第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（解析卷）

第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【考試要求】1.理解平面向量的基本定理及其意義.2.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算.4.能用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件.1.平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2；（2）基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.（1）基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底；（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一.2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）向量的加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1），｜a｜＝x1（2）向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；②設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則AB＝（x2－x1，y2－y1），｜AB｜＝(x若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a＝b?x13.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.（1）a∥b的充要條件不能表示為x1x2＝y(tǒng)1y2，因?yàn)閤2，y2有可能為0；（2）當(dāng)且僅當(dāng)x2y2≠0時(shí)，a∥b與x1x21.判斷下列結(jié)論正確的是()A平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一個(gè)基底．B設(shè){a，b}是平面內(nèi)的一個(gè)基底，若λ1a＋λ2b＝0，則λ1＝λ2＝0.C若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).D平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變．【答案】BDO是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，則給出下列向量組：①AD與AB；②DA與BC；③CA與DC；④OD與OB.其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的一組基底的是 （）A.①②B.①③C.①④ D.③④【解析】B平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量都可以作為基底，如圖，對(duì)于①，AD與AB不共線，可作為基底；對(duì)于②，DA與BC為共線向量，不可作為基底；對(duì)于③，CA與DC是兩個(gè)不共線的向量，可作為基底；對(duì)于④，OD與OB在同一條直線上，是共線向量，不可作為基底.A（0，1），B（3，2），向量AC＝（－4，－3），則向量BC＝ （）A.（－7，－4） B.（7，4）C.（－1，4） D.（1，4）【解析】A根據(jù)題意得AB＝（3，1），∴BC＝AC－AB＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）.故選A.4.（2021·全國乙卷）已知向量a＝（2，5），b＝（λ，4），若a∥b，則λ＝.

【解析】因?yàn)閍∥b，所以a＝kb，即（2，5）＝k（λ，4），得kλ=2,4【答案】85.（2023·周口模擬）給出以下說法，其中正確的是 （）b＝λa（λ∈R），則a∥ba∥b，則存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λaa，b是非零向量，λ，μ∈R，那么λa＋μb＝0?λ＝μ＝0【解析】AA項(xiàng)，由向量的數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，正確；B項(xiàng)，若a＝0，b≠0，有a∥b，但不存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa，錯(cuò)誤；C項(xiàng)，若a，b為相反向量，則a＋b＝0，此時(shí)λ＝μ∈R，錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由平面向量基本定理可知，作為基底的兩向量是不共線的非零向量，錯(cuò)誤.故選A.考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用角度1判斷向量能否構(gòu)成基底例1如果e1,eA．e2,eC．e1?2e【解題思路】根據(jù)平面基底的定義和判定，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解答過程】根據(jù)平面基底的定義知，向量e1,e2為不共線非零向量，即不存在實(shí)數(shù)對(duì)于A中，向量e2和e1+e2對(duì)于B中，向量e1?2e2和e2可得1=?2λ?2=λ，此時(shí)方程組無解，所以e1?2對(duì)于C中，向量e1?2e2和4e可得1=?2λ?2=4λ，解得λ=?12，所以e對(duì)于D中，向量e1+e2和e1可得1=λ1=?λ，此時(shí)方程組無解，所以e1+故選：C.【對(duì)點(diǎn)演練1】設(shè)e1,eA．e1+e2和e1C．e1+3e2和e2【解題思路】根據(jù)向量是否成倍數(shù)關(guān)系可判斷是否共線,即可確定是否可作為基底向量.【解答過程】∵e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，∴e1，e則根據(jù)向量共線定理可得，4e2?6其他三組中的向量均為不共線向量，故可作為基底向量.故選:D.【對(duì)點(diǎn)演練2】下列各組向量中，不能作為平面的基底的是（

）A．e1=2,?1，e2=C．e1=3,3，e2=【解題思路】根據(jù)基底的定義分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【解答過程】解：對(duì)于A，因?yàn)閮上蛄坎还簿€，所以能作為一組基底；對(duì)于B，因?yàn)閑1=?2e對(duì)于C，因?yàn)閮上蛄坎还簿€，所以能作為一組基底；對(duì)于D，因?yàn)閮上蛄坎还簿€，所以能作為一組基底.故選：B．角度2用基底表示向量例2如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EO,\s\up6(→))，則eq\o(ED,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) D.eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))【答案】C【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EO,\s\up6(→))，所以eq\o(EA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．【對(duì)點(diǎn)演練1】（2022?天津）在中，，，是中點(diǎn)，，試用，表示為．【答案】．【解析】中，，，是中點(diǎn)，，如圖：．【對(duì)點(diǎn)演練2】如圖所示，在△ABC中，CB＝3CD，AD＝2AE，AB＝a，AC＝b，則CE＝（）A.16a－13b B.16a－23bC.a－13b D.【答案】B【解析】CE＝AE－AC＝12AD－AC＝12AB+23BC－AC＝12AB＋13（AC－AB）－AC角度3求參數(shù)例3（2023福建模擬）△ABC中，D為BC中點(diǎn)，AE=2EC，AD交BE于P點(diǎn)，若AP=λAD，則A．23 B．35 C．45【解題思路】根據(jù)D為BC中點(diǎn)，得到AD=12AB+12AC，因?yàn)锽,P,E三點(diǎn)共線，推導(dǎo)出AP=aAB+bAE，則a+b=1，結(jié)合【解答過程】因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以AD=因?yàn)锳E=2EC，所以因?yàn)锽,P,E三點(diǎn)共線，所以設(shè)BP=mPE即AP?AB=m令a=11+m,b=m1+m其中AP=a因?yàn)锳P=λAD，所以故AD=因?yàn)锳D=所以aλ=1解得：λ=4故選：C.【對(duì)點(diǎn)演練1】如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接CE，DF，交于點(diǎn)G.若CG＝λCD＋μCB（λ，μ∈R），則λμ＝.【答案】1【解析】由題圖可設(shè)CG＝xCE（0＜x＜1），則CG＝x（CB＋BE）＝xCB+12CD＝x2CD＋xCB.因?yàn)镃G＝λCD＋μCB，CD與CB不共線，所以λ＝x2，μ【對(duì)點(diǎn)演練2】(2023·天津模擬)已知在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，D，F(xiàn)分別為BC，AC的中點(diǎn)，P為AD與BF的交點(diǎn)，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝xa＋yb，則x＋y＝________.【答案】－eq\f(1,3)【解析】因?yàn)镈，F(xiàn)分別為BC，AC的中點(diǎn)，所以DF是△ABC的中位線，所以eq\f(DF,AB)＝eq\f(PD,AP)＝eq\f(1,2)，則eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，所以x＝－eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)，所以x＋y＝－eq\f(1,3).【對(duì)點(diǎn)演練3】如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________.【答案】6【解析】方法一如圖，作平行四邊形OB1CA1，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OA1,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，所以|eq\o(OB1,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(B1C,\s\up6(→))|＝4，所以|eq\o(OA1,\s\up6(→))|＝|eq\o(B1C,\s\up6(→))|＝4，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B，C(3，eq\r(3))．由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝4，,μ＝2.))所以λ＋μ＝6.【對(duì)點(diǎn)演練4】已知在△ABC中，點(diǎn)O滿足OA＋OB＋OC＝0，點(diǎn)P是OC上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且OP＝mOA＋nOB，則m＋n的取值范圍是.

【答案】（－2，0）【解析】依題意，設(shè)OP＝λOC（0＜λ＜1），由OA＋OB＋OC＝0，知OC＝－（OA＋OB），所以O(shè)P＝－λOA－λOB，由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2，0）.考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算角度1已知向量坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算例4已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，C(0,1)，若eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A．(－2,3) B．(2，－3)C．(－2,1) D．(2，－1)【答案】D【解析】設(shè)D(x，y)，則eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x，y－1)，2eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，根據(jù)eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，得(x，y－1)＝(2，－2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y－1＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，－1)．（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)；（2）解題過程中，常利用“向量相等，則其坐標(biāo)相同”這一原則，通過列方程（組）來進(jìn)行求解.【對(duì)點(diǎn)演練1】已知M(－2,7)，N(10，－2)，點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn)，且eq\o(PN,\s\up6(→))＝－2eq\o(PM,\s\up6(→))，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(2,4) B．(－14,16)C．(6,1) D．(22，－11)【答案】A【解析】設(shè)P(x，y)，則eq\o(PN,\s\up6(→))＝(10－x，－2－y)，eq\o(PM,\s\up6(→))＝(－2－x,7－y)，由eq\o(PN,\s\up6(→))＝－2eq\o(PM,\s\up6(→))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10－x＝－2－2－x，,－2－y＝－27－y))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4.))【對(duì)點(diǎn)演練2】已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)m的值是（

）A．－10 B．－8 C．10 D．8【答案】A【詳解】；故選：A.角度2構(gòu)建直角坐標(biāo)系進(jìn)行運(yùn)算例5如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點(diǎn)，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為()A.eq\f(6,5)B.eq\f(8,5)C．2D.eq\f(8,3)【答案】B【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0,0)．不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2,2)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1,2)，∵eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))故λ＋μ＝eq\f(8,5).對(duì)于一些特殊的幾何圖形，可以根據(jù)垂直關(guān)系建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解問題。【對(duì)點(diǎn)演練1】已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b))表示c，則()A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3bC．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b【答案】D【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，則A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，設(shè)向量c＝ma＋nb，則c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2n＝7，,m＋3n＝－3))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－2，))所以c＝3a－2b.【對(duì)點(diǎn)演練2】已知，點(diǎn)C在內(nèi)，且.設(shè)，則等于（

）A． B．3 C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，所?又因?yàn)辄c(diǎn)C在內(nèi)，且，建立如圖所示的坐標(biāo)系：則,,又因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.考點(diǎn)三向量共線的坐標(biāo)表示角度1判斷向量是否共線例6（2023春·甘肅蘭州·高三?？奸_學(xué)考試）已知向量，，，則“”是“∥”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由題意得＝（2，2＋m），由，得－1×（2＋m）＝2×2，所以m＝－6.當(dāng)m＝－6時(shí)，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得，則“m＝－6”是“”的充要條件.故選：A.【對(duì)點(diǎn)演練1】已知點(diǎn)，，則與平行的單位向量的坐標(biāo)為（

）A． B．C．和 D．和和和【答案】C【詳解】由題,,由題意可判斷,D選項(xiàng)中和不與平行,A、B選項(xiàng)向量不全,故選：C角度2利用向量共線求參數(shù)例7（1）已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2），c＝（1，λ）.若c∥（2a＋b），則λ＝；

（2）已知向量OA＝（k，12），OB＝（4，5），OC＝（－k，10），且A，B，C三點(diǎn)共線，則k＝.

【答案】（1）12（2）－【解析】（1）因?yàn)?a＋b＝（4，2），c∥（2a＋b），所以4λ＝2，解得λ＝12（2）AB＝OB－OA＝（4－k，－7），AC＝OC－OA＝（－2k，－2）.因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以AB，AC共線，所以－2×（4－k）＝－7×（－2k），解得k＝－23利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)的步驟（1）根據(jù)已知條件求出相關(guān)向量的坐標(biāo)；（2）利用向量共線的坐標(biāo)表示列出有關(guān)向量的方程或方程組；（3）根據(jù)方程或方程組求解得到參數(shù)的值.【對(duì)點(diǎn)演練1】已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))∥eq\o(DA,\s\up6(→))，則x＋2y的值為()A．－1B．0C．1D．2【答案】B【解析】因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝(6,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(4＋x，y－2)，所以eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－x－4,2－y)，因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(→))∥eq\o(DA,\s\up6(→))，所以x(2－y)＝y(tǒng)(－x－4)，所以2x＋4y＝0，即x＋2y＝0.【對(duì)點(diǎn)演練2】已知向量，且，則的值為（

）A．4 B．4 C．1 D．1【答案】B【詳解】，故，則，解得.故選：B【對(duì)點(diǎn)演練3】已知向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則_________．【答案】6【詳解】因，，則，又，且A，B，D三點(diǎn)共線，即，因此，解得，所以.故答案為：6角度3利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)例8設(shè)點(diǎn)A(2,0)，B(4,2)，若點(diǎn)P在直線AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(3,1) B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)【答案】C【解析】∵A(2,0)，B(4,2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2)，∵點(diǎn)P在直線AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AP,\s\up6(→))，故eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1,1)或eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，－1)，故P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)或(1，－1)．平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.(2)在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．【對(duì)點(diǎn)演練1】(1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，則實(shí)數(shù)λ的值為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C.eq\f(7,4)D.eq\f(7,5)【答案】B【解析】由已知得a＋2b＝(5,2－4λ)，a－b＝(－7,2＋2λ)，∵(a＋2b)∥(a－b)，∴5×(2＋2λ)－(－7)×(2－4λ)＝0，解得λ＝eq\f(4,3).【對(duì)點(diǎn)演練2】已知向量a＝（1，1），點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B為直線y＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB∥a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

【解析】設(shè)B（x，2x），則AB＝（x－3，2x）.∵AB∥a，∴x－3＝2x，即x＝－3，∴B（－3，－6）.【答案】（－3，－6）【對(duì)點(diǎn)演練3】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，C＝eq\f(π,3)，若m＝(c－eq\r(6)，a－b)，n＝(a－b，c＋eq\r(6))，且m∥n，則△ABC的面積為()A．3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D．3eq\r(3)【答案】C【解析】∵m＝(c－eq\r(6)，a－b)，n＝(a－b，c＋eq\r(6))，且m∥n，∴(a－b)2＝(c－eq\r(6))(c＋eq\r(6))，化為a2＋b2－c2＝2ab－6.∴cos

eq\f(π,3)＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(2ab－6,2ab)＝eq\f(1,2)，解得ab＝6.∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).1．(多選)(2023·潮汕模擬)已知集合E是由平面向量組成的集合，若對(duì)任意a，b∈E，t∈(0,1)，均有ta＋(1－t)b∈E，則稱集合E是“凸”的，則下列集合中是“凸”的有()A．{(x，y)|y≥ex} B．{(x，y)|y≥lnx}C．{(x，y)|x＋2y－1≥0} D．{(x，y)|x2＋y2≤1}【答案】ACD【解析】設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝ta＋(1－t)b，則C為線段AB上一點(diǎn)，因此一個(gè)集合E是“凸”的就是E表示的平面區(qū)域上任意兩點(diǎn)的連線上的點(diǎn)仍在該區(qū)域內(nèi)，四個(gè)選項(xiàng)所表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示，觀察選項(xiàng)A，B，C，D所對(duì)圖形知，B不符合題意，A，C，D符合題意．2.如圖，矩形LMNK，LM＝6，sin∠MLN＝eq\f(2,3)，⊙E的半徑為1，且E為NK的中點(diǎn)，P為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(ML,\s\up6(→))＋μeq\o(MN,\s\up6(→))，則λ＋μ的最小值是________．【答案】eq\f(5,4)【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由LM＝6，sin∠MLN＝eq\f(2,3)，解得MN＝eq\f(12\r(5),5)，則M，N(3,0)，L，設(shè)P(cosθ，sinθ)，因?yàn)閑q\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(ML,\s\up6(→))＋μeq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→))＝，eq\o(ML,\s\up6(→))＝(－6,0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝.所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝＝λ(－6,0)＋μ，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ－3＝－6λ，,sinθ＋\f(12\r(5),5)＝\f(12\r(5),5)μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3－cosθ,6)，,μ＝\f(\r(5),12)sinθ＋1.))所以λ＋μ＝eq\f(3,2)＋eq\f(\r(5),12)sinθ－eq\f(1,6)cosθ＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,4)sin(θ＋φ)，當(dāng)sin(θ＋φ)＝－1時(shí)，λ＋μ取最小值eq\f(5,4).一、單選題1．若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，，則．故選：A．2．如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底的是()A．e1與e1＋e2B．e1－2e2與e1＋2e2C．e1＋e2與e1－e2D．e1－2e2與－e1＋2e2【答案】D【解析】對(duì)A項(xiàng)，設(shè)e1＋e2＝λe1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,1＝0，))無解，故e1與e1＋e2不共線，可以作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底；對(duì)B項(xiàng)，設(shè)e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,－2＝2λ，))無解，故e1－2e2與e1＋2e2不共線，可以作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底；對(duì)C項(xiàng)，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,1＝－λ，))無解，故e1＋e2與e1－e2不共線，可以作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底；對(duì)D項(xiàng)，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以e1－2e2與－e1＋2e2為共線向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．3.已知，，若與共線，則（

）A． B．4 C．9 D．【答案】A【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，解得.故選：A.4．已知向量，，若，則（

）A．－1 B．6 C．－6 D．2【答案】B【詳解】向量，，則，由，得，解得.故選：B5．已知點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則()A.eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))D.eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))【答案】D【解析】由題意得，eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＝0，∴3eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－2eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，∴3eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).6.已知點(diǎn)A（8，－1），B（1，－3），若點(diǎn)C（2m－1，m＋2）在直線AB上，則實(shí)數(shù)m＝ （）A.－12B.13C.－13 D.12【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)C在直線AB上，所以AC與AB共線.又AB＝（－7，－2），AC＝（2m－9，m＋3），故2m-9-7＝m+3-2，所以m＝－7.已知OB是平行四邊形OABC的一條對(duì)角線，O為坐標(biāo)原點(diǎn).OA＝（2，4），OB＝（1，3），若點(diǎn)E滿足OC＝3EC，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為 （）A.-23,-2C.13,13【解析】A易知OC＝OB－OA＝（－1，－1），則C（－1，－1），設(shè)E（x，y），則3EC＝3（－1－x，－1－y）＝（－3－3x，－3－3y），由OC＝3EC知-3-3x=?1,-3-3y=?1,解得8.如圖，在正方形ABCD中，P，Q分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BQ,\s\up6(→))，則x等于()A.eq\f(11,13)B.eq\f(6,5)C.eq\f(5,6)D.eq\f(3,2)【答案】C【解析】分別以AB，AD為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，不妨設(shè)正方形ABCD邊長為2，則A(0,0)，B(2,0)，P(2,1)，Q(1,2)，C(2,2)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,2)，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝(－1,2)，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BQ,\s\up6(→))，則有2＝2x－y且1＝2x＋2y，解得x＝eq\f(5,6).多選題9.已知點(diǎn)，，則下列向量與平行的向量是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】由已知，存在實(shí)數(shù)，使，存在實(shí)數(shù)，使，存在實(shí)數(shù)，使，不存在實(shí)數(shù)，使，故選：ABC.10.若k1a＋k2b＝0，則k1＝k2＝0，那么下列對(duì)a，b的判斷不正確的是()A．a(chǎn)與b一定共線 B．a(chǎn)與b一定不共線C．a(chǎn)與b一定垂直 D．a(chǎn)與b中至少有一個(gè)為0【答案】ACD【解析】由平面向量基本定理知，當(dāng)a，b不共線時(shí)，若k1a＋k2b＝0，則k1＝k2＝0，當(dāng)a與b共線時(shí)，k1＝k2＝0只是其中一組解，此時(shí)解不唯一，所以A錯(cuò)誤，B正確；而當(dāng)a，b不共線時(shí)，不一定有a與b垂直，所以C錯(cuò)誤；當(dāng)a與b中至少有一個(gè)為0時(shí)，k1，k2中至少有一個(gè)可以不為零，所以D錯(cuò)誤．11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，－1），B（1，2），則 （）A.與AB同方向的單位向量為-B.若AP＝2PB，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為5C.若a＝（1，－3），則a∥ABD.若C（1，－3），則四邊形OBAC為平行四邊形【解析】ACD因?yàn)锳B＝（－1，3），｜AB｜＝10，所以與AB同方向的單位向量為-110,310＝-1010,31010，選項(xiàng)A正確；設(shè)P（x，y），則（x－2，y＋1）＝2（1－x，2－y），所以x-2=2(1-x),y+1=2(2?y),解得x=43,y=1,所以P43,1，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)閍＝（1，－3），AB＝（－1，3），AB＝－a，所以a∥AB，選項(xiàng)C正確；因?yàn)镺B＝（1，2），CA＝（1，2），所以O(shè)B＝CA，又顯然O，B，C12.如圖所示，點(diǎn)A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段OC與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)P，若AP＝λAB，OC＝μOA＋3μOB，則 （）A.P為線段OC的中點(diǎn)時(shí)，μ＝1B.P為線段OC的中點(diǎn)時(shí)，μ＝1C.無論μ取何值，恒有λ＝3D.存在μ∈R，λ＝1【解析】ACOP＝OA＋AP＝OA＋λAB＝OA＋λ（OB－OA）＝（1－λ）OA＋λOB，因?yàn)镺P與OC共線，所以1?λμ＝λ3μ，解得λ＝