2021-2022學年重慶市高二（上）期中數學試卷（解析版）

2021-2022學年重慶市高二（上）期中數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|x2>l},8={M-5Vx<7},則408=()

A.RB.{x|l<x<7}

C.{x|-5<x<l)D.{x|-5Vx<-1或1Vx<7}

2.將直線y-Mx=0繞著原點逆時針旋轉60°,得到的新直線的斜率為()

A.遮B.-73C.2sD.

3v32

3.已知z=2+i,貝!l(z+2)z=()

A.7-2iB.-9+2zC.-7+2/D.9-2z

QJT

4.若cos(~-8)=_2cos(兀+8),貝(JtanO=()

A.-3B.-2C.2D.3

5.若方程d+產出-V)，+2%=o表示圓，則左的取值范圍是()

A.(1,7)B.[1,7]

C.(-°°,1)U(7,+8)D.(-8,1]U[7,+8)

6.圓C：x2+y2+4x-2y-3=0與圓D：(%-3)2+(y+4)2=18的位置關系為()

A.外離B.內切C.相交D.外切

□2

7.函數f(x)=巨邑冬邑的部分圖象大致為()

X-X

8.如圖，在平行六面體ABCD-AiBCQ中，E,F分別在棱碗和?？谏?，且8￡=與81，

^EF=xAB+yAD+zAA1,則x+y+z=()

A.-1B.0C.—D.—

36

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知空間向量Z=(2k+2,k,-4)，b=(-2,1,8)，且Z1E，則()

A.仁-6B.|b1=69c-k=-12D.|b1=769

10.已知A(1,2),B(-3,4),C(-2,0),則()

A.直線x-y=0與線段AB有公共點

B.直線AB的傾斜角大于135°

C.AABC的邊BC上的中線所在直線的方程為y=2

D.△ABC的邊BC上的高所在直線的方程為x-4y+7=0

11.已知正四棱錐S-A8CZ)的側棱長是底面邊長的倍，。為底面中心，E是SB的中點，

AC=2,則()

A.異面直線AE,SC所成角的余弦值為返

10

B.

C.異面直線AE,SC所成角的余弦值為叵

10

D.30=75

12.古希臘著名數學家阿波羅尼斯發(fā)現：平面內到兩個定點A,B的距離之比為定值入(入

#1)的點的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓,簡稱

|CA|1

阿氏圓.在平面直角坐標系xOy中，A(-1,0),B(2,0),動點C滿足

|CB|一2'

直線/：加+1=0,則()

A.動點C的軌跡方程為(x+2)2+^=4

B.直線/與動點C的軌跡一定相交

C.動點C到直線/距離的最大值為&+1

D.若直線/與動點C的軌跡交于P,。兩點，且|PQ|=2加，PPIm=-1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.若直線2x+y-5=0與-3y+6=0垂直，則m=.

14.已知正方體的棱長為4,正［珂，點N為S8的中點，則|M/V|

15.某班級從A,B,C,D,E這5位學生中任選2人參加學校組織的“請黨放心，強國有

我！”的演講活動，則學生A被選中，學生B沒被選中的概率為.

16.在空間直角坐標系。-孫z中，A(1,1,f),B(2,2,4),尸(0,0,5),若平面

ABC的一個法向量孟=⑶1,-1)，則直線AB的一個方向向量

為，直線AP與平面ABC所成角的正弦值

為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17.求滿足下列條件的直線方程：

(1)經過A(-1,3),且與直線3x-y-6=0平行；

(2)在y軸上的截距與在x軸上的截距之差為3,且垂直于過M(2,3)和N(0,4)

兩點的直線.

18.已知△ABC中內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且cosAcosB-l=sinAsinB-2sin2c.

(1)求角C；

(2)若c=4,a2+b2—32,求△ABC的面積.

19.在平面直角坐標系xOy中，A(-1,5),8(-2,-2),C(5,5),圓M為aABC

的外接圓.

(1)求圓M的標準方程；

(2)過點P(7,2)作圓加的切線，求切線方程.

20.如圖，在四面體ABCD中，分別是的中點，NABQ=NBCZ)=90°,EC=^，

AB=l,AD=V2.

(1)證明：平面EFC_L平面BC￡＞：

(2)若二面角D-AB-C為30°,求二面角4-CE-尸的正弦值.

A

21.如圖，在直三棱柱A8C-AiBiG中，點。為42的中點，ZABC=90°,AB=BC=2,

AA]=2百.

(1)證明：8c〃平面AOG.

(2)求點8到平面AOG的距離.

22.已知直線/：2x-y+m-1=0(m>0)被圓C：/+產+叼-21=0截得的弦長為4旄.

(1)求圓C的標準方程；

(2)若點P為圓￡>：(x-8)2+產=1上一動點，點。為圓C上一動點，點M在直線y

=4上運動.求眼尸|+|〃。|的最小值，并求此時M的坐標.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合4=3/>1},B={x|-5<xV7},則ACB=()

A.RB.{x|l<x<7}

C.{M-5Vx<l}D.{x|-5<x<-1\<x<1]

【分析】求出集合A,B,由此能求出AH小

解：?.,集合4={xlx2>l}={Rx>l或xV-1},

B={x|-5<x<7},

.,.4A2={x|-5<x<-1或lVx<7}.

故選：D.

2.將直線y-Mx=0繞著原點逆時針旋轉60°,得到的新直線的斜率為()

A.通B.-A/3C.D.

3V32

【分析】利用已知條件判斷直線的傾斜角，然后求解新直線的傾斜角，得到斜率即可.

解：..?直線y-我x=0經過原點，傾斜角為60°,

將直線y-/x=0繞著原點逆時針旋轉60°,傾斜角為120°,

得到的新直線的斜率為：

故選：B.

3.已知z=2+i,貝!J(z+2)z=()

A.7-2iB.-9+2iC.-7+2iD.9-2z

【分析】根據已知條件，結合共較復數的概念，以及復數代數形式的乘法運算，即可求

解.

解：Vz=2+i,

???(z+2)7=(2+i+2)(2-i)=(4+0(2-i)=9-2i.

故選：o.

4.若cos--6)=-2cos(K+6)?則tan6=()

A.-3B.-2C.2D.3

【分析】由已知利用誘導公式，同角三角函數基本關系式即可求解.

解：因為cos(2^--8)=-2cos(兀+8)，

所以-sin6=2cos。，

則tanO=sin'=—2.

cosU

故選：B.

5.若方程]2+〉2+h-6)，+2-0表示圓，則左的取值范圍是()

A.(1,7)B.[1,7]

C.(-8,1)U(7,4-00)D.(-8,]]U[7,+8)

【分析】將方程化為標準方程，再由半徑的平方大于零求解.

解：將N+y2+日-迎，+2仁0化為標準方程，&玲)2+(y-。)2=號《一2k，

?.?方程N+y2+y/~j)'+2k=0表示圓，

2

??.K-』-2k>0,解得%>7或&<1,

44

故人的取值范圍為(-8,1)u(7,+8).

故選：C.

6.圓C：/+)a+4x-2y-3=0與圓。：(x-3)?+(y+4)2=18的位置關系為()

A.外離B.內切C.相交D.外切

【分析】利用圓C與。兩圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系即可得到答案.

解：..?圓C：/+丫2+4『2丫-3=0即：(x+2)2+(y-1)2=8的圓心為：c(2,1),

半徑r\-2后，

圓。：(x-3)2+(y+4)2=18的圓心為：D(3,-4),半徑力=3&,

；?181=痛-2)2+(-4-1)2=V26-

又門+相=5如,n-n=y[2,

r2+n>|C￡)|>r2一n=2,

?,?圓。與。相交，

故選：C.

□2

7.函數/(x)="里皂"的部分圖象大致為()

X-X

e-e

1i

A.B.

Ox

判斷函數的奇偶性和對稱性，利用排除法進行判斷即可.

解：函數的定義域為{x|xWO},

fC-x）=3（*）-吆（13）_=_3^cosx.=_于（X）,則/（x）是奇函數，排除B,

-xXX-X

e-ee-e

D,

TT1

當OVxV時，3%2cos%>0,~~—>0,則f（x）>0,排除A,

2ex-e

故選：C.

8.如圖，在平行六面體ABCO-4BIGDI中，E,尸分別在棱BBi和。。上，KBB

3f

A.-IB.0C.—D.—

36

【分析】根據已知條件，結合空間向量及其線性運算法則，即可求解.

解：EF=EB1+B1F

=EB[+B]D]+D[F

9—―—―?■—―…1......

2“一一.—?—?1.

——AAj-AB+AD^yAAj

oo

=-疝+標卷函

=xAB+yAD+zAAp

BPx=-1,y=l,z=—,

3

x+y+z=y-

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.己知空間向量￡(2k+2,k,-4)，b=(-2,1,8)，且Z1E，則()

A.k=-6B.|b1=69C.%=-12D.|b|=V69

【分析】由數量積為0列式求解左值，再由向量模的計算公式求|bI.

=

解：Va=(2k+2,k,-4)，b(~2,1,8)>R-aJ_b,

?,?a-b=-2(2k+2)+k-32=C-即k=~12-

Ib|=V(-2)2+l2+82=V69-

故選：CD.

10.已知4(1,2),8(-3,4),C(-2,0),則()

A.直線x-y=0與線段AB有公共點

B.直線AB的傾斜角大于135°

C.△ABC的邊8c上的中線所在直線的方程為y=2

D./\ABC的邊BC上的高所在直線的方程為x-4y+7=0

【分析】直接利用兩點式，斜截式和中點坐標的應用確定A、B、C、。的結論.

解：已知A(1,2),B(-3,4),C(-2,0),

所以直線48的方程為：y-2=~(x-l)-整理得x+2y-5=0,

5

Z：o，解得

則VX+,故A錯誤；

_5

由于直線AB的直線方程斜率為k=-^>-1,故直線AB的傾斜角大于135°,故B正

確；

設8c的中點為。(晟，2),所以4。的直線方程為y=2,故C正確；

由于點B(-3,4),C(-2,0),所以kBc=-4,

故經過點A(1,2)垂直于直線BC的直線方程為x-4y+7=0,故。正確;

故選：BCD.

11.已知正四棱錐S-ABC。的側棱長是底面邊長的?倍，。為底面中心，E是SB的中點,

AC=2,則()

A.異面直線AE,SC所成角的余弦值為返

10

B.SA=A/S

C.異面直線AE,SC所成角的余弦值為叵

10

D.so=Vs

【分析】根據正四棱錐的特征，底面為正方形，所以由4c=2可得底面邊長，再根據條

件可求得側棱長，即SA；由S。為底面垂線，在直角三角形中可求解SO；建立空間直角

坐標系，由向量夾角公式可求得異面直線所成角.

解：因為正四棱錐，AC=2,

所以底面正方形邊長為&,

因為側棱長是底面邊長的?倍，

所以側棱長為捉，

即S4=正，故8正確；

因為正四棱錐S-ABC。，。為底面中心，

所以SO,底面ABCZ),

所以SO04,

在直角三角形SOA中，S0=1SA2_0A2=V^1=旄，故。正確；

根據條件，建立如圖坐標系:

所以4(1,0,0),5(0,0,娓)，C(-1,0,0),E(0,—,匹)，

V22

所以AE=(-L，CS=(1，。，娓)

因為cos<標，SC>=AE-SCV15

IAEIISCI

所以異面直線AE,SC所成角的余弦值為逗，故C正確;

10

故選：BCD.

12.古希臘著名數學家阿波羅尼斯發(fā)現：平面內到兩個定點A,B的距離之比為定值A(A

#1)的點的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱

阿氏圓.在平面直角坐標系xOy中，A(-1,0),B(2,0),動點C滿足犍(蕓,

直線/：mx-y+m+\=0t則()

A.動點。的軌跡方程為(x+2)2+*=4

B.直線/與動點C的軌跡一定相交

C.動點C到直線/距離的最大值為a+1

D.若直線/與動點C的軌跡交于P,。兩點，且|PQb2&，則，"=7

【分析】設c(x,y),由題意求出點C的軌跡以及軌跡方程，利用直線與圓的位置關

系，依次判斷四個選項即可.

解：設C(x,y),

因為動點c滿足力,

|CBl2

所以也+1)2+丫22

7(x-2)2+y22

整理可得x2+y2+4x=0,即(x+2)2+/=4,

對于A,動點C的軌跡是以N(-2,0)為圓心，r=2為半徑的圓，動點C的軌跡方程

為(x+2)2+^=4,故選項A正確；

對于3,因為直線/過定點M(-1,1),而點M(-1,1)在圓(x+2)2+y2=4內，

所以直線/與動點C的軌跡一定相交，故選項B正確；

對于C,當直線/與MN垂直時，動點C到直線/的距離最大，且最大值為r+|MN|=2+&,

故選項C錯誤；

對于D,記圓心N到直線I的距離為d,

則

因為|PQ2=4（'-建），

則4（r2-d2'）=8,

因為r=2,

l|m-11「

所以d=?，即J2J血,

解得〃7=-1,故選項。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.若直線2x+y-5=0與蛆-3）葉6=0垂直，則機

【分析】利用直線相互垂直與斜率之間的關系即可得出.

解：：直線2r+y-5=0與3y+6=0垂直，

.\2/n-3=0,

解得〃2=5，

故答案為：彳■.

14.已知正方體ABCO-AIBGOI的棱長為4,斕苫從力，點N為SB的中點，則陽川

=叵.

―4-

【分析】以力為原點，D4為x軸，￡>C為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，由

此能求出|WV|.

解：正方體ABC。-A山Ci。的棱長為小

.1■

AMgMCy點N為38的中點，

以。為原點，D4為x軸，DC為），軸，為z軸，建立空間直角坐標系,

911

則A(〃，0,0),Ci(0,a,a),M(,

N(a,a,?—)f

2

222

，|W|=(a-1a)+(a-1)+(f-f)=4^-

故答案為：YHG

15.某班級從A,B,C,D,E這5位學生中任選2人參加學校組織的“請黨放心，強國有

我！”的演講活動，則學生A被選中，學生8沒被選中的概率為士.

—10―

【分析】要使“學生A被選中，學生8沒被選中"，則選中A后，還需在C、4和E三

人中再選1人，再結合組合數，古典概型，即可得解.

解：5人中任選2人有C^=10種選法，

其中學生A被選中，學生B沒被選中有C；=3種選法，

因此所求的概率為得?.

故答案為：

16.在空間直角坐標系。-xyz中，A(1,1,?),8(2,2,4),P(0,0,5),若平面

ABC的一個法向量m=(3,1,-1)，則直線AB的一個方向向量為

AB=(1,1,4)_，直線AP與平面ABC所成角的正弦值為—嚕_-

【分析】由向量垂直即可求解直線AB的一個方向向量；再由彳與下所成角的余弦值可得

直線AP與平面ABC所成角的正弦值.

解：VA(1,1,力，8(2,2,4),

???AB=(1,1,4-t)，又平面ABC的一個法向量⑶1,-1).

AB*m=3+l-4+t=0,即，=0?

二直線A8的一個方向向量為根=(1,1,4)；

A(1,1,0),P(0,0,5),則/=(-l,-1,5)，

又平面ABC的一個法向量孟=⑶1,-1),

直線AP與平面ABC所成角的正弦值為|cos<孟，—>1=1『里|=

Iml-lAPI

I-9?V33

W11XV2711'_

故答案為：AB=(1,1,4)；管.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17.求滿足下列條件的直線方程：

(1)經過A(-1,3),且與直線3x-y-6=0平行；

(2)在y軸上的截距與在x軸上的截距之差為3,且垂直于過M(2,3)和N(0,4)

兩點的直線.

【分析】Q)由題意利用兩直線平行的性質，用待定系數法求出直線的方程.

(2)求出直線的斜率，設出直線的斜截式方程，根據直線在坐標軸上的截距之差為3,

求出待定系數，可得結論.

解：(1)設經過A(-1,3),且與直線3x-y-6=0平行的直線的方程為3x-y+A=0,

把點A代入，求得攵=0,故經過4(-1,3),且與直線3元-y-6=0平行的直線的方

程為3x-y=0.

(2)直線MN的斜率為等=-《，故要求直線的斜率為2,

0-22

設直線的方程為y=2x+b,則它在X軸上的截距為-

由題意，b-(-￡)=3,求得b=2,

故要求的直線的方程為y=2x+2,即->2=0.

18.已知△ABC中內角A,B,C的對邊分別是mb,c,且cosAcosB-1=sinAsin8-2sin2c.

(1)求角C；

(2)若c=4,?2+按=32,求△A5C的面積.

【分析】(1)由題意利用兩角和的余弦公式、誘導公式，求得cosC的值，可得。的值.

(2)由題意利用余弦定理求得外的值，可得△A8C的面積為爐sinC的值.

解：(1);△ABC中內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且cosAcosB-l=sinAsinB

-2sin2C,

即cosAcosB-sinAsin8=l-2sin2C,即cos(A+8)=-cosC=1-2(1-cos2C),

B|J2cos2C+cosC-1=0,cosC=-1(舍去)，或cosC="^,

2

(2)若c=4,〃2+/=32,則由余弦定理可得2=\6=a2+b2-2a/??cosC=32-2cib*cos----,

c3

??ab=16,

.?.△ABC的面積為■^■?時?sin：=4y.

19.在平面直角坐標系xOy中，A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),圓M為△ABC

的外接圓.

(1)求圓M的標準方程；

(2)過點P(7,2)作圓例的切線，求切線方程.

【分析】Q)設出圓的一般方程，代入點的坐標，求解即可.

(2)設出直線方程，利用點到直線的距離與半徑的關系，求解直線方程即可.

解：(1)設圓M的方程為x2+y2+Dx+E)，+F=0,

4(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),圓M為△ABC的外接圓

，26-D+5E+F=0

'8-2D-2E+F=0，解得D=-4,E=-2,F=-20,

50+5D+5E+F=0

所以圓M的方程為/+)2-4x-2y-20=0,

故圓M的標準方程為(x-2)2+(y-1)占25.

(2)當切線斜率不存在時，切線方程為K=7.

當切線斜率存在時，設切線方程為》-2=攵(x-7),即"-y-7k+2=0.

②-卜7k+2]_L,12

由2=5,解得k-——

所以切線方程為y-2=^~(x_7)?即12x+5y-94=0.

綜上所述，所求切線方程為x=7或12/5y-94=0.

20.如圖，在四面體ABC。中，分別是A。,BO的中點，乙48￡>=/BCQ=90°,EC=^，

2

AB=\,AD=&.

(1)證明：平面EFC_L平面BCD；

(2)若二面角。-A8-C為30°,求二面角A-CE-F的正弦值.

【分析】(1)由已知可得EFVBD,再求解三角形證明EFVFC,即可得到EF上平面

BCD,進一步得到平面EFCJ_平面BCD；

(2)建立空間直角坐標系，求出兩個平面ACE與CEF的法向量，利用向量公式即可求

得二面角A-CE-尸的正弦值.

【解答】(1)證明：尸分別是線段A。，8。的中點，尸〃AB,

'：ZABD=90Q,：.AB±BD,則￡F_LB。，

2

：AD=&，AB=l,:.BD={(&)2-]2=I，

又N8CD=90°,尸為BO的中點，.?.尸C=/,

VEC=^'；.EF2+FC2=EC1,即EF_LFC,

,:BDCFC=F,BD、FCu平面BCD,；.EF_L平面BCD,

而EFu平面EFC,平面EFC_L平面88；

(2)解：由(1)可知，BCD,而AB〃EF,則48,平面BCD,

/OBC為二面角。-A8-C的平面角，即/O8C=30。，

如圖，以8為坐標原點，分別以8。，1M所在直線為y軸，z軸，

以過B且垂直于BD的直線為x軸建立空間直角坐標系，

則A(0,0,1),8(0,0,0),。(0,1,0),

C(返，—,0),E(0,—,—),F(0,—,0),

44222

?*-AE=(0,y,蔣)，而=(乎，-j,1)，FE=(O,0,y)>

乙乙3+乙乙

設平面ACE的一個法向量為7=(x,y,z),則

f-*11

m-AE^yy-^-z=O廠

L，取Z=l,得益=（*，I,1）；

--V3113

m*EC=>-px-?7ry-T-Z=O

442

設平面CEF的一個法向量為局=(a,b,c),則

n,ECc=0

取。=1,得n=(l,0)。

一*1

n,FE5c=0

設二面角4-CE-尸的平面角為。，則|cose|=|cos<7,n>l=|^*2

ImIIni

=且

7

二面角A-CE-F的正弦值為房平

21.如圖，在直三棱柱ABC-AiBiG中，點。為48的中點，ZABC=9O°,AB=BC=2,

AA1=2?.

(1)證明：BC〃平面AOCi.

(2)求點8到平面AOG的距離.

【分析】（1）只需證明BC平行于平面AOG內直線0M即可；（2）先作40垂線8”,

再證明A”垂直平面A0G,通過等面積法求解.

【解答】（1）證明：連接4C,交AG于M,連接0M,因為ABC-A/iG是直三棱柱,

點0為4B的中點，

所以M為4c中點，所以0M〃BC,

因為8CC平面40Ci,OA/u平面A0C],

所以5c〃平面AOG.

（2）解：過B作8"_LA0于H,連接80,

因為ABC-481cl是直三棱柱，點。為AiB的中點，

所以4、。、3共線，

因為NABC=90°