數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)全套教案第04講基本初等函數(shù)doc高中數(shù)學(xué)

/普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書—數(shù)學(xué)[人教版]高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座4）—根本初等函數(shù)一．課標(biāo)要求1．指數(shù)函數(shù)（1）通過具體實(shí)例（如細(xì)胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景；（2）理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算。（3）理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；（4）在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的過程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。2．對(duì)數(shù)函數(shù)（1）理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；通過閱讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用；（2）通過具體實(shí)例，直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；3．知道指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（a＞0，a≠1）。二．命題走向指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類常見的重要函數(shù)，在歷年的高考題中都占據(jù)著重要的地位。從近幾年的高考形勢(shì)來看，對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的考察，大多以根本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算推理，能運(yùn)用它們的性質(zhì)解決具體問題。為此，我們要熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法那么，明確算理，能對(duì)常見的指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)進(jìn)展變形處理。預(yù)測(cè)對(duì)本節(jié)的考察是：1．題型有兩個(gè)選擇題和一個(gè)解答題；2．題目形式多以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)來考察函數(shù)的性質(zhì)。同時(shí)它們與其它知識(shí)點(diǎn)交匯命題，那么難度會(huì)加大。三．要點(diǎn)精講1．指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（1）根式的概念：①定義：假設(shè)一個(gè)數(shù)的次方等于，那么這個(gè)數(shù)稱的次方根。即假設(shè)，那么稱的次方根，1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，次方根記作；2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個(gè)次方根且互為相反數(shù)，記作。②性質(zhì)：1）；2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，。（2）．冪的有關(guān)概念①規(guī)定：1）N*；2）；n個(gè)3）Q，4）、N*且。②性質(zhì)：1）、Q）；2）、Q）；3）Q）。（注）上述性質(zhì)對(duì)r、R均適用。（3）．對(duì)數(shù)的概念①定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對(duì)數(shù)，記作其中稱對(duì)數(shù)的底，N稱真數(shù)。1）以10為底的對(duì)數(shù)稱常用對(duì)數(shù)，記作；2）以無理數(shù)為底的對(duì)數(shù)稱自然對(duì)數(shù)，，記作；②根本性質(zhì)：1）真數(shù)N為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無對(duì)數(shù)）；2）；3）；4）對(duì)數(shù)恒等式：。③運(yùn)算性質(zhì)：如果那么1）；2）；3）R）。④換底公式：1）；2）。2．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)：①定義：函數(shù)稱指數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域?yàn)镽；2）函數(shù)的值域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù)。②函數(shù)圖像：1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、二象限；2）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向左無限接近軸，當(dāng)時(shí)，圖象向右無限接近軸）；3）對(duì)于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。①，②①，②，③①，②，③，（2）對(duì)數(shù)函數(shù)：①定義：函數(shù)稱對(duì)數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?）函數(shù)的值域?yàn)镽；3）當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；4）對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。②函數(shù)圖像：1）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、四象限；2）對(duì)數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向上無限接近軸；當(dāng)時(shí)，圖象向下無限接近軸）；4）對(duì)于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。③函數(shù)值的變化特征：①①，②，③.①，②，③.四．典例解析題型1：指數(shù)運(yùn)算例1．（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：。解：（1）原式=；（2）原式=。點(diǎn)評(píng)：根式的化簡(jiǎn)求值問題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解，對(duì)化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式保存；一般的進(jìn)展指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運(yùn)算，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序。例2．已知，求的值。解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴。點(diǎn)評(píng)：此題直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡(jiǎn)變形，創(chuàng)造條件簡(jiǎn)化運(yùn)算。題型2：對(duì)數(shù)運(yùn)算例3．計(jì)算（1）；（2）；（3）。解：（1）原式；（2）原式；（3）分子=；分母=；原式=。點(diǎn)評(píng)：這是一組很根本的對(duì)數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本功，通過這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法那么，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧。例4．設(shè)、、為正數(shù)，且滿足（1）求證：；（2）假設(shè)，，求、、的值。證明：（1）左邊；解：（2）由得，∴……………①由得………②由①②得……③由①得，代入得，∵，∴………………④由③、④解得，，從而。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含對(duì)數(shù)因式的證明和求值問題，還是以對(duì)數(shù)運(yùn)算法那么為主，將代數(shù)式化簡(jiǎn)到最見形式再來處理即可。題型3：指數(shù)、對(duì)數(shù)方程例5．設(shè)關(guān)于的方程R），（1）假設(shè)方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解。解：（1）原方程為，，時(shí)方程有實(shí)數(shù)解；（2）①當(dāng)時(shí)，，∴方程有唯一解；②當(dāng)時(shí)，.的解為；令的解為；綜合①、②，得1）當(dāng)時(shí)原方程有兩解：；2）當(dāng)時(shí)，原方程有唯一解；3）當(dāng)時(shí)，原方程無解。點(diǎn)評(píng)：具有一些綜合性的指數(shù)、對(duì)數(shù)問題，問題的解答涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)、參數(shù)討論、方程討論等各種根本能力，這也是指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的特點(diǎn)，題型非常廣泛，應(yīng)通過解題學(xué)習(xí)不斷積累經(jīng)歷。例6．（遼寧文13）方程的解為。解：考察對(duì)數(shù)運(yùn)算。原方程變形為，即，得。且有。從而結(jié)果為。點(diǎn)評(píng)：上面兩例是關(guān)于含指數(shù)式、對(duì)數(shù)式等式的形式，解題思路是轉(zhuǎn)化為不含指數(shù)、對(duì)數(shù)因式的普通等式或方程的形式，再來求解。題型4：指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)例7．設(shè)（）A．0B．1C．2D解：C；，。點(diǎn)評(píng)：利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，求解函數(shù)的值。例8．已知試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。解：令，那么x=，t∈R。所以即，（x∈R）。因?yàn)閒(－x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故只需討論f(x)在[0，+∞）上的單調(diào)性。任取，，且使，那么（1）當(dāng)a>1時(shí)，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上單調(diào)遞增。（2）當(dāng)0<a<1時(shí)，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上單調(diào)遞增。綜合所述，[0，+∞]是f(x)的單調(diào)增區(qū)間，（－∞，0）是f(x)的單調(diào)區(qū)間。點(diǎn)評(píng)：求解含指數(shù)式的函數(shù)的定義域、值域，甚至是證明函數(shù)的性質(zhì)都需要借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來處理。特別是分兩種情況來處理。題型5：指數(shù)函數(shù)的圖像與應(yīng)用例9．假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)，那么m的取值范圍是（）A．m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．0<m≤解：，畫圖象可知－1≤m<0。答案為B。點(diǎn)評(píng)：此題考察了復(fù)雜形式的指數(shù)函數(shù)的圖像特征，解題的出發(fā)點(diǎn)仍然是兩種情況下函數(shù)的圖像特征。例10．設(shè)函數(shù)的取值范圍。解：由于是增函數(shù)，等價(jià)于①1)當(dāng)時(shí)，，①式恒成立；2)當(dāng)時(shí)，，①式化為，即；3)當(dāng)時(shí)，，①式無解；綜上的取值范圍是。點(diǎn)評(píng)：處理含有指數(shù)式的不等式問題，借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將含有指數(shù)式的不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式問題（一元一次、一元二次不等式）來處理。題型6：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)例11．（1）函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．（2）（湖北）設(shè)f(x)＝，那么的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．(－4,－1)(1，4)C．(－2,－1)(1，2)D．(－4,－2)(2，4)解：（1）D（2）B。點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)定義域就是使得解析是有意義的自變量的取值范圍，在對(duì)數(shù)函數(shù)中只有真數(shù)大于零時(shí)才有意義。對(duì)于抽象函數(shù)的處理要注意對(duì)應(yīng)法那么的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例12．對(duì)于，（1）函數(shù)的“定義域?yàn)镽”和“值域?yàn)镽”是否是一回事；（2）結(jié)合“實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)在上有意義”與“實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椤闭f明求“有意義”問題與求“定義域”問題的區(qū)別；（3）結(jié)合（1）（2）兩問，說明實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)的值域?yàn)椋?）實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)在內(nèi)是增函數(shù)。解：記，那么；（1）不一樣；定義域?yàn)镽恒成立。得：，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為。值域?yàn)镽：值域?yàn)镽至少取遍所有的正實(shí)數(shù)，那么，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為。（2）實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)在上有意義：命題等價(jià)于對(duì)于任意恒成立，那么或，解得實(shí)數(shù)a得取值范圍為。實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋河梢阎枚尾坏仁降慕饧癁榭傻茫敲碼=2。故a的取值范圍為{2}。區(qū)別：“有意義問題”正好轉(zhuǎn)化成“恒成立問題”來處理，而“定義域問題”剛好轉(zhuǎn)化成“取遍所有問題”來解決（這里轉(zhuǎn)化成了解集問題，即取遍解集內(nèi)所有的數(shù)值）（3）易知得值域是，又得值域是，得，故a得取值范圍為{－1，1}。（4）命題等價(jià)于在上為減函數(shù)，且對(duì)任意的恒成立，那么，解得a得取值范圍為。點(diǎn)評(píng)：該題主要考察復(fù)合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)性問題。解題過程中遇到了恒成立問題，“恒為正”與“取遍所有大于零的數(shù)”不等價(jià)，同時(shí)又考察了一元二次函數(shù)函數(shù)值的分布情況，解題過程中結(jié)合三個(gè)“二次”的重要結(jié)論來進(jìn)展處理。題型7：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用例13．當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=logax和y=(1－a)x的圖象只可能是()解：當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=logax的圖象只能在A和C中選，又a>1時(shí)，y=(1－a)x為減函數(shù)。答案：B點(diǎn)評(píng)：要正確識(shí)別函數(shù)圖像，一是熟悉各種根本函數(shù)的圖像，二是把握?qǐng)D像的性質(zhì)，根據(jù)圖像的性質(zhì)去判斷，如過定點(diǎn)、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性。例14．設(shè)A、B是函數(shù)y=log2x圖象上兩點(diǎn),其橫坐標(biāo)分別為a和a+4,直線l:x=a+2與函數(shù)y=log2x圖象交于點(diǎn)C,與直線AB交于點(diǎn)D。（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)△ABC的面積大于1時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：（1）易知D為線段AB的中點(diǎn),因A(a,log2a),B(a+4,log2(a+4))，所以由中點(diǎn)公式得D(a+2,log2)。（2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B-S梯形AA′B′B=…=log2,其中A′,B′,C′為A,B,C在x軸上的射影。由S△ABC=log2>1,得0<a<2－2。點(diǎn)評(píng)：解題過程中用到了對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，注意底數(shù)分類來處理，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來處理復(fù)雜問題。題型8：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問題例15．在xOy平面上有一點(diǎn)列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2000()x(0<a<1)的圖象上，且點(diǎn)Pn,點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個(gè)以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。(1)求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；(2)假設(shè)對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n，以bn,bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；(3)設(shè)Cn=lg(bn)(n∈N*),假設(shè)a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列{Cn}前多少項(xiàng)的和最大？試說明理由。解：(1)由題意知：an=n+,∴bn=2000()。(2)∵函數(shù)y=2000()x(0<a<10)遞減，∴對(duì)每個(gè)自然數(shù)n,有bn>bn+1>bn+2。那么以bn,bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn，即()2+()－1>0，解得a<－5(1+)或a>5(－1)?！?(－1)<a<10。(3)∵5(－1)<a<10，∴a=7∴bn=2000()。數(shù)列{bn}是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n≥2,Bn=bnBn－1。于是當(dāng)bn≥1時(shí)，Bn<Bn－1，當(dāng)bn<1時(shí)，Bn≤Bn－1，因此數(shù)列{Bn}的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式bn≥1且bn+1<1，由bn=2000()≥1得：n≤20?！鄋=20。點(diǎn)評(píng)：此題題設(shè)從函數(shù)圖像入手，表達(dá)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，最終還是根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合數(shù)列知識(shí)，以及三角形的面積解決了實(shí)際問題。例16．已知函數(shù)為常數(shù)）（1）求函數(shù)f(x)的定義域；（2）假設(shè)a=2，試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性。（3）假設(shè)函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，求a的取值范圍。解：（1）由∵a＞0，x≥0∴f(x)的定義域是。（2）假設(shè)a=2，那么設(shè)，那么故f(x)為增函數(shù)。（3）設(shè)①∵f(x)是增函數(shù)，∴f(x1)＞f(x2)即②聯(lián)立①、②知a＞1，∴a∈(1，+∞)。點(diǎn)評(píng)：該題屬于純粹的研究復(fù)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的問題，我們抓住對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路，對(duì)“路”處理即可。題型9：課標(biāo)創(chuàng)新題例17．對(duì)于在區(qū)間上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)，如果對(duì)任意的，均有，那么稱f(x)與g(x)在上是接近的，否那么稱f(x)與g(x)在上是非接近的，現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)與，給定區(qū)間。（1）假設(shè)與在給定區(qū)間上都有意義，求a的取值范圍；（2）討論與在給定區(qū)間上是否是接近的。解：（1）兩個(gè)函數(shù)與在給定區(qū)間有意義，因?yàn)楹瘮?shù)給定區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在給定區(qū)間上恒為正數(shù)，故有意義當(dāng)且僅當(dāng)；（2）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)于函數(shù)來講，顯然其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。且在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)。由于，得所以原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，只需保證當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間上是接近的；當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間上是非接近的。點(diǎn)評(píng)：該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對(duì)含有對(duì)數(shù)式的函數(shù)的是否“接近”進(jìn)展研究，轉(zhuǎn)化成含有對(duì)數(shù)因式的不等式問題，解不