直線的點(diǎn)斜式方程教學(xué)設(shè)計(jì)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

直線的點(diǎn)斜式方程一、內(nèi)容和內(nèi)容解析直線的點(diǎn)斜式方程、直線斜截式方程.（1）內(nèi)容的本質(zhì)教材關(guān)于直線的方程安排了三節(jié)內(nèi)容：直線的點(diǎn)斜式方程、直線的兩點(diǎn)式方程，直線的一般式方程.直線的方程是對(duì)平面直角坐標(biāo)系中直線的代數(shù)刻畫(huà)，是確定直線位置幾何要素的完全代數(shù)刻畫(huà).雖然傾斜角是刻畫(huà)直線傾斜程度的幾何要素，但它無(wú)法直接用直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)定量刻畫(huà).而傾斜角的正切值可以用直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)定量刻畫(huà)，這種刻畫(huà)為我們研究直線的方程帶來(lái)方便.直線的點(diǎn)斜式方程是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式的一種“變式”表達(dá)，從代數(shù)角度表達(dá)的是直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)與直線的斜率以及所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)之間所滿足的關(guān)系式，從幾何角度表達(dá)的是已知定點(diǎn)坐標(biāo)和傾斜角，則直線可唯一確定，那么給定任意一點(diǎn)是否在直線上就可以確定.在求直線的方程中，直線方程的點(diǎn)斜式是基礎(chǔ)的，利用給定的點(diǎn)和斜率建立直線上任意一點(diǎn)滿足的代數(shù)關(guān)系.直線方程的斜截式、兩點(diǎn)式都是由點(diǎn)斜式推導(dǎo)出來(lái)的，斜截式是特殊的點(diǎn)斜式方程.點(diǎn)斜式從給定一點(diǎn)和一個(gè)方向向量可以唯一確定一條直線引入，要讓學(xué)生弄清直線與方程的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解研究直線可以從研究方程及方程的特征入手，充分體現(xiàn)坐標(biāo)法建立方程的一般思路，幫助學(xué)生體會(huì)直線的方程一方面表示直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足這個(gè)方程，另一方面表示滿足這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在這條直線上.為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的方程及圓錐曲線的方程奠定基礎(chǔ).發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).（2）知識(shí)上下位（3）育人價(jià)值直線點(diǎn)斜式和斜截式方程的推導(dǎo)、直線與方程之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，直線方程的應(yīng)用培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算，在推導(dǎo)過(guò)程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合、特殊與一般，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，能用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題，發(fā)展幾何直觀和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).（4）教學(xué)重點(diǎn)基于以上分析，本節(jié)課的重點(diǎn)是直線點(diǎn)斜式方程的建立及應(yīng)用.目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)（1）經(jīng)歷利用斜率公式探索得到直線點(diǎn)斜式方程的過(guò)程，能準(zhǔn)確的寫(xiě)出直線的點(diǎn)斜式方程，知道直線的點(diǎn)斜式方程是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式的一種“變式”表達(dá)，認(rèn)識(shí)到點(diǎn)斜式方程的重要地位，發(fā)展學(xué)生的直觀想象及邏輯推理核心素養(yǎng).（2）通過(guò)點(diǎn)斜式方程中將幾何要素“點(diǎn)”特殊化的過(guò)程，得到直線的斜截式方程，學(xué)會(huì)直線點(diǎn)斜式方程與斜截式方程的相互轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).（3）體會(huì)特殊與一般、分類討論等的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，能用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題，發(fā)展幾何直觀和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）能說(shuō)出平面直角坐標(biāo)系中直線的幾何特征及其代數(shù)表示，知道直線方程是對(duì)直角坐標(biāo)系中直線幾何特征的代數(shù)刻面.直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足這個(gè)方程，以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在這條直線上.（2）學(xué)生經(jīng)歷由確定直線的幾何要素（一點(diǎn)和方向）建立直線點(diǎn)斜式方程的過(guò)程，知道點(diǎn)斜式方程是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式的一種“交式”表達(dá)：知道斜截式方程是點(diǎn)斜式方程的特例，能夠初步感悟平面解析幾何中蘊(yùn)含特殊與一般的數(shù)學(xué)思想.會(huì)根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線的斜率寫(xiě)出直線的點(diǎn)斜式方程.（3）學(xué)生會(huì)根據(jù)確定直線的幾何要素寫(xiě)出直線方程，能說(shuō)出直線的點(diǎn)斜式、斜截式中相關(guān)要素的幾何意義，能進(jìn)行方程的轉(zhuǎn)化．知道點(diǎn)斜式方程是其他形式方程的基礎(chǔ).三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生在前一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了傾斜角和斜率的概念以及用坐標(biāo)法表示過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式，經(jīng)歷了在平面直角坐標(biāo)系中用代數(shù)方法刻畫(huà)直線的幾何特征的過(guò)程，在本單元中，學(xué)生要通過(guò)直線方程的建立，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中用代數(shù)形式表示一個(gè)幾何對(duì)象，體會(huì)坐標(biāo)法的思想.由此本節(jié)的難點(diǎn)在于推導(dǎo)直線點(diǎn)斜式方程的過(guò)程中，對(duì)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足這個(gè)方程，滿足這個(gè)方程的點(diǎn)都在這條直線上的理解.為了突破以上難點(diǎn)，可以采用從特殊到一般、分類討論的的思想，幫助學(xué)生從分析確定直線位置的幾何要素入手，分析如何用代數(shù)方法刻畫(huà)這些幾何元素以及元素間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)直線的方程就是直線上所有點(diǎn)的幾何特征的代數(shù)表示，進(jìn)而是尋找如何用點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫(huà)直線的幾何特征，通過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式的變形，建立直線的點(diǎn)斜式方程.四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）舊知回顧問(wèn)題1：直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系是怎樣的？預(yù)設(shè)：.問(wèn)題2：如果已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，如何求解直線的斜率？預(yù)設(shè)：.問(wèn)題3：怎樣確定一條直線？師生活動(dòng)：要求學(xué)生自主思考，舉手回答，教師總結(jié).預(yù)設(shè)：兩點(diǎn)確定一條直線；給定一點(diǎn)和一個(gè)方向也可以唯一確定一條直線.在平面直角坐標(biāo)系中，給定一個(gè)點(diǎn)和斜率k（或傾斜角），就能唯一確定一條直線.也就是說(shuō)，這條直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)與點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率k之間的關(guān)系是完全確定的.那么，這一關(guān)系如何表示呢？下面我們來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課以直線幾何要素為出發(fā)點(diǎn)，有利于課程的順利展開(kāi).（二）概念生成及鞏固應(yīng)用問(wèn)題1：在平面直角坐標(biāo)系中，直線過(guò)點(diǎn)，斜率，是直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則它的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式是什么？預(yù)設(shè)：化簡(jiǎn)得追問(wèn)1：請(qǐng)同學(xué)們思考當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，上面得到的關(guān)系式是否也成立？預(yù)設(shè)：成立.追問(wèn)2：是否直線上的點(diǎn)都滿足上式？預(yù)設(shè)：滿足.追問(wèn)3：橫縱坐標(biāo)滿足關(guān)系式的點(diǎn)都是否都在該直線上？預(yù)設(shè)：若點(diǎn)的坐標(biāo)滿足關(guān)系式，則，當(dāng)與重合，顯然有在直線上.當(dāng)，有，這表明過(guò)，的直線的斜率為2，因?yàn)橹本€與的斜率都為2，且都過(guò)點(diǎn)，所以它們重合，所以點(diǎn)在直線上問(wèn)題2：在平面直角坐標(biāo)系中，給定直線上一個(gè)定點(diǎn)和斜率，則直線上不同于該定點(diǎn)的任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式是什么？預(yù)設(shè)：.設(shè)計(jì)意圖：為直線點(diǎn)斜式方程的推導(dǎo)做準(zhǔn)備.追問(wèn)1：是否可以變形？變形前后有沒(méi)有什么變化？預(yù)設(shè)：；變形前.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)與確定該直線的點(diǎn)和斜率關(guān)系的探究，體會(huì)直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可以由給定點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率確定，這個(gè)關(guān)系式是唯一的.追問(wèn)2:直線上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足關(guān)系式嗎？預(yù)設(shè)：滿足.追問(wèn)3:坐標(biāo)滿足關(guān)系式的每一個(gè)點(diǎn)都在直線l上嗎？預(yù)設(shè)：若點(diǎn)滿足關(guān)系式，則有當(dāng)時(shí)，，這時(shí)點(diǎn)與重合，顯然有點(diǎn)在直線l上；當(dāng)時(shí)，有，這表明過(guò)點(diǎn)，的直線的斜率為k.因?yàn)橹本€l，的斜率都為k，且都過(guò)點(diǎn)，所以它們重合.所以點(diǎn)在直線l上.由此可得：直線l上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足關(guān)系式；坐標(biāo)滿足關(guān)系式的點(diǎn)一定在直線l上.我們把方程稱為過(guò)點(diǎn)，斜率為k的直線l的方程.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)追問(wèn)的思考與分析，讓學(xué)生明確：直線上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上.從而理解解析幾何中直線與它的方程是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.定義：方程由直線上一個(gè)定點(diǎn)及該直線的斜率k確定，我們把它叫做直線的點(diǎn)斜式方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式.例1.直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角，求直線l的點(diǎn)斜式方程，并畫(huà)出直線l.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成相互交流，在教師的指導(dǎo)下，共同完成以下作圖過(guò)程預(yù)設(shè)：解：直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率，代入點(diǎn)斜式方程得.畫(huà)圖時(shí)，只需再找出直線l上的另一點(diǎn)，例如，取，則，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)，兩點(diǎn)的直線即為所求，如下圖所示.追問(wèn)：例1中當(dāng)傾斜角時(shí)，直線方程是什么？當(dāng)傾斜角時(shí)，則直線方程是什么？預(yù)設(shè)：；.設(shè)計(jì)意圖：鞏固直線點(diǎn)斜式方程，學(xué)會(huì)利用直線的要素畫(huà)出直線.問(wèn)題3：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為時(shí)，直線的方程是什么？它是點(diǎn)斜式么？直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為時(shí)，直線的方程是什么?它是點(diǎn)斜式么？預(yù)設(shè)：如圖，當(dāng)直線l的傾斜角為0°時(shí)，，即，這時(shí)直線l與x軸平行或重合，直線l的方程是，即，是點(diǎn)斜式.如圖，當(dāng)直線l的傾斜角為90°時(shí)，由于無(wú)意義，直線沒(méi)有斜率，這時(shí)直線l與y軸平行或重合，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.又因?yàn)檫@時(shí)直線l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于，所以它的方程是，即.設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步加深對(duì)點(diǎn)斜式的認(rèn)識(shí)，結(jié)合圖形了解特殊形式的方程.得出點(diǎn)斜式方程適用于斜率存在.問(wèn)題4：如果斜率為k的直線l過(guò)點(diǎn)，這時(shí)直線的點(diǎn)斜式方程是什么?師生活動(dòng)：學(xué)生思考，獨(dú)立完成.預(yù)設(shè)：，即.定義：我們把直線l與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距.這樣，方程由直線的斜率k與它在y軸上的截距b確定，我們把方程叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式.其中，k和b均有明顯的幾何意義：k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距.追問(wèn)：截距是距離嗎？預(yù)設(shè)：截距不是距離，截距可正可負(fù)可為零.設(shè)計(jì)意圖：鞏固直線點(diǎn)斜式方程，推導(dǎo)直線斜截式方程.斜截式方程中，最容易出錯(cuò)的就是截距的概念，這里將概念落實(shí)到位.問(wèn)題5：如何從直線方程的角度認(rèn)識(shí)一次函數(shù)？你能說(shuō)出一次函數(shù)，，對(duì)應(yīng)的圖像的斜率和直線在軸上的截距是什么？預(yù)設(shè)：（1）從直線方程的角度看，它表示的是平面直角坐標(biāo)系中一條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的代數(shù)關(guān)系.（2）一次函數(shù)中的x的系數(shù)k≠0,是常數(shù)，但直線的斜截式方程中的有實(shí)際意義，k可以為0，表達(dá)與x軸平行或重合的直線.（3）一次函數(shù)的解析式與直線的斜截式方程的形式一致，一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，就是方程y=kx+b的直線.（4）對(duì)應(yīng)的直線斜率為2，與軸交點(diǎn)為，直線在軸上的截距為；對(duì)應(yīng)的直線斜率為，與軸交點(diǎn)為，直線在軸上的截距為3；對(duì)應(yīng)的直線斜率為3，與軸交點(diǎn)為，直線在軸上的截距為0.設(shè)計(jì)意圖：在問(wèn)題3的基礎(chǔ)上，通過(guò)問(wèn)題4用不同的眼光看，了解一次函數(shù)與斜截式方程的聯(lián)系與區(qū)別.例2已知直線，試討論：（1）的條件是什么？（2）的條件是什么？預(yù)設(shè)：解：（1）若，則，此時(shí)與y軸的交點(diǎn)不同，即；反之，若，當(dāng)時(shí)，重合，當(dāng)，則.（2）若，則；反之，若，則.，；.設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)如何利用直線方程研究?jī)芍本€平行、垂直的關(guān)系.（三）歸納總結(jié)、布置作業(yè)歸納總結(jié)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)知識(shí)，并回答以下問(wèn)題：什么是直線點(diǎn)斜式方程？通過(guò)這個(gè)方程能找到哪些直線要素？什么是直線斜截式方程？通過(guò)這個(gè)方程能找到哪些直線要素？?jī)芍本€平行、垂直的充要條件是什么？本節(jié)課涉及到數(shù)學(xué)思想有哪些？課堂練習(xí)作業(yè)A1.已知直線的方程為，則()A.該直線過(guò)點(diǎn)，斜率為 B.該直線過(guò)點(diǎn)，斜率為1C.該直線過(guò)點(diǎn)，斜率為 D.該直線過(guò)點(diǎn)，斜率為1答案：C2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線方程是_________答案：3.已知直線過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為()解析：因?yàn)橹本€的斜率為2，所以直線的斜率為.又直線過(guò)點(diǎn)，故所求直線的方程為.4.已知直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為_(kāi)_______________.答案：解析：直線的傾斜角是45°，且直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，直線的傾斜角是90°.又直線過(guò)點(diǎn)，直線的方程為.5.已知點(diǎn)和直線.（1）求過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的點(diǎn)斜式方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線的點(diǎn)斜式方程.答案：（1）因?yàn)橹本€的方程為，所以該直線的斜率，所以過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的點(diǎn)斜式方程為.（2）易知與直線垂直的直線的斜率為，所以過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線的點(diǎn)斜式方程為.作業(yè)B6．(多選)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)的直線都可以用方程x－x0＝m(y－y0)表示C．經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1)，傾斜角為θ的直線方程為y－1＝tanθ(x－1)答案：ABCD7.與直線2x＋3y＋5＝0平行，且與x，y軸交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和為eq\f(5,6)的直線的方程為_(kāi)_______．答案：由題意知，直線的斜率為－eq\f(2,3)，設(shè)其方程為y＝－eq\f(2,3)x＋b，分別令x＝0，y＝0，得直線在y，x軸上的截距分別為b，eq\f(3,2)b，則b＋eq\f(3,2)b＝eq\f(5,6)，解得b＝eq\f(1,3)，故直線的方程為y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(1,3).8.已知直線l的斜率為eq\f(1,6)，且和兩坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，求的斜