作"AdotB"，定義為A和B兩向量的大小與其夾角的餘弦函數(shù)的乘積，如下圖所示，其方程式之形式為A×B=ABcosq

其中0°￡q￡180°。向量內(nèi)積的結(jié)果為一純量，故也常稱之為向量的純量積。運(yùn)算法則1.交換律：A×B=B×A2.與一純量相乘：a(A×B)=(aA)×B=A×(aB)=(A×B)a3.分配律：A×(B+D)=(A×B)+(A×D)【例】【解】2-3向量空間與子空間定義：向量空間給出域F，一個(gè)向量空間是個(gè)集合V加上兩個(gè)運(yùn)算：向量加法：V×V→V記作v+w,?v,w∈V，標(biāo)量乘法：F×V→V記作av,?a∈F及v∈V。都符合下列公理(?a,b∈F及u,v,w∈V)：向量加法符合結(jié)合律：u+(v+w)=(u+v)+w.向量加法符合交換律:v+w=w+v.向量加法有單位元:V裡有一個(gè)叫做零向量的0，?v∈V,v+0=v.向量加法有逆元素:?v∈V,?w∈V,導(dǎo)致v+w=0.標(biāo)量乘法分配於向量加法上:a(v+w)=av+aw.標(biāo)量乘法分配於域加法上:(a+b)v=av+bv.標(biāo)量乘法一致於純量的域乘法:a(bv)=(ab)v。標(biāo)量乘法有單位元:1v=v,這裡1指示域F的乘法單位元.注意第七個(gè)公理涉及兩種運(yùn)算不稱其為符合結(jié)合律。有些文獻(xiàn)包括兩個(gè)閉包公理：V閉合在向量加法下：v+w∈V.V閉合在標(biāo)量乘法下:av∈V.簡而言之，向量空間是一個(gè)F-模。V的成員叫作向量而F的成員叫作標(biāo)量若F是實(shí)數(shù)域R，V稱為實(shí)數(shù)向量空間.若F是複數(shù)域C，V稱為複數(shù)向量空間.若F是有限域，V稱為有限域向量空間對一般域F，V稱為F-向量空間

定義：子空間一個(gè)向量空間V的一個(gè)非空子集合W在加法及標(biāo)量乘法中表現(xiàn)密閉性，被稱為V的線性子空間。給出一個(gè)向量集合B，載著它的最小子空間，稱為它的擴(kuò)張，紀(jì)作span(B)。姶出一個(gè)向量集合B，若它的擴(kuò)張就是向量空間V，稱B為V的生成集。一個(gè)向量空間V最大的線性獨(dú)立子集，稱為這個(gè)空間的基。若V=0，唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V最小的生成集。向量空間的所有基擁有相同基數(shù)，稱為該空間的維度。例如,實(shí)數(shù)向量空間：R0,R1,R2,R3,…,R∞,…中，Rn的維度就是n?？臻g內(nèi)的每個(gè)向量都有唯一的方法表達(dá)成基中元素的線性組合。把基中元素排列，向量便可以座標(biāo)系統(tǒng)來呈現(xiàn)。2-4線性獨(dú)立與基底定義：線性獨(dú)立

函數(shù)集合{u1(x),u2(x),…un(x)}在x屬於[a,b]中為線性相依，若且存在一組非全為零的實(shí)常數(shù)(純量)c1,c2,…cn使得c1u1(x)+c2u2(x)+…cnun(x)=0x屬於[a,b]若函數(shù)集合{u1(x),u2(x),…un(x)}在x屬於[a,b]中不為線性相依的集合,則為線性獨(dú)立的集合【例】所示的區(qū)間內(nèi)線性相依或線性獨(dú)立?

x+1;x-1(0<x<1)

【解】

利用wronkian解

x+1微分為1

x-1為分為1

1*(x+1)-1*(x-1)取絕對值為2=/=0

故x+1;x-1在(0<x<1)為線性獨(dú)立

定義：基底若V為一向量空間，為V中一組向量，

若

(1)是線性獨(dú)立，且

(2)

則稱為V的一組基底(basis)。所以要判斷一組向量能否為V的一組基底，第一就是要檢驗(yàn)它們是否線性獨(dú)立，然後還必須檢驗(yàn)它們所衍生出來的空間是否為V，也就是V中的每一個(gè)向量都可以表示成它們的線性組合?！纠咳绻鸘是V的一個(gè)子空間，若為U中一組向量而且滿足下面二個(gè)條件(1)是線性獨(dú)立，且(2)則也是U的一組基底?！窘狻?1)若x(1,1,0)+y(1,0,1)+z(0,1,1)=(0,0,0)，則

解得x=y=z=0，故題中所給的一組向量為線性獨(dú)立。

(2)R3中的任意向量(a,b,c)可否表成(1,1,0)、(1,0,1)及(0,1,1)

之線性組合設(shè)(a,b,c)=x(1,1,0)+y(1,0,1)+z(0,1,1)，如果

(a,b,c)可以表成(1,1,0)、(1,0,1)及(0,1,1)之線性組合，則上

式x,y,z必有解。由解得

因此有解，故

即2-5矩陣的特徵值與特徵向量定義：假設(shè)為一線性算子，在許多的應(yīng)用問題，一個(gè)相當(dāng)重要的問題就是:我們?nèi)绾卧谥星蟮靡幌蛄渴沟门c平行，即，求得一向量與一純量使得若且滿足式，則稱為線性變換的特徵值且稱為對應(yīng)於特徵值的特微向量?！纠苛顬橐痪€性變換，定義為試求的特徵值及對應(yīng)於這些特徵值的特徵向量。【解】令為特徵值，而為對應(yīng)於的特徵向量，可得或……….①因，故聯(lián)立方程組①有非必然解之充要條件為係數(shù)矩陣之行列式值為零。因此，或，得或，故求得的特徵值為或。將代入①中得解上面聯(lián)立方程式可得。因此，對應(yīng)於特徵值的特徵向量為形如，r為任意實(shí)數(shù)。再將代入①中得解上面聯(lián)立方程式可得。因此，對應(yīng)於特徵值的特徵向量為形如，r為任意實(shí)數(shù)。在此例題中，我們不難發(fā)現(xiàn)矩陣恰為線性變換的矩陣表示式。2-6相似矩陣定義：已知二個(gè)階方陣與，若存在一可逆的階方陣使得，我們稱相似於。【例】設(shè)，，;試證相似於。【解】且則。由於，故為可逆方陣:又因?yàn)椋覀兊没?，故證得相似於。2-7二次型定義：每一項(xiàng)變數(shù)皆為平方或二變數(shù)之乘積，一般我們稱之為二次型。例如，一含二變數(shù)及之二次型可表示如下【例】在之條件限制下，求二次型的最大值及最小值，並求產(chǎn)生最大值及最小值時(shí)的與【解】令，則A的特徵方程式為=è特徵向量正規(guī)化得最大值為發(fā)生在，最小值為發(fā)生在第三章最佳化方法3-1高階偏導(dǎo)數(shù)定義：若與在閉區(qū)域IR皆為連續(xù)，則對IR中的每一點(diǎn)，或【例】若，試驗(yàn)證【解】故3-2函數(shù)極值定義：若且則c為f圖形的反曲點(diǎn)。【例】試求圖形之反曲點(diǎn)。【解】

因但故為圖形之反曲點(diǎn)。第四章機(jī)率概論4-1隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、樣本空間與事件定義：一隨機(jī)試驗(yàn)之各種可能結(jié)果的集合，稱為此實(shí)驗(yàn)的樣本空間，通常以S表示。樣本空間內(nèi)的每一元素，亦即每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)?！纠客度队矌?，求其樣本空間及出現(xiàn)二正面的事件?！窘狻竣贅颖究臻g

S=②而出現(xiàn)二正面的事件為E=4-2機(jī)率的定義與基本定理定義：機(jī)率是衡量某一事件可能發(fā)生的程度(機(jī)會大小)，並針對此一不確定事件發(fā)生之可能性賦予一量化的數(shù)值?！纠吭O(shè)S為樣本空間【解】因所以，4-3條件機(jī)率與獨(dú)立事件定義：若A和B為二獨(dú)立事件，則【例】一個(gè)小鎮(zhèn)有一輛消防車和一輛救護(hù)車可供發(fā)生緊急事件使用。需要消防車的時(shí)候其可用機(jī)率為0.98，需救護(hù)車時(shí)其可用機(jī)率是0.92，假設(shè)大樓火災(zāi)裡有一人受傷，試求救護(hù)車和消防車都立即可用的機(jī)率?！窘狻吭O(shè)A與B分別代表消防車和救護(hù)車立即可以用的事件，則4-4貝士定理定義：設(shè)為樣本空間S的一個(gè)分割，B為S中的任意事件，若，則對每一自然數(shù)k，，我們有【例】某人欲從三家租車公司租借車:60%從租車公A，30%從租車公司B，10%從租車公司C。但從租車公司A租借的車有9%需做引擎調(diào)整，從租車公司B租借的車有20%需做調(diào)整，從租車公司C租借的車有6%需做引擎調(diào)整。試問此人租借的車需做引擎調(diào)整的機(jī)率有多少?【解】4-5白努利試驗(yàn)定義：如果在白努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的機(jī)率為，則在n次試驗(yàn)中，事件A恰巧發(fā)生k次的機(jī)率是，其中p+q=1，這個(gè)機(jī)率通常記為b(k，n，p)?！纠磕炒慰荚?，共有選擇題十題，某生決定不唸書，單憑猜測去答問題，他自信對每題的猜測有的把握，問他猜中最少七題的機(jī)率是多少?【解】4-6數(shù)學(xué)期望值定義：設(shè)一實(shí)驗(yàn)的樣本空間為S，為S的一個(gè)分割，若事件發(fā)生，可得元，，則稱為此實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)期望值，簡稱為期望值?！纠繑S一顆公正骰子，出現(xiàn)么點(diǎn)可得300元，出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)可得200元，出現(xiàn)其它各點(diǎn)可得60元，求擲一次骰子所得金額的期望值。【解】擲一顆骰子，出現(xiàn)么點(diǎn)的機(jī)率為，出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的機(jī)率為，出現(xiàn)3點(diǎn)、5點(diǎn)的機(jī)率為，故所求的期望值為元第五章隨機(jī)變數(shù)與機(jī)率分配5-1隨機(jī)變數(shù)、機(jī)率密度函數(shù)、累積分配函數(shù)定義：設(shè)X為離散隨機(jī)變數(shù)，若對每一個(gè)x的可能結(jié)果均滿足則稱為機(jī)率函數(shù)或機(jī)率質(zhì)量函數(shù)，有序數(shù)對的集合為X的機(jī)率分配?！纠苛钸B續(xù)隨機(jī)變數(shù)X的機(jī)率密度函數(shù)為計(jì)算?！窘狻?-2數(shù)學(xué)期望值定義：若a與b均為常數(shù)，則【例】設(shè)隨機(jī)變數(shù)X的機(jī)率密度函數(shù)為求【解】所以，5-3常用離散機(jī)率分配定義：離散均勻分配的平均值為變異數(shù)為【例】從一個(gè)裝有5瓩、40瓩、60瓩，和100瓩各一個(gè)燈泡的盒子中，隨機(jī)選取一燈泡，因而樣本空間中每一元素發(fā)生的機(jī)率均為。所以，均勻分配為?！窘狻?-4常用連續(xù)機(jī)率分配定義：若連續(xù)隨機(jī)變數(shù)X的機(jī)率密度函數(shù)為其中與為參數(shù)，分別代表平均值與標(biāo)準(zhǔn)差，則稱X的分配為常態(tài)分配，簡記為X~N，而X被稱為常態(tài)隨機(jī)變數(shù)?！纠吭O(shè)X～Ｎ，求【解】第六章差分與差分方程6-1差分的意義定義：若為x之函數(shù)，則【例】若，試求?！窘狻?-2階乘函數(shù)定義：若x為任一實(shí)數(shù)，n為一正整數(shù)，則【例】試將多項(xiàng)式以階乘函數(shù)表示之，並求其差分函數(shù)?！窘狻吭O(shè)解A=1，B=1，C=0，D=6故=所以，6.3平移運(yùn)算子定義：設(shè)y為定義於集合A的函數(shù)，h為一定常數(shù)使時(shí)，也成立，則定義函數(shù)Ey如下並稱Ey為函數(shù)y的一階平移函數(shù)。一般我們稱E為平移運(yùn)算子。【例】若求及之值。【解】

6-3不定和分定義：若n為大於-1之整數(shù)時(shí)，則【例】試求之值【解】6-4差分方程式定義：在一個(gè)方程式中，若含有一未知函數(shù)y及其各階次的差分函數(shù)等等，就稱之為差分方程式?！纠吭囎C為一階差分方程式之解，設(shè)求特解。【解】將代入中，得故為差分方程式之解。又因，則得c=1，故特解為6-5一階線性差分方程定義：一階