兩條直線的交點(diǎn)同步練習(xí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）選擇性必修第一冊

.4兩條直線的交點(diǎn)小練習(xí)一、單項(xiàng)選擇題1.若直線2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交點(diǎn)在y軸上，則k的值是()A.－24 B.6 C.±6 D.242.若直線ax＋by－11＝0與3x＋4y－2＝0平行，并且經(jīng)過直線2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交點(diǎn)，則a，b的值分別為()A.－3，－4 B.3，4 C.4，3 D.－4，－33.經(jīng)過直線2x－y＋4＝0與x－y＋5＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線x－2y＝0的直線方程是()A.2x＋y－8＝0 B.2x－y－8＝0 C.2x＋y＋8＝0 D.2x－y＋8＝04.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，C(0，－3)，則△ABC歐拉線的方程為()A.x＋2y－3＝0 B.2x＋y－3＝0 C.x－2y－3＝0 D.2x－y－3＝0二、多項(xiàng)選擇題5.平面上三條直線x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0.若這三條直線將平面分為六部分，則實(shí)數(shù)k的值可以是()A.0 B.2 C.－1 D.－26.已知直線l1：x－y－1＝0，動(dòng)直線l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，則下列結(jié)論中正確的是()A.存在k，使得l2的傾斜角為90° B.對任意的k，l1與l2都有公共點(diǎn)C.對任意的k，l1與l2都不重合 D.對任意的k，l1與l2都不垂直三、填空題7.直線l1：3x－y＋12＝0和l2：3x＋2y－6＝0及y軸所圍成的三角形的面積為________．8.已知直線l1的方程為：x＋ay－2＝0，直線l2的方程為：2x－y＋1＝0，若l1⊥l2，則直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為________．四、解答題9.已知直線l1的方程為x＋2y－4＝0，若l2在x軸上的截距為eq\f(1,2)，且l1⊥l2.(1)求直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知直線l3經(jīng)過l1與l2的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l3的方程．10.已知直線l：(4λ＋1)x－(λ＋1)y＋3＝0.(1)求證：直線l過定點(diǎn)；(2)若直線l被兩平行直線l1：x－2y＋2＝0與l2：x－2y－6＝0所截得的線段AB的中點(diǎn)恰好在直線2x＋y＋6＝0上，求λ的值．參考答案一、單項(xiàng)選擇題1.若直線2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交點(diǎn)在y軸上，則k的值是()A.－24 B.6 C.±6 D.24【解析】因?yàn)閮蓷l直線2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)交點(diǎn)為(0，b)，所以，消去b，可得k＝±6.故選C.2.若直線ax＋by－11＝0與3x＋4y－2＝0平行，并且經(jīng)過直線2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交點(diǎn)，則a，b的值分別為()A.－3，－4 B.3，4 C.4，3 D.－4，－3【解析】由得，由題意得解得.故選B.3.經(jīng)過直線2x－y＋4＝0與x－y＋5＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線x－2y＝0的直線方程是()A.2x＋y－8＝0 B.2x－y－8＝0 C.2x＋y＋8＝0 D.2x－y＋8＝0【解析】聯(lián)立解得，所以直線2x－y＋4＝0與x－y＋5＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，6)．又因?yàn)樗笾本€垂直于直線x－2y＝0，所以所求直線的斜率為－2，所以所求直線的方程為y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.故選A.4.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，C(0，－3)，則△ABC歐拉線的方程為()A.x＋2y－3＝0 B.2x＋y－3＝0 C.x－2y－3＝0 D.2x－y－3＝0【解析】由題可得△ABC的重心為G(eq\f(4,3)，－eq\f(1,3))，直線AB的斜率為eq\f(0－2,4－0)＝－eq\f(1,2)，所以AB邊上的高的斜率為2，則AB邊上的高的方程為y＋3＝2(x－0)，即2x－y－3＝0.直線AC的斜率為eq\f(0＋3,4－0)＝eq\f(3,4)，所以AC邊上的高的斜率為－eq\f(4,3)，則AC邊上的高的方程為y－2＝－eq\f(4,3)(x－0)，即4x＋3y－6＝0，聯(lián)立，得垂心坐標(biāo)為H，則直線GH的斜率為eq\f(－\f(1,3)－0,\f(4,3)－\f(3,2))＝2，則直線GH的方程為y－0＝2，所以△ABC歐拉線的方程為2x－y－3＝0.故選D.二、多項(xiàng)選擇題5.平面上三條直線x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0.若這三條直線將平面分為六部分，則實(shí)數(shù)k的值可以是()A.0 B.2 C.－1 D.－2【解析】因?yàn)槠矫嫔先龡l直線x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0將平面分為六部分，所以三條直線相交于一點(diǎn)，或其中兩條平行．①因?yàn)橹本€x－2y＋1＝0和直線x－1＝0的交點(diǎn)是(1，1)，直線x＋ky＝0過另兩條直線的交點(diǎn)，所以k＝－1；②若直線x＋ky＝0與直線x－1＝0平行或與直線x－2y＋1＝0平行，此時(shí)k＝0或k＝－2.綜上，實(shí)數(shù)k的取值集合是{0，－1，－2}．故選ACD.6.已知直線l1：x－y－1＝0，動(dòng)直線l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，則下列結(jié)論中正確的是()A.存在k，使得l2的傾斜角為90° B.對任意的k，l1與l2都有公共點(diǎn)C.對任意的k，l1與l2都不重合 D.對任意的k，l1與l2都不垂直【解析】對于動(dòng)直線l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，當(dāng)k＝0時(shí)，l2：x＝0的斜率不存在，則直線的傾斜角為90°，故A正確；由方程組得(2k＋1)x＝0，對于任意的k，此方程都有解，所以l1與l2都有公共點(diǎn)，故B正確；若直線l1：x－y－1＝0與動(dòng)直線l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)重合，則，解得k＝－eq\f(1,2)，所以當(dāng)k＝－eq\f(1,2)時(shí)，l1與l2重合，故C錯(cuò)誤；由于直線l1：x－y－1＝0的斜率為1，當(dāng)k≠0時(shí)，l2的斜率為，則l1與l2不垂直，當(dāng)k＝0時(shí)，l2：x＝0，顯然l1與l2不垂直，所以對任意的k，l1與l2都不垂直，故D正確．故選ABD.三、填空題7.直線l1：3x－y＋12＝0和l2：3x＋2y－6＝0及y軸所圍成的三角形的面積為________．【解析】由得交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，6)．又兩條直線與y軸的交點(diǎn)分別為(0，12)，(0，3)，所以所求三角形面積為eq\f(1,2)×(12－3)×2＝9.故答案為：98.已知直線l1的方程為：x＋ay－2＝0，直線l2的方程為：2x－y＋1＝0，若l1⊥l2，則直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為________．【解析】因?yàn)閘1⊥l2，所以2－a＝0，解得a＝2，所以直線l1的方程為x＋2y－2＝0，解得所以直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)．故答案為：(0，1).四、解答題9.已知直線l1的方程為x＋2y－4＝0，若l2在x軸上的截距為eq\f(1,2)，且l1⊥l2.(1)求直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知直線l3經(jīng)過l1與l2的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l3的方程．【解析】(1)由直線l1的方程為x＋2y－4＝0，且l1⊥l2，可得直線l2的斜率為.又l2在x軸上的截距為eq\f(1,2)，即過點(diǎn)，所以直線l2的方程為y＝2，即2x－y－1＝0.聯(lián)立解得故交點(diǎn)坐標(biāo)為.(2)當(dāng)直線l3在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時(shí)，即l3過原點(diǎn)，又直線l3過點(diǎn)，所以此時(shí)直線l3的方程為y＝eq\f(7,6)x，即7x－6y＝0；當(dāng)直線l3在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0，即不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l3的方程為(a≠0)．因?yàn)橹本€l3過點(diǎn)，所以，解得a＝eq\f(13,5)，故直線l3的方程為，即5x＋5y－13＝0.綜上所述，直線l3的方程為7x－6y＝0或5x＋5y－13＝0.10.已知直線l：(4λ＋1)x－(λ＋1)y＋3＝0.(1)求證：直線l過定點(diǎn)；(2)若直線l被兩平行直線l1：x－2y＋2＝0與l2：x－2y－6＝0所截得的線段AB的中點(diǎn)恰好在直線2x＋y＋6＝0上，求λ的值．【解析】(1)由(4λ＋1)x－(λ＋1)y＋3＝0，得λ(4x－y)＋x－y＋3