正、余弦定理的應(yīng)用與綜合（第23講）導(dǎo)學(xué)案-教師版

導(dǎo)學(xué)案（內(nèi)部資料，注意保存）高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科（A）導(dǎo)學(xué)案主備班級小組學(xué)生姓名第23講：正、余弦定理的應(yīng)用與綜合1【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：1.進(jìn)一步熟悉余弦定理、正弦定理；2.了解常用的測量相關(guān)術(shù)語；3.能運(yùn)用余弦定理、正弦定理等知識和方法解決有關(guān)角度的實(shí)際問題。【重點(diǎn)難點(diǎn)】：重點(diǎn)：實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問題的解；難點(diǎn)：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖?！緦W(xué)習(xí)流程】◎知識點(diǎn)回顧：測量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線eq\x(\s\up1(01))上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線eq\x(\s\up1(02))下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ◎考點(diǎn)探究考點(diǎn)一測量距離問題一條河流從某城市中穿過，其中一河段的兩岸基本上是平行的，根據(jù)城建工程計(jì)劃，需要測量出該河段的寬度，現(xiàn)在一側(cè)岸邊選取兩點(diǎn)A，B，并測得AB＝a，選取對岸一目標(biāo)點(diǎn)C，并測得∠ABC＝α，∠BAC＝β，則該段河流的寬度為()A．eq\f(asinαsinβ,sinα＋β) B．eq\f(asinαcosβ,sinα＋β)C．eq\f(asinαcosα,sinα＋β) D．eq\f(asin2α,sinα＋β)答案A解析在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sinπ－∠ABC－∠BAC)，所以AC＝eq\f(asinα,sin[π－α＋β])＝eq\f(asinα,sinα＋β)，如圖所示，過點(diǎn)C向AB作垂線交AB于D，所以該段河流的寬度CD＝ACsin∠BAC＝eq\f(asinαsinβ,sinα＋β).距離問題的類型及解法(1)類型：①兩點(diǎn)間既不可達(dá)也不可視；②兩點(diǎn)間可視但不可達(dá)；③兩點(diǎn)都不可達(dá)．(2)解法：選擇合適的輔助測量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解．考點(diǎn)二測量高度問題(1)(2023·黑龍江哈師大附中模擬)如圖，從高為h的氣球(A)上測量待建規(guī)劃鐵橋(BC)的長，如果測得橋頭(B)的俯角是α，橋頭(C)的俯角是β，則橋BC的長為()A．eq\f(sinα－β,sinαsinβ)h B．eq\f(cosα－β,sinαsinβ)hC．eq\f(sinα－β,cosαcosβ)h D．eq\f(cosα－β,cosαcosβ)h答案A解析如圖所示，由題意，得∠ACD＝β，AD＝h，∠ABD＝α，在Rt△ACD中，tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)，即tanβ＝eq\f(h,CD)，整理，得CD＝eq\f(h,tanβ)，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝eq\f(AD,BD)，即tanα＝eq\f(h,BD)，整理，得BD＝eq\f(h,tanα)，則BC＝CD－BD＝eq\f(h,tanβ)－eq\f(h,tanα)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosβ,sinβ)－\f(cosα,sinα)))h＝eq\f(sinαcosβ－cosαsinβ,sinαsinβ)h＝eq\f(sinα－β,sinαsinβ)h.考點(diǎn)三測量角度問題位于燈塔A處正西方向相距(5eq\r(3)－5)nmile的B處有一艘甲船需要海上救援，位于燈塔A處北偏東45°相距5eq\r(2)nmile的C處的一艘乙船前往營救，則乙船的目標(biāo)方向線(由觀測點(diǎn)看目標(biāo)的視線)的方向是南偏西()A．30° B．60°C．75° D．45°答案B解析依題意，過點(diǎn)C作CD⊥BA的延長線于點(diǎn)D，如圖，則AB＝5eq\r(3)－5，AC＝5eq\r(2)，∠ACD＝45°，在Rt△ADC中，AD＝DC＝5，在Rt△BDC中，BD＝5eq\r(3)，DC＝5，所以tan∠BCD＝eq\f(BD,DC)＝eq\r(3)，又0°＜∠BCD＜90°，所以∠BCD＝60°，則乙船的目標(biāo)方向線(由觀測點(diǎn)看目標(biāo)的視線)的方向是南偏西60°.◎展示提升1、為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個(gè)橋位樁A，B(如圖)，要測量A，B兩點(diǎn)的距離，測量人員在岸邊定出基線BC，測得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為____________．A．20eq\r(2)m B．30eq\r(2)m C．40eq\r(2)m D．50eq\r(2)m【答案】：D【解析】：由正弦定理得，則AB＝50eq\r(2)(m)．2.如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡對于地平面的坡角為θ，則cosθ＝()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\r(6)－2C．eq\r(3)－1 D．eq\r(2)－1答案C解析由題意知，∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，∠ABC＝135°.在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(AC,sin135°)，又AB＝100m，所以AC＝100eq\r(2)m．在△ADC中，∠ADC＝90°＋θ，CD＝50m，由正弦定理，得eq\f(AC,sinθ＋90°)＝eq\f(CD,sin15°)，所以cosθ＝sin(θ＋90°)＝eq\f(ACsin15°,CD)＝eq\r(3)－1.◎達(dá)標(biāo)檢測1．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東5° B．北偏西10°C．南偏東5° D．南偏西10°2．如圖，D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC＝100米，從C，D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)仰角分別是60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB等于()A．50eq\r(3)米 B．100eq\r(3)米C．50米 D．100米3．一艘船上午9：30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30°的方向，且與它相距8eq\r(2)海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測得燈塔S在它的北偏東75°的方向，此船的航速是()A．8(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時(shí)B．8(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時(shí)C．16(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時(shí)D．16(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時(shí)1.【答案】B【解析】由題意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，從而可知燈塔A在燈塔B的北偏西10°.2.【答案】A【解析】因?yàn)椤螪AC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC為等腰三角形，所以AC＝DC＝100米，在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50eq\r(3)米．3.【答案】D【解析】由題意得在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得eq\f(SA,sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，即eq\f(8\r(2),sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，得AB＝8(eq\r(6)－eq\r(2))，因此此船的航速為eq