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文檔簡介

8.5分布列與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用(精講)考點(diǎn)一利用均值做決策【例1】(2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測)某水果店的草莓每盒進(jìn)價(jià)20元,售價(jià)30元,草莓保鮮度為兩天,若兩天之內(nèi)未售出,以每盒10元的價(jià)格全部處理完.店長為了決策每兩天的進(jìn)貨量,統(tǒng)計(jì)了本店過去40天草莓的日銷售量(單位:十盒),獲得如下數(shù)據(jù):日銷售量/十盒78910天數(shù)812164假設(shè)草莓每日銷量相互獨(dú)立,且銷售量的分布規(guī)律保持不變,將頻率視為概率.(1)記每兩天中銷售草莓的總盒數(shù)為X(單位:十盒),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)以兩天內(nèi)銷售草莓獲得利潤較大為決策依據(jù),在每兩天進(jìn)16十盒,17十盒兩種方案中應(yīng)選擇哪種?【一隅三反】1.(2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測)某地區(qū)由于農(nóng)產(chǎn)品出現(xiàn)了滯銷的情況,從而農(nóng)民的收入減少,很多人開始在某直播平臺(tái)銷售農(nóng)產(chǎn)品并取得了不錯(cuò)的銷售量.有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示2022年該地利用網(wǎng)絡(luò)直播形式銷售農(nóng)產(chǎn)品的銷售主播年齡等級(jí)分布如圖1所示,一周內(nèi)使用直播銷售的頻率分布扇形圖如圖2所示,若將銷售主播按照年齡分為“年輕人”(20歲~39歲)和“非年輕人”(19歲及以下或者40歲及以上)兩類,將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“經(jīng)常使用直播銷售用戶”,使用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“不常使用直播銷售用戶”,且“經(jīng)常使用直播銷售用戶”中有是“年輕人”.(1)現(xiàn)對(duì)該地相關(guān)居民進(jìn)行“經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡關(guān)系”的調(diào)查,采用隨機(jī)抽樣的方法,抽取一個(gè)容量為200的樣本,請(qǐng)你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù),完成2×2列聯(lián)表,依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡有關(guān)?使用直播銷售情況與年齡列聯(lián)表年輕人非年輕人合計(jì)經(jīng)常使用直播銷售用戶不常使用直播銷售用戶合計(jì)(2)某投資公司在2023年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“銷售該地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品”的項(xiàng)目上,現(xiàn)有兩種銷售方案供選擇:方案一:線下銷售、根據(jù)市場調(diào)研,利用傳統(tǒng)的線下銷售,到年底可能獲利30%,可能虧損15%,也可能不是不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為,,;方案二:線上直播銷售,根據(jù)市場調(diào)研,利用線上直播銷售,到年底可能獲利50%,可能虧損30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為,,.針對(duì)以上兩種銷售方案,請(qǐng)你從期望和方差的角度為投資公司選擇一個(gè)合理的方案,并說明理由.參考數(shù)據(jù):獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表其中,.2.(2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測)新高考數(shù)學(xué)試卷中的多項(xiàng)選擇題,給出的4個(gè)選項(xiàng)中有2個(gè)以上選項(xiàng)是正確的,每一道題考生全部選對(duì)得5分.對(duì)而不全得2分,選項(xiàng)中有錯(cuò)誤得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多選題中有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為,有3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為,沒有4個(gè)選項(xiàng)都正確的(在本問題中認(rèn)為其概率為0).在一次模擬考試中:(1)小明可以確認(rèn)一道多選題的選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的,從其余的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個(gè)作為答案,若小明該題得5分的概率為,求;(2)小明可以確認(rèn)另一道多選題的選項(xiàng)A是正確的,其余的選項(xiàng)只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案:①只選A不再選擇其他答案;②從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇1個(gè),共選2個(gè);③從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇2個(gè),共選3個(gè).若,以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),小明應(yīng)該選擇哪個(gè)方案?考點(diǎn)二概率與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合【例2】(2023·海南·海南中學(xué)??寄M預(yù)測)根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn),一個(gè)家庭有個(gè)孩子的概率模型為:1230(其中)每個(gè)孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為,且相互獨(dú)立,事件表示一個(gè)家庭有個(gè)孩子,事件B表示一個(gè)家庭的男孩比女孩多(若一個(gè)家庭恰有一個(gè)男孩,則該家庭男孩多).(1)若,求,并根據(jù)全概率公式求;(2)是否存在值,使得,請(qǐng)說明理由.【一隅三反】1.(2023·湖北武漢·華中師大一附中??寄M預(yù)測)2021年春節(jié)前,受疫情影響,各地鼓勵(lì)外來務(wù)工人員選擇就地過年.某市統(tǒng)計(jì)了該市4個(gè)地區(qū)的外來務(wù)工人數(shù)與就地過年人數(shù)(單位:萬),得到如下表格:區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)外來務(wù)工人數(shù)萬3456就地過年人數(shù)萬34(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明與之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合,并求關(guān)于的線性回歸方程和A區(qū)的殘差(2)假設(shè)該市政府對(duì)外來務(wù)工人員中選擇就地過年的每人發(fā)放1000元補(bǔ)貼.①若該市區(qū)有2萬名外來務(wù)工人員,根據(jù)(1)的結(jié)論估計(jì)該市政府需要給區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額;②若區(qū)的外來務(wù)工人員中甲、乙選擇就地過年的概率分別為,其中,該市政府對(duì)甲、乙兩人的補(bǔ)貼總金額的期望不超過1400元,求的取值范圍.參考公式:相關(guān)系數(shù),回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.2.(2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測)“英才計(jì)劃”最早開始于2013年,由中國科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施,到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生,為選拔培養(yǎng)對(duì)象,某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營活動(dòng).(1)若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來自同一中學(xué),從這12名學(xué)員中選取3人,表示選取的人中來自該中學(xué)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)在夏令營開幕式的晚會(huì)上,物理組舉行了一次學(xué)科知識(shí)競答活動(dòng).規(guī)則如下:兩人一組,每一輪競答中,每人分別答兩題,若小組答對(duì)題數(shù)不小于3,則取得本輪勝利,假設(shè)每輪答題結(jié)果互不影響.已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組,甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為,,且,如果甲、乙兩位同學(xué)想在此次答題活動(dòng)中取得6輪勝利,那么理論上至少要參加多少輪競賽?3.(2023·福建福州·福州四中??寄M預(yù)測)已知甲同學(xué)計(jì)劃從某天開始的連續(xù)四天內(nèi),每天從座位充足的兩間教室中選擇一間用于自習(xí).若其每天的選擇均相互獨(dú)立,且任意一天選擇教室的概率為,任意連續(xù)兩天選擇相同教室的概率為.(1)求的取值范圍;(2)若,記甲在該四天內(nèi)連續(xù)選擇相同教室自習(xí)的天數(shù)最大值為隨機(jī)變量(若甲任意連續(xù)兩天都不在相同教室自習(xí),則),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)三概率與數(shù)列的結(jié)合【例31】(2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校??级#┘??乙勝的概率為0.2.(1)第一局比賽后,甲的籌碼個(gè)數(shù)記為,求的分布列和期望;(2)求四局比賽后,比賽結(jié)束的概率;(3)若表示“在甲所得籌碼為枚時(shí),最終甲獲勝的概率”,則.證明:為等比數(shù)列.【例32】(2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測)某科研單位研制出某型號(hào)科考飛艇,一艘該型號(hào)飛艇最多只能執(zhí)行次科考任務(wù),一艘該型號(hào)飛艇第1次執(zhí)行科考任務(wù),能成功返航的概率為,若第次執(zhí)行科考任務(wù)能成功返航,則執(zhí)行第次科考任務(wù)且能成功返航的概率也為,否則此飛艇結(jié)束科考任務(wù).一艘該型號(hào)飛艇每次執(zhí)行科考任務(wù),若能成功返航,則可獲得價(jià)值為萬元的科考數(shù)據(jù),且“”的概率為0.8,“萬元.(1)若,,求的分布列;(2)求(用和表示).【一隅三反】1.(2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)??既#┘?、乙兩人組團(tuán)參加答題挑戰(zhàn)賽,規(guī)定:每一輪甲、乙各答一道題,若兩人都答對(duì),該團(tuán)隊(duì)得1分;只有一人答對(duì),該團(tuán)隊(duì)得0分;兩人都答錯(cuò),該團(tuán)隊(duì)得-1分.假設(shè)甲、乙兩人答對(duì)任何一道題的概率分別為,.(1)記X表示該團(tuán)隊(duì)一輪答題的得分,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)假設(shè)該團(tuán)隊(duì)連續(xù)答題n輪,各輪答題相互獨(dú)立.記表示“沒有出現(xiàn)連續(xù)三輪每輪得1分”的概率,,求a,b,c;并證明:答題輪數(shù)越多(輪數(shù)不少于3),出現(xiàn)“連續(xù)三輪每輪得1分”的概率越大.2.(2023·安徽滁州·??寄M預(yù)測)國學(xué)小組有編號(hào)為1,2,3,…,的位同學(xué),現(xiàn)在有兩個(gè)選擇題,每人答對(duì)第一題的概率為、答對(duì)第二題的概率為,每個(gè)同學(xué)的答題過程都是相互獨(dú)立的,比賽規(guī)則如下:①按編號(hào)由小到大的順序依次進(jìn)行,第1號(hào)同學(xué)開始第1輪出賽,先答第一題;②若第號(hào)同學(xué)未答對(duì)第一題,則第輪比賽失敗,由第號(hào)同學(xué)繼繼續(xù)比賽;③若第號(hào)同學(xué)答對(duì)第一題,則再答第二題,若該生答對(duì)第二題,則比賽在第輪結(jié)束;若該生未答對(duì)第二題,則第輪比賽失敗,由第號(hào)同學(xué)繼續(xù)答第二題,且以后比賽的同學(xué)不答第一題;④若比賽進(jìn)行到了第輪,則不管第號(hào)同學(xué)答題情況,比賽結(jié)束.(1)令隨機(jī)變量表示名同學(xué)在第輪比賽結(jié)束,當(dāng)時(shí),求隨機(jī)變量的分布列;(2)若把比賽規(guī)則③改為:若第號(hào)同學(xué)未答對(duì)第二題,則第輪比賽失敗,第號(hào)同學(xué)重新從第一題開始作答.令隨機(jī)變量表示名挑戰(zhàn)者在第輪比賽結(jié)束.①求隨機(jī)變量的分布列;②證明:單調(diào)遞增,且小于3.3.(2023·湖南長沙·湖南師大附中??家荒#┑?2屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦.在決賽中,阿根廷隊(duì)通過點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國隊(duì)獲得冠軍.(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大,假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向射門,門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球,而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球.不考慮其它因素,在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中,求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望;(2)好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練,甲?乙?丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中,球從甲腳下開始,等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人,接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人,如此不停地傳下去,假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為pn,易知.①試證明:為等比數(shù)列;②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn,比較p10與q10的大?。键c(diǎn)四概率證明【例4】(2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測)某校有一個(gè)露天的籃球場和一個(gè)室內(nèi)乒乓球館為學(xué)生提供鍛煉場所,甲、乙兩位學(xué)生每天上下午都各花半小時(shí)進(jìn)行體育鍛煉,近50天天氣不下雨的情況下,選擇體育鍛煉情況統(tǒng)計(jì)如下:上下午體育鍛煉項(xiàng)目的情況(上午,下午)(籃球,籃球)(籃球,乒乓球)(乒乓球,籃球)(乒乓球,乒乓球)甲20天15天5天10天乙10天10天5天25天假設(shè)甲、乙選擇上下午鍛煉的項(xiàng)目相互獨(dú)立,用頻率估計(jì)概率.(1)分別估計(jì)一天中甲上午和下午都選擇籃球的概率,以及甲上午選擇籃球的條件下,下午仍舊選擇籃球的概率;(2)記為甲、乙在一天中選擇體育鍛煉項(xiàng)目的個(gè)數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)假設(shè)A表示事件“室外溫度低于10度”,表示事件“某學(xué)生去打乒乓球”,,一般來說在室外溫度低于10度的情況下學(xué)生去打乒乓球的概率會(huì)比室外溫度不低于10度的情況下去打乒乓球的概率要大,證明:.【一隅三反】1.(2023·湖南益陽·安化縣第二中學(xué)??既#?022年北京冬奧會(huì)圓滿落幕,隨后多所學(xué)校掀起了“雪上運(yùn)動(dòng)”的熱潮.為了解學(xué)生對(duì)“雪上運(yùn)動(dòng)”的喜愛程度,某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,得到以下信息:①抽取的學(xué)生中,男生占的比例為60%;②抽取的學(xué)生中,不喜歡雪上運(yùn)動(dòng)的學(xué)生占的比例為45%.③抽取的學(xué)生中,喜歡雪上運(yùn)動(dòng)的男生比喜歡雪上運(yùn)動(dòng)的女生多50人.(1)完成2×2列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為是否喜歡雪上運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)?喜歡雪上運(yùn)動(dòng)不喜歡雪上運(yùn)動(dòng)合計(jì)男生女生合計(jì)(2)(i)從隨機(jī)抽取的這200名學(xué)生中采用分層抽樣的方法抽取20人,再從這20人中隨機(jī)抽取3人.記事件A=“至少有2名是男生”,事件B=“至少有2名喜歡雪上運(yùn)動(dòng)的男生”,事件C=“至多有1名喜歡雪上運(yùn)運(yùn)的女生”.試分別計(jì)算和的值.(ii)根據(jù)第(i)問中的結(jié)果,分析與的大小關(guān)系.參考公式及數(shù)據(jù),.2.(2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中??寄M預(yù)測)2022年11月20日,卡塔爾足球世界杯正式開幕,世界杯上的中國元素隨處可見.從體育場建設(shè)到電力保障,從賽場內(nèi)的裁判到賽場外的吉祥物都是中國制造,為卡塔爾世界杯提供了強(qiáng)有力的支持.國內(nèi)也再次掀起足球熱

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