素養(yǎng)拓展23數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）原卷版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）素養(yǎng)拓展23數(shù)列與數(shù)學(xué)文化（精講+精練）一、知識點(diǎn)梳理一、知識點(diǎn)梳理新課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)一步明確了數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中的地位，數(shù)學(xué)文化作為素養(yǎng)考查的四大內(nèi)涵之一，以數(shù)學(xué)文化為背景的試題將是新高考的考察內(nèi)容，數(shù)列與數(shù)學(xué)文化有著緊密的聯(lián)系，本專輯總結(jié)了數(shù)學(xué)文化在數(shù)列中出現(xiàn)的真題和模擬題。二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

） 【典例2】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【題型訓(xùn)練-刷模擬】一、單選題1．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素?cái)?shù)的一種古老的方法.這種方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下第一個(gè)數(shù)2不動(dòng)，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個(gè)數(shù)3不動(dòng)，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對3后面的一個(gè)數(shù)5作同樣處理；……，依次進(jìn)行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素?cái)?shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20的全部素?cái)?shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為（

）A．130 B．132 C．134 D．1412．（2023·廣東深圳·?？级＃┧未凭茦I(yè)很發(fā)達(dá)，為了存儲方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡便的方法算出堆垛中酒缸的總數(shù)，古代稱之為堆垛術(shù).有這么一道關(guān)于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個(gè)三角垛，底層是每邊為n個(gè)圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個(gè)圓球，頂層為一個(gè)圓球，記自上而下第n層的圓球總數(shù)為，容易發(fā)現(xiàn)：，，，則（

）A．45 B．40 C．35 D．303．（2023·湖南郴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次世界杯，為紀(jì)念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對本網(wǎng)站會員的獎(jiǎng)品派發(fā)活動(dòng)，派發(fā)規(guī)則如下：①對于會員編號能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個(gè)；②對于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個(gè).已知該網(wǎng)站的會員共有1456人（編號為1號到1456號，中間沒有空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（

）A．102 B．103 C．104 D．1054．（2023·全國·模擬預(yù)測）離子是指原子由于自身或外界的作用而失去或得到一個(gè)或幾個(gè)電子后達(dá)到的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，得到電子為陰離子，失去電子為陽離子，在外界作用下陰離子與陽離子之間可以相互轉(zhuǎn)化．科學(xué)家們在試驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)，在特定外界作用下，1個(gè)陰離子可以轉(zhuǎn)化為1個(gè)陽離子和1個(gè)陰離子，1個(gè)陽離子可以轉(zhuǎn)化為1個(gè)陰離子，如果再次施加同樣的外界作用，又能產(chǎn)生同樣的轉(zhuǎn)化．若一開始有1個(gè)陰離子和1個(gè)陽離子，則在9次該作用下，陰離子的個(gè)數(shù)為（

）A．87 B．89 C．91 D．935．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“勾股樹”，也被稱為畢達(dá)哥拉斯樹，是根據(jù)勾股定理所畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的樹形圖形.如圖所示，以正方形的一邊為直角三角形的斜邊向外作一個(gè)等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為正方形的邊長向外作兩個(gè)正方形，如此繼續(xù)，若共得到127個(gè)正方形，且，則這127個(gè)正方形中，最小的正方形邊長為（

）

A．1 B． C．2 D．6．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見的高階等差數(shù)列、如數(shù)列2，4，7，11，16，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成新數(shù)列2，3，4，5，新數(shù)列2，3，4，5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前七項(xiàng)分別為2，2，3，5，8，12，17．則該數(shù)列的第20項(xiàng)為（

）A．173 B．171 C．155 D．1517．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考三模）為響應(yīng)國家號召，某地出臺了相關(guān)的優(yōu)惠政策鼓勵(lì)“個(gè)體經(jīng)濟(jì)”.個(gè)體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進(jìn)貨，因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求.據(jù)測算：他每月月底獲得的利潤是該月初投入資金的20%，并且每月月底需扣除生活費(fèi)800元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2023年5月底他的年所得收入（扣除當(dāng)月生活費(fèi)且還完貸款）為（

）元（參考數(shù)據(jù)：，）A．35200 B．43200 C．30000 D．320008．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）歐拉是18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一，幾乎每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，例如初等幾何中的歐拉線、多面體中的歐拉定理、微分方程中的歐拉方程，以及數(shù)論中的歐拉函數(shù)等等．個(gè)數(shù)叫互質(zhì)數(shù)）的正整數(shù)（包括1）的個(gè)數(shù)，記作．例如：小于或等于4的正整數(shù)中與4互質(zhì)的正整數(shù)有1，3這兩個(gè)，即．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．9．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃皸钶x三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的第項(xiàng)，則的值為（

）

A．1275 B．1276 C．1270 D．128010．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）北宋大科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個(gè)貨物，第二層比第一層多2個(gè)，第三層比第二層多3個(gè)，以此類推，記第n層貨物的個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．11．（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預(yù)測）等比數(shù)列的歷史由來已久，我國古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)《孫子算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《算法統(tǒng)宗》中都有相關(guān)問題的記載．現(xiàn)在我們不僅可以通過代數(shù)計(jì)算來研究等比數(shù)列，還可以構(gòu)造出等比數(shù)列的圖象，從圖形的角度更為直觀的認(rèn)識它．以前n項(xiàng)和為，且，的等比數(shù)列為例，先畫出直線OQ：，并確定x軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作y軸的平行線，交直線OQ于點(diǎn)，則．再過點(diǎn)作平行于x軸，長度等于的線段，……，不斷重復(fù)上述步驟，可以得到點(diǎn)列，和．下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A． B．C．點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．，，，則（

）

A． B．C． D．13．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）元代數(shù)學(xué)家朱世杰所創(chuàng)立的“招差術(shù)”是我國古代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一項(xiàng)重要成就，曾被科學(xué)家牛頓加以利用，在世界上產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.已知利用“招差術(shù)”得到以下公式：，具體原理如下：，，類比上述方法，的值是（

）A．90 B．210 C．420 D．75614．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）北宋大科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個(gè)貨物，第二層比第一層多2個(gè)，第三層比第二層多3個(gè)，以此類推，記第n層貨物的個(gè)數(shù)為，則使得成立的n的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．615．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）我國古代數(shù)學(xué)家對近似值的確定做出了巨大貢獻(xiàn)，早在東漢初年的數(shù)學(xué)古籍《周髀算經(jīng)》里便記載“徑一周三”，并稱之為“古率”，即“直徑為1的圓，周長為3”，之后三國時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽證明了圓內(nèi)接正六邊形的周長是圓直徑的三倍，說明“徑一周三”實(shí)際上是圓的內(nèi)接正六邊形的周長與圓直徑的比值，而不是圓周率．若將圓內(nèi)接正n邊形的周長與其外接圓的直徑之比記為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．存在，當(dāng)時(shí)，D．存在，使得二、填空題16．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┲袊糯鷶?shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則此人在第六天行走的路程是里（用數(shù)字作答）.17．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題，“今有金箠，長五尺．?dāng)乇疽怀?，重四斤．?dāng)啬┮怀撸囟铮畣柎我怀吒髦貛缀?？”意思是“現(xiàn)有一根金杖，長五尺，一頭粗，一頭細(xì)．在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，估計(jì)此金杖總重量約為斤．18．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測）幻方又稱為魔方，方陣或廳平方，最早記載于中國公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中，宋代數(shù)學(xué)家楊輝稱之為縱橫圖.如圖所示，將1，2，3，…，9填入的方格內(nèi)，使三行?三列?兩對角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15，便得到一個(gè)3階幻方；一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，填入的方格內(nèi)，使得每行?每列?每條對角線上的數(shù)字的和相等，這個(gè)正方形就叫做階幻方的一條對角線上的數(shù)字之和為（如：），則.49235781619．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┨拼蒲缟系闹d游戲“擊鼓傳花”，也稱傳彩球．游戲規(guī)則為：鼓響時(shí)，眾人開始依次傳花，至鼓停為止，此時(shí)花在誰手中，誰就上臺表演節(jié)目．甲、乙、丙三人玩擊鼓傳花，鼓響時(shí)，第1次由甲將花傳出，每次傳花時(shí)，傳花者都等可能地將花傳給另外兩人中的任何一人，經(jīng)過6次傳遞后，花又在甲手中的概率為．20．（2023·全國·模擬預(yù)測）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用．斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第項(xiàng)．21．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)王子高斯在小時(shí)候計(jì)算時(shí)，他是這樣計(jì)算的：圖象關(guān)于對稱，，則.22．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）歐拉是瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一，在許多數(shù)學(xué)的分支中經(jīng)?？梢砸姷揭运拿置闹匾瘮?shù)、公式和定理．如著名的歐拉函數(shù)：對于正整數(shù)n，表示小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，如，．那么，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．23．（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個(gè)人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個(gè)問題中，以一個(gè)月31天計(jì)算，記此人第n日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若關(guān)于n的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為．三、解答題24．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）雪花是一種美麗的結(jié)晶體，放大任意一片雪花的局部，會發(fā)現(xiàn)雪花的局部和整體的形狀竟是相似的，如圖是瑞典科學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，其作法如下：將圖①中正三角形的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為一邊向形外作正三角形，再去掉底邊，得到圖②；將圖②的每條邊三等分，重復(fù)上述的作圖方法，得到圖③；……按上述方法，所得到的曲線稱為科赫雪花曲線（Kochsnowflake）．現(xiàn)將圖①、圖②、圖③、…中的圖形依次記為、、…、、…．小明為了研究圖形的面積，把圖形的面積記為，假設(shè)a1＝1，并作了如下探究：P1P2P3P4…Pn邊數(shù)31248192…從P2起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)31248…從P2起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積…根據(jù)小明的假設(shè)與思路，解答下列問題．(