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文檔簡介
第32講數(shù)列的綜合問題基礎知識1.數(shù)列的綜合應用(1)等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題主要是應用等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式,建立關于兩個基本量,即首項a1和公差d或公比q的方程組,以及解決等差中項、等比中項等問題.(2)數(shù)列和函數(shù)數(shù)列是特殊的函數(shù),等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式分別是關于n的一次函數(shù)和二次函數(shù),等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式在公比不等于1的情況下是公比q的指數(shù)型函數(shù),可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決一些數(shù)列問題.(3)數(shù)列和不等式以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問題,體現(xiàn)了在知識交匯點上命題的特點.這類問題一般通過數(shù)列求通項以及求和去解決一個不等式問題,這里的不等式通常是關于正整數(shù)的不等式,可以通過比較法、基本不等式法、導數(shù)方法和數(shù)學歸納法解決.2.數(shù)列應用題常見模型等差數(shù)列模型如果增加(或減少)的量是一個固定量時,該模型是等差數(shù)列模型,增加(或減少)的量就是公差等比數(shù)列模型如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時,該模型是等比數(shù)列模型,這個固定的數(shù)就是公比遞推數(shù)列模型如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定,即隨著項的變化而變化時,應考慮an與an1的遞推關系,或前n項和Sn與Sn1之間的遞推關系分類探究探究點一等差、等比數(shù)列的綜合問題例1在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5=25這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若問題中的k存在,求k的值;若k不存在,說明理由.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,{bn}是等比數(shù)列,,b1=a5,b2=3,b5=81,是否存在k,使得Sk>Sk+1且Sk+1<Sk+2?
注:如果選擇多個條件分別解答,那么按第一個解答計分.[總結(jié)反思]解決由等差數(shù)列、等比數(shù)列組成的綜合問題,首先要根據(jù)兩數(shù)列的概念,設出相應的基本量,然后充分使用通項公式、求和公式、數(shù)列的性質(zhì)等確定基本量.解綜合問題的關鍵在于審清題目,弄懂來龍去脈,揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件.變式題已知等差數(shù)列{an}的公差為d,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,等比數(shù)列{bn}的公比為q(q≠1),Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,a3+b3=0,b1=1,T3=3,d=q.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式.(2)是否存在正整數(shù)λ,使得關于k的不等式λ(30+Sk)≤10有解?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.探究點二數(shù)列在實際生活中的應用例2(1)我國《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗》規(guī)定:車輛駕駛?cè)藛T100mL血液中酒精含量在[20,80)(單位:mg)內(nèi)為飲酒后駕車,80mg及以上認定為醉酒后駕車.某人喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL,此時他停止飲酒,其血液中的酒精含量以每小時20%的速度減少,為避免酒后駕車,他至少經(jīng)過n小時才能開車,則n的最小整數(shù)值為 ()A.5 B.6 C.7 D.8(2)一對夫婦為了給他們的獨生子支付將來上大學的費用,從孩子1周歲生日開始,每年到銀行儲蓄a元一年定期,若年利率為r保持不變,且每年到期時存款(含利息)自動轉(zhuǎn)為新的一年定期,當孩子18周歲生日時不再存入,將所有存款(含利息)全部取回,則取回的錢的總數(shù)為 ()A.a(1+r)17 B.ar[(1+r)17(1+r)]C.a(1+r)18 D.ar[(1+r)18(1+r[總結(jié)反思]解決實際問題所涉及的數(shù)列模型:首先要認真閱讀領悟,學會翻譯(數(shù)學化);其次再考慮用熟悉的數(shù)列知識建立數(shù)學模型,求出問題的解;最后還需驗證求得的解是否符合實際.變式題(1)某大學畢業(yè)生為自主創(chuàng)業(yè)于2017年8月初向銀行貸款240000元,與銀行約定按“等額本金還款法”分10年進行還款,從2017年9月初開始,每個月月初還一次款,貸款月利率為0.5%,現(xiàn)因經(jīng)營狀況良好準備向銀行申請?zhí)崆斑€款,計劃于2022年8月初將剩余貸款全部一次還清,則該大學畢業(yè)生按現(xiàn)計劃的所有還款數(shù)額比按原約定所有還款數(shù)額少 ()(注:“等額本金還款法”是將本金平均分配到每一期進行償還,每一期所還款金額由兩部分組成,一部分為每期本金,即貸款本金除以還款期數(shù),另一部分是利息,即貸款本金與已還本金總額的差乘利率.1年按12個月計算)A.18000元 B.18300元C.28300元 D.36300元(2)當急需住院人數(shù)等于或大于醫(yī)院所能收治的病人數(shù)量時就會發(fā)生“醫(yī)療資源擠兌”現(xiàn)象.在新冠肺炎爆發(fā)期間,境外某市每日下班后統(tǒng)計住院人數(shù),從中發(fā)現(xiàn):該市每日因新冠肺炎住院人數(shù)均比前一天下班后統(tǒng)計的住院人數(shù)增加約25%,但每日大約有200名新冠肺炎患者治愈出院.已知該市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治療,該市的醫(yī)院共可收治4000名新冠肺炎患者.若繼續(xù)按照這樣的規(guī)律發(fā)展,該市因新冠肺炎疫情發(fā)生“醫(yī)療資源擠兌”現(xiàn)象,只需要約 ()A.7天 B.10天C.14天 D.16天探究點三數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題角度1數(shù)列與不等式的綜合例3已知數(shù)列{an}為遞增的等差數(shù)列,其中a3=5,且a1,a2,a5成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項公式;(2)設bn=1(an+1)(an+1+1),記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn[總結(jié)反思]數(shù)列中不等式的恒成立問題:以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題,多與數(shù)列求和相聯(lián)系,求解的思路一般有兩種,一是求和后直接利用基本不等式求解數(shù)列中的最值,二是求和后抓住和式的特征,利用函數(shù)的思想,借助數(shù)列的單調(diào)性求解,此時需注意變量的取值范圍.變式題已知正項數(shù)列{an}滿足2Sn=an+1,其中Sn為{an}的前n項和(1)求{an}的通項公式;(2)已知bn=(1)n+1·an+1anan+1,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn,并求出Tn≥m2+m5角度2數(shù)列與函數(shù)的綜合例4定義函數(shù)f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),例如:[1.3]=1,[1.5]=2,[2]=2.當x∈[0,n)(n∈N*)時,f(x)的值域為An.記集合An中元素的個數(shù)為an,則∑i=22020[總結(jié)反思]數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類:①已知函數(shù)條件,解決數(shù)列問題,此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖像來解決;②已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問題,此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對所給條件化簡變形.變式題定義在[0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足:當0≤x<2時,f(x)=x3+3x1;當x≥2時,f(x)=3f(x2).記函數(shù)f(x)的極大值點從小到大依次記為a1,a2,…,an,…,并記相應的極大值為b1,b2,…,bn,…,則a1·b1+a2·b2+…+a18·b18的值為 ()A.18×319+1 B.18×318+1C.17×317+1 D.17×318+1同步作業(yè)1.已知數(shù)列{an}既是公差為d的等差數(shù)列又是公比為q的等比數(shù)列,首項a1=1,則它的前2020項的和等于 ()A.1B.2021a1+2021×1110dC.2020D.02.如果一個數(shù)列由有限個連續(xù)的正整數(shù)按從小到大的順序組成(數(shù)列的項數(shù)大于2),且所有項之和為N,那么稱該數(shù)列為“N型標準數(shù)列”.例如,數(shù)列3,4,5,6,7為“25型標準數(shù)列”,則“5336型標準數(shù)列”的個數(shù)為 ()A.2 B.3C.4 D.53.某家庭決定要進行一項投資活動,預計每周收益1%.假設起始投入1萬元,按照復利(復利是指每經(jīng)過一個計息期后,都將所得利息加入本金,以計算下期的利息)計算,經(jīng)過100周,該家庭在此項投資活動中的資產(chǎn)總額大約為 ()A.1.3萬元 B.1.7萬元C.2.3萬元 D.2.7萬元4.已知正項等比數(shù)列{an}的首項a1=1,前n項和為Sn,且S1,S2,S32成等差數(shù)列,則a5= ()A.8 B.1C.16 D.15.已知等比數(shù)列{an}中,a2a14=8a8,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,且a8=b8,則S15= ()A.30 B.60C.120 D.2406.已知集合M={1,2,3,…,10},集合A?M,定義N(A)為A中元素的最小值,當A取遍M的所有非空子集時,對應的N(A)的和記為S,則S= ()A.45 B.1012C.2036 D.92177.已知等差數(shù)列{an}的公差為2,前n項和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.令bn=1anan+1,則數(shù)列{bn}的前50項和8.假設你有一筆資金,現(xiàn)有三種投資方案,這三種方案的回報如下:方案一:每天回報40元;方案二:第一天回報10元,以后每天比前一天多回報10元;方案三:第一天回報0.4元,以后每天的回報比前一天翻一番.現(xiàn)打算投資10天,三種投資方案的總收益分別為A10,B10,C10,則 ()A.A10<B10<C10 B.A10<C10<B10C.B10<A10<C10 D.C10<A10<B109.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公差d>0,a6和a8是函數(shù)f(x)=154lnx+12x28x的兩個極值點,則S8= (A.38 B.38C.17 D.1710.設{an}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列,首項a1=164,bn=log12an,當且僅當n=4時,數(shù)列{bn}的前n項和取得最大值,則q的取值范圍為 A.(3,23) B.(3,4)C.(22,4) D.(22,32)11.(多選題)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+11n=(1+1n)an,n∈N*.若對于任意的t∈[1,2],不等式ann<2t2(a+1)t+a2a+2恒成立,則實數(shù)a可能為A.4 B.2C.0 D.212.(多選題)已知等比數(shù)列{an}的公比q=23,等差數(shù)列{bn}的首項b1=12,若a9>b9且a10>b10,則以下結(jié)論正確的是 (A.a9·a10<0 B.a9>a10C.b10>0 D.b9>b1013.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2n+12,bn=log2(an2·2an),數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,若Tn>1024,則正整數(shù)14.在①S3a4=6,②a3=2a1+a2,③S6=42這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若問題中的k存在,則求出{an}的通項公式;若不存在,請說明理由.問題:數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),其前n項和為Sn,是否存在正數(shù)k,使得an2+kan=2kSn,且15.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.已知a1b1=2,S2=6,S3=12,
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