數(shù)學(xué)北師大版選修2-3學(xué)案第三章1回歸分析

§1回歸分析學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)．2．會(huì)求相關(guān)系數(shù)，并用其判斷相關(guān)程度．3．會(huì)進(jìn)行可線性化的回歸分析，擬合函數(shù)．并根據(jù)擬合程度調(diào)整函數(shù)關(guān)系.重點(diǎn)：利用所給數(shù)據(jù)求線性回歸直線方程．難點(diǎn)：函數(shù)模型的選取和確立以及函數(shù)的擬合.1．回歸分析(1)函數(shù)關(guān)系是一種確定性的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的常用方法．(2)線性回歸直線方程y＝a＋bx中，b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)2i－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).預(yù)習(xí)交流1線性回歸直線方程y＝a＋bx與一次函數(shù)y＝a＋kx有何區(qū)別？提示：一次函數(shù)y＝a＋kx是y與x的確定關(guān)系，給x一個(gè)值，y有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，而線性回歸直線方程是y與x的相關(guān)關(guān)系的近似反映，兩個(gè)數(shù)據(jù)x，y組成的點(diǎn)(x，y)可能適合線性回歸直線方程，也可能不適合．2．相關(guān)系數(shù)假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則變量間線性相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式為：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2·\i\su(i＝1,n,)(yi－\x\to(y))2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)2i－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)2i－n\x\to(y)2)).變量之間相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1,1]，|r|值越大，誤差Q越小，變量之間的線性相關(guān)程度越高，|r|值越接近于0，Q越大，變量之間的線性相關(guān)程度越低．當(dāng)r＞0時(shí)，b＞0，兩個(gè)變量的值總體上呈現(xiàn)出同時(shí)增減的趨勢(shì)，此時(shí)稱(chēng)兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時(shí)，b＜0，一個(gè)變量增加，另一個(gè)變量有減少的趨勢(shì)，稱(chēng)兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；當(dāng)r＝0時(shí)，稱(chēng)兩個(gè)變量線性不相關(guān)．預(yù)習(xí)交流2如何由樣本的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2·\i\su(i＝1,n,)(yi－\x\to(y))2))判定兩變量的相關(guān)性？提示：當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)，當(dāng)r＜0時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系，通常當(dāng)|r|＞0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．3．可線性化的回歸分析通過(guò)變換先將非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，利用最小二乘法得到線性回歸方程，再通過(guò)相應(yīng)變換得到非線性回歸方程．預(yù)習(xí)交流3如何將函數(shù)y＝aebx轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)？提示：先對(duì)y＝aebx兩邊取對(duì)數(shù)得lny＝lna＋bx.若記u＝lny，c＝lnA．則u＝c＋bx，就把函數(shù)y＝aebx轉(zhuǎn)化成了線性函數(shù)u＝c＋bx.一、線性回歸方程的求法某醫(yī)院用光電比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蚬瘯r(shí)，得尿汞含量(毫克/升)與消光系數(shù)如下表：汞含量x246810消光系數(shù)y64138205285360(1)作散點(diǎn)圖；(2)如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程．思路分析：求線性回歸方程必須先對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)性判斷，若兩個(gè)變量存在較大的相關(guān)性，則可利用公式求線性回歸方程的系數(shù)；若兩個(gè)變量不具備相關(guān)關(guān)系，則求線性回歸方程將變得毫無(wú)意義．解：(1)散點(diǎn)圖如圖．(2)由散點(diǎn)圖可知，y與x呈相關(guān)關(guān)系，設(shè)線性回歸方程為：y＝bx＋A．經(jīng)計(jì)算，得eq\x\to(x)＝6，eq\x\to(y)＝，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝220，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝7790.∴b＝eq\f(7790－5×6×,220－5×62)＝，a＝－×6＝－11.3.∴線性回歸方程為：y＝x－11.3.已知兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)性，甲、乙兩個(gè)同學(xué)各自獨(dú)立地做了10次和15次試驗(yàn)，并且利用線性回歸的方法求得回歸直線分別為l1和l2，已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為s，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是t，則下列說(shuō)法正確的是()．A．l1與l2一定有公共點(diǎn)(s，t) B．l1與l2相交，但交點(diǎn)一定不是(s，t)C．l1與l2必定平行 D．l1與l2必定重合答案：A解析：由于回歸直線y＝bx＋a恒過(guò)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))點(diǎn)，又兩人對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值為s，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值為t，所以l1和l2恒過(guò)點(diǎn)(s，t)．作出散點(diǎn)圖可直觀地判斷兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系．線性回歸直線方程y＝bx＋a一定過(guò)樣本中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．二、相關(guān)系數(shù)及相關(guān)性檢驗(yàn)現(xiàn)隨機(jī)抽取了我校10名學(xué)生在入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)(x)與入學(xué)后的第一次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)(y)，數(shù)據(jù)如下表：學(xué)生號(hào)12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771試問(wèn)：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)考試成績(jī)是否具有顯著性線性相關(guān)關(guān)系？思路分析：先利用相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r((\i\su(i＝1,n,x)2i－n\x\to(x)2)(\i\su(i＝1,n,y)2i－n\x\to(y)2)))計(jì)算出r，當(dāng)|r|越接近于1時(shí)，兩個(gè)變量越具有很強(qiáng)的線性關(guān)系．解：由題意得：eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)(84＋64＋…＋57＋71)＝68，eq\i\su(i＝1,10,x)2i＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，eq\i\su(i＝1,10,y)2i＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73796，∴r＝eq\f(73796－10××68,\r((116584－10×2)·(47384－10×682)))≈6.∵6接近于1，∴兩次數(shù)學(xué)考試成績(jī)有顯著性線性相關(guān)關(guān)系．煉鋼是一個(gè)氧化降碳的過(guò)程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時(shí)間的長(zhǎng)短．必須掌握鋼水含碳量和冶煉時(shí)間的關(guān)系．如果已測(cè)得爐料熔化完畢時(shí)鋼水的含碳量x與冶煉時(shí)間y(從爐料熔化完畢到出鋼的時(shí)間)的一列數(shù)據(jù)，如下表所示：x(0.01%)104180190177147134150191204121y/min100200210185155135170205235125(1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？(2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程．(3)預(yù)測(cè)當(dāng)鋼水含碳量為160個(gè)0.01%時(shí)，應(yīng)冶煉多少分鐘？解：(1)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算：i12345678910xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi10400360003990032745227851809025500391554794015125eq\x\to(x)＝159.8，eq\x\to(y)＝172，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,)i＝265448，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,)i＝312350，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝287640于是r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－10\x\to(x)\x\to(y),\r((\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))y\o\al(2,i)－10\x\to(y)2)))≈6.∵6非常接近于1，∴y與x具有顯著的線性相關(guān)關(guān)系．(2)設(shè)所求的線性回歸方程為y＝bx＋a，其中a，b的值使Q＝eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(yi－bxi－a)2的值最小．b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－10\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)≈1.267，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈－30.47，即所求的線性回歸方程為yx－30.47.(3)當(dāng)x＝160時(shí)，y×≈172，即大約冶煉172min.如果兩個(gè)變量不具備線性相關(guān)關(guān)系或者線性相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出線性回歸方程也無(wú)意義，用于估計(jì)和測(cè)量的結(jié)果也是不可信的．1．在下列各量與量之間的關(guān)系中是相關(guān)關(guān)系的是()．①正方體的體積與棱長(zhǎng)之間的關(guān)系；②一塊農(nóng)田的小麥的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；③人的身高與年齡之間的關(guān)系；④家庭的收入與支出之間的關(guān)系；⑤某家庭用水量與水費(fèi)之間的關(guān)系．A．②③ B．③④ C．④⑤ D．②③④答案：D解析：①⑤屬于函數(shù)關(guān)系，②③④屬于相關(guān)關(guān)系．2．在建立兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)r如下，其中擬合得最好的模型為()．A．模型1的相關(guān)指數(shù)r B．模型2的相關(guān)指數(shù)rC．模型3的相關(guān)指數(shù)r D．模型4的相關(guān)指數(shù)r答案：B解析：相關(guān)指數(shù)|r|的值越大，說(shuō)明模型的擬合效果越好．3．對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量建立的回歸直線方程y＝a＋bx中，回歸系數(shù)b()．A．可以小于0 B．大于0 C．能等于0 D．答案：A解析：因?yàn)閎＝0時(shí)，則r＝0，這時(shí)不具有線性相關(guān)關(guān)系，但b可以大于0也可以小于0.4．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷(xiāo)售額y(單位：萬(wàn)元)之間有下表關(guān)系：x24568y3040605070若y與x之間是線性相關(guān)關(guān)系，，則廣告費(fèi)支出最少是______萬(wàn)元．答案：10解析：由已知eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝50，eq\i\su(i＝1,5,x)2i＝145，eq\i\su(i＝1,5,y)2i＝13500，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi＝1380，∴b＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×25)＝6.5.∴a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝17.5.∴回歸直線方程為yx＋17.5.∴由y≥x≥82.5，解得x≥10.故廣告費(fèi)支出最少是10萬(wàn)元．5．有一臺(tái)機(jī)床可以按各種不同的速度運(yùn)轉(zhuǎn)，其加工的零件有一些是二級(jí)品，每小時(shí)生產(chǎn)的二級(jí)品零件的數(shù)量隨機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化，下面是實(shí)驗(yàn)中記錄的數(shù)據(jù).機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)的速度(轉(zhuǎn)/秒)每小時(shí)生產(chǎn)二級(jí)品的數(shù)量(個(gè))851281491611(1)作出散點(diǎn)圖．(2)求出機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)的速度x與每小時(shí)生產(chǎn)的二級(jí)品數(shù)量y的回歸直線方程．(3)若