控制系統的傳遞函數課件

第二節(jié)控制系統的傳遞函數9/19/20231第二節(jié)控制系統的傳遞函數8/6/20231傳遞函數的基本概念

傳遞函數是經典控制理論中最重要的數學模型之一。利用傳遞函數，在系統的分析和綜合中可解決如下問題：不必求解微分方程就可以研究初始條件為零的系統在輸入信號作用下的動態(tài)過程?？梢匝芯肯到y參數變化或結構變化對系統動態(tài)過程的影響，因而使分析系統的問題大為簡化?？梢园褜ο到y性能的要求轉化為對系統傳遞函數的要求，使綜合問題易于實現。9/19/20232傳遞函數的基本概念傳遞函數是經典控制理論中最重要的數系統或環(huán)節(jié)的微分方程為：式中：x（t）—輸入，y（t）—輸出為常系數一、傳遞函數的基本概念將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）稱為系統或環(huán)節(jié)的傳遞函數，即：環(huán)節(jié)的傳遞函數是它的微分方程在零初始條件下輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換之比。也可寫成：Y(s)=G(s)X(s)。通過拉氏反變換可求出時域表達式y(t)。傳遞函數的基本概念9/19/20233系統或環(huán)節(jié)的微分方程為：一、傳遞函數的基本概念將上式求拉氏變傳遞函數的基本概念[總結]:傳遞函數是由線性微分方程（線性系統）當初始值為零時進行拉氏變化得到的。已知傳遞函數G(s)和輸入函數X(s)，可得出輸出Y(s)。通過反變換可求出時域表達式y(t)。可以由環(huán)節(jié)的微分方程直接得出傳遞函數，只要將各階導數用各階s代替即可。即：9/19/20234傳遞函數的基本概念[總結]:已知傳遞函數G(s)和輸入傳遞函數的基本概念||例2-8運放Ⅰ：運放Ⅱ：功放：[例2-8]求速度控制系統的傳遞函數。[解]各環(huán)節(jié)的微分方程和傳遞函數分別為：直流電動機：9/19/20235傳遞函數的基本概念||例2-8運放Ⅰ：運放Ⅱ：功放：[例2-傳遞函數的基本概念||例2-8上式有兩個輸入量，而傳遞函數只能處理單輸入-單輸出系統。對于線性系統，可以將多個輸入分別獨立處理，然后疊加起來。下面分別討論兩個輸入單獨作用時的傳遞函數。令，得轉速對電樞電壓的傳遞函數：令，得轉速對負載力矩的傳遞函數：最后利用疊加原理得轉速表示為：反饋環(huán)節(jié)：9/19/20236傳遞函數的基本概念||例2-8上式有兩個輸入量求下圖系統的傳遞函數。RLCi方法1：見例2-1求上式的拉氏變換，得：傳遞函數為：傳遞函數的基本概念||例2-8a方法2：復阻抗（電阻、電容和電感）分別為。則：9/19/20237求下圖系統的傳遞函數。RLCi方法1：見例2-1傳遞函數為傳遞函數的基本概念||例2-9[例2-9]求下圖的傳遞函數：B為虛地點，所以所以：9/19/20238傳遞函數的基本概念||例2-9[例2-9]求下圖的傳遞函數傳遞函數的概念適用于線性定常系統，它與線性常系數微分方程一一對應。且與系統的動態(tài)特性一一對應。傳遞函數不能反映系統或元件的學科屬性和物理性質。物理性質和學科類別截然不同的系統可能具有完全相同的傳遞函數。而研究某傳遞函數所得結論可適用于具有這種傳遞函數的各種系統。傳遞函數僅與系統的結構和參數有關，與系統的輸入無關。只反映了輸入和輸出之間的關系，不反映中間變量的關系。傳遞函數的概念主要適用于單輸入單輸出系統。若系統有多個輸入信號，在求傳遞函數時，除了一個有關的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數忽略了初始條件的影響。傳遞函數傳遞函數是s的有理分式，對于大多數實際系統，分母的階次n大于分子的階次m，此時稱為n階系統。傳遞函數的基本概念[關于傳遞函數的幾點說明]9/19/20239傳遞函數的概念適用于線性定常系統，它與線性常系數微分方程一一傳遞函數的表現形式[傳遞函數的幾種表現形式]：表示為有理分式形式：式中：—為實常數，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數，相應的系統為n階系統。表示成零點、極點形式：式中：稱為傳遞函數的零點，稱為傳遞函數的極點?！獋鬟f系數（零極點形式傳遞函數增益）9/19/202310傳遞函數的表現形式[傳遞函數的幾種表現形式]：表示為有理分傳遞函數的表現形式寫成時間常數形式：分別稱為時間常數，K稱為放大系數顯然：9/19/202311傳遞函數的表現形式寫成時間常數形式：分別稱為時間常數，K稱傳遞函數的表現形式若零點或極點為共軛復數，則一般用2階項來表示。若為共軛復極點，則：或：其中系數由或求得。同樣，共軛復零點可表示如下：或：9/19/202312傳遞函數的表現形式若零點或極點為共軛復數，則一般用2階項來表傳遞函數的表現形式若再考慮有n個零值極點，則傳遞函數的通式可以寫成：從上式可以看出：傳遞函數是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應的傳遞函數，是一些最簡單、最基本的一些形式。式中：或：比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)二階微分振蕩環(huán)節(jié)一階微分9/19/202313傳遞函數的表現形式若再考慮有n個零值極點，則傳遞函數的通式可比例環(huán)節(jié)二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時域特征和復域（s域）特征。時域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應。s域特性研究系統的零、極點分布。比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數。實例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。（一）比例環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數：9/19/202314比例環(huán)節(jié)二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數典型環(huán)節(jié)有比積分環(huán)節(jié)有一個零值極點。在圖中極點用表示，零點用“”表示。k表示比例系數，T稱為時間常數。（二）積分環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數：0S平面j09/19/202315積分環(huán)節(jié)有一個零值極點。在圖中極點用表積分環(huán)節(jié)實例積分環(huán)節(jié)實例：①RC圖中，為轉角，為角速度。可見，為比例環(huán)節(jié)， 為積分環(huán)節(jié)。②電動機（忽略慣性和摩擦）齒輪組9/19/202316積分環(huán)節(jié)實例積分環(huán)節(jié)實例：①RC圖中，為轉角，為角速（三）慣性環(huán)節(jié)時域方程：傳遞函數：當輸入為單位階躍函數時,有，可解得： ，式中：k為放大系數，T為時間常數。慣性環(huán)節(jié)當k=1時，輸入為單位階躍函數時,時域響應曲線和零極點分布圖如下：通過原點的斜率為1/T。只有一個極點（-1/T）。jRe0S平面9/19/202317（三）慣性環(huán)節(jié)時域方程：傳遞函數：當輸入為單位階躍函數時,求單位階躍輸入的輸出響應的方法：可見：y(t)是非周期單調升的，所以慣性環(huán)節(jié)又叫作非周期環(huán)節(jié)。慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應9/19/202318求單位階躍輸入的輸出響應的方法：可見：y(t)是非周期①R2C-+R1而R②C兩個實例：慣性環(huán)節(jié)實例9/19/202319①R2C-+R1而R②C兩個實例：慣性環(huán)節(jié)實例8/6/202振蕩環(huán)節(jié)（四）振蕩環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數：上述傳遞函數有兩種情況：當時，可分解為兩個慣性環(huán)節(jié)相乘。即：傳遞函數有兩個實數極點：9/19/202320振蕩環(huán)節(jié)（四）振蕩環(huán)節(jié)：傳遞函數：上述傳遞函數有兩種情況：當振蕩環(huán)節(jié)分析[分析]：y(t)的響應過程是振幅按指數曲線衰減的的正弦運動。與有關。反映系統的阻尼程度，稱為阻尼系數，稱為無阻尼振蕩圓頻率。當時，曲線單調上升,無振蕩。當時，曲線衰減振蕩。越小，振蕩越厲害。若，傳遞函數有一對共軛復數極點。傳函可寫成：對階躍輸入：單位階躍響應曲線0極點分布圖9/19/202321振蕩環(huán)節(jié)分析[分析]：y(t)的響應過程是振幅按指數曲線衰減解：當時，有一對共軛復數極點。所以：解得：[例]：求質量-彈簧-阻尼系統的和。（見例2-2，p11）振蕩環(huán)節(jié)例子9/19/202322解：解得：[例]：求質量-彈簧-阻尼系統的和。微分環(huán)節(jié)（五）微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的時域形式有三種形式：①②③相應的傳遞函數為：①②③分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極點，只有零點。分別是零、實數和一對共軛零點（若）。在實際系統中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。9/19/202323微分環(huán)節(jié)（五）微分環(huán)節(jié)：相應的傳遞函數為：分別稱為：純微分，式中：y(t)x(t)R1R2C[實例]微分環(huán)節(jié)實例9/19/202324式中：y(t)x(t)R1R2C[實例]微分環(huán)節(jié)實例8/6/延遲環(huán)節(jié)（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱時滯，時延環(huán)節(jié)。它的輸出是經過一個延遲時間后，完全復現輸入信號。如右圖所示。其傳遞函數為：延遲環(huán)節(jié)是一個非線性的超越函數，所以有延遲的系統是很難分析和控制的。為簡單起見，化簡如下：或x(t)ty(t)t9/19/202325延遲環(huán)節(jié)（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱時滯，時延環(huán)節(jié)。它的輸出是經過一（七）其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié)如